Soal dan Pembahasan UM UGM 2003 Matematika Dasar


Nomor 1
Diberikan segitiga PQR dengan panjang sisi PQ = 3 cm dan PR = 4 cm. Sedangkan sudut $ P = 60^\circ $ . Maka cosinus R adalah ....
A). $ \frac{5}{26}\sqrt{13} \, $ B). $ \frac{5}{39}\sqrt{13} \, $ C). $ \frac{5}{52}\sqrt{13} \, $ D). $ \frac{5}{6}\sqrt{13} \, $ E). $ \frac{1}{5}\sqrt{13} \, $
Nomor 2
Untuk $ -\pi \leq x \leq \pi $ , nilai $ x $ yang memenuhi
$ 4 \cos ^2 x - 4\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 3 = 0 $ adalah ....
A). $ -\frac{2}{3}\pi \, $ atau $ \frac{\pi}{2} $
B). $ -\frac{\pi}{2} \, $ atau $ \frac{\pi}{2} $
C). $ -\frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{\pi}{3} $
D). $ -\frac{2}{3}\pi \, $ atau $ \frac{2}{3}\pi $
E). $ -\frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{2}{3}\pi $
Nomor 3
$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2 + 6x + 9 } = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{3} $
Nomor 4
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \sqrt{2x^2+5x+6} - \sqrt{2x^2 + 2x - 1} \right) = .... $
A). $ \frac{3}{2}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{3}{\sqrt{2}} \, $ D). $ -\frac{3}{4}\sqrt{2} \, $ E). $ 3 \, $
Nomor 5
Jika fungsi $ f(x) = x^3 + px^2 - 9x $ hanya didefinisikan untuk nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ -6 \leq x \leq 0 $ dan mencapai nilai maksimum pada saat $ x = -3 $ , maka nilai $ p $ adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ 3 \, $

Nomor 6
Diketahui $ f(x) = ax^2 + bx + 4 $. Jika gradien garis singgung kurva di $ x = 2 $ adalah $ -1 $ dan di $ x = 1 $ adalah $ 3 $, maka $ a + b = ..... $
A). $ 9 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 0 \, $
Nomor 7
Jika $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ maka $ -2f^\prime (x) $ sama dengan ....
A). $ \frac{1}{x\sqrt{x}} \, $ B). $ x\sqrt{x} \, $ C). $ -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \, $
D). $ -\frac{1}{2\sqrt{x}} \, $ E). $ -2x\sqrt{x} \, $
Nomor 8
Jika $ {}^4 \log 6 = m + 1 $ , maka $ {}^9 \log 8 = .... $
A). $ \frac{3}{4m-2} \, $ B). $ \frac{3}{4m+2} \, $ C). $ \frac{3}{2m+4} \, $
D). $ \frac{3}{2m-4} \, $ E). $ \frac{3}{2m+2} \, $
Nomor 9
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \left(\frac{1}{25}\right)^{x - 2,5} = \sqrt{\frac{625}{5^{2-x}} } $ adalah $ x = .... $
A). $ \frac{3}{5} \, $ B). $ \frac{8}{5} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $
Nomor 10
Jika $ a = 2 + \sqrt{7} $ dan $ b = 2 - \sqrt{7} $ , maka $ a^2 + b^2 - 4ab = .... $
A). $ 36 \, $ B). $ 34 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 30 \, $ E). $ 28 \, $

Nomor 11
Apabila $ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $ dirasionalkan penyebutnya, maka bentuk tersebut menjadi .....
A). $ \sqrt{10} + \sqrt{6} \, $ B). $ \sqrt{10} + \sqrt{3} \, $
C). $ \sqrt{10} - \sqrt{6} \, $ D). $ 2\sqrt{5} - \sqrt{3} \, $
E). $ 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6} \, $
Nomor 12
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \frac{2x+3y+4}{3x-y-10}=3 $ dan $ \frac{x-y+7}{-2x+y+5}= -3 $ adalah .....
A). $ -3 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 $ D). $ 3 $ E). $ 5 $
Nomor 13
Parabola $ y = x^2 + ax + 6 $ dan garis $ y = 2mx + c $ berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang. Maka ordinat titik C adalah ....
A). $ 4m^2 + 2ma + c \, $
B). $ 4m^2 - 2ma + c \, $
C). $ 2m^2 + ma + c \, $
D). $ 2m^2 - ma + c \, $
E). $ 2m^2 - 2ma + c \, $
Nomor 14
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ penyelesaian dari persamaan $ \sqrt{2x-5}=1 + \sqrt{x - 3} $, maka $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 \, $
Nomor 15
Nilai maksimum dari $ F = 6x + 10y $ yang memenuhi
$ \begin{align} & x + y \leq 10 \\ & x + 2y \leq 10 \\ & x \geq 2 , \, y \geq 0 \end{align} $
adalah ....
A). $ 52 \, $ B). $ 60 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 76 \, $ E). $ 92 \, $

Nomor 16
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ \frac{2x-1}{3x+2} \geq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{4} \leq x \leq -\frac{2}{3} \, $
B). $ \frac{2}{3} < x \leq \frac{5}{4} \, $ C). $ - \frac{2}{3} < x \leq \frac{5}{4} \, $
D). $ x \leq -\frac{5}{4} \, $ atau $ x > -\frac{2}{3} $
E). $ x < -\frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq \frac{5}{4} $
Nomor 17
Deret $ S_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 $ merupakan deret aritmetika dan $ u_1 > u_2 $. Jika determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ - 2 $ dan $ S_4 = 2 $, maka $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right)^{-1} = .... $
A). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\, $ B). $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\, $ C). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $
D). $\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $ E). $\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right)\, $
Nomor 18
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $ 2^{x+2} $. Jika panjang dua sisi lainnya adalah 4 dan $ 2^{2x+1} $ , maka nilai $ x $ yang memenuhi terletak pada interval ....
A). $ -1 < x < 0 \, $
B). $ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3} \, $
C). $ 0 < x < 1 \, $
D). $ \frac{2}{3} < x < 2 \, $
E). $ 1 < x < 3 \, $
Nomor 19
Jumlah semua bilangan ganjil di antara bilangan 20 dan 60 adalah ....
A). $ 750 \, $ B). $ 775 \, $ C). $ 800 \, $ D). $ 825 \, $ E). $ 850 \, $
Nomor 20
Jika $ p , q , \, $ dan $ r $ membentuk suku-suku deret aritmetika, maka $ p^2 + q^2 + r^2 = .... $
A). $ \frac{5p^2 + 2pr + 5r^2}{4} \, $
B). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{5} \, $
C). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{3} \, $
D). $ \frac{5p^2 + 4pr + 5r^2}{2} \, $
E). $ 5p^2 + 2pr + 5r^2 \, $

Nomor 21
Suku pertama, pembanding dan suku ke-$(n-1)$ dari deret geometri masing-masing adalah 1, 3 dan 243. Jumlah $ n $ suku pertamanya sama dengan ....
A). $ 364 \, $ B). $ 729 \, $ C). $ 1093 \, $ D). $ 2187 \, $ E). $ 3279 $
Nomor 22
Jika M matriks berordo $ 2 \times 2 $ dan $ M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) $, maka matriks $ M^2 $ adalah ....
A). $\left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & -5 \end{matrix} \right)\, $ B). $\left( \begin{matrix} 9 & 4 \\ 1 & 25 \end{matrix} \right)\, $ C). $\left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right)\, $
D). $\left( \begin{matrix} 25 & -4 \\ -2 & 15 \end{matrix} \right)\, $ E). $\left( \begin{matrix} 27 & -8 \\ -4 & 15 \end{matrix} \right)\, $
Nomor 23
Untuk suatu $ \alpha $ , nilai $ x $ yang memenuhi $\left( \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{matrix} \right) \, $ adalah ....
A). $ x = \sin \alpha, \, y = \cos \alpha $
B). $ x = \cos \alpha, \, y = \sin \alpha $
C). $ x = 0 , \, y = 1 $
D). $ x = 1 , \, y = 0 \, $
E). $ x = 1 , \, y = 1 \, $
Nomor 24
Modus dari data dalam tabel berikut ini adalah ....
A). $ 72,5 \, $ B). $ 72,75 \, $ C). $ 73,5 \, $ D). $ 73,75 \, $ E). $ 74,5 \, $
Nomor 25
Nilai rata-rata ujian matematika dari 43 siswa adalah 56. Jika nilai ujian dua siswa, yaitu Tuti dan Tono, digabungkan dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-rata ujian matematika menjadi 55. Apabila Tuti mendapat nilai 25, maka Tono mendapat nilai ....
A). $ 40 \, $ B). $ 42 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 46 \, $ E). $ 48 \, $

Pembahasan Turunan UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ x^2 + kx + k = 0 $ , maka nilai $ k $ yang menjadikan $ x_1^3 + x_2^3 \, $ mencapai maksimum adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum atau minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_1(x_1+x_2) $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + kx + k = 0 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-k}{1} = - k $ dan $ x_1x_2 = \frac{k}{1} = k $
*). Menentukan bentuk $ x_1^3 + x_2^3 $ dan syarat nilai maksimumnya :
$ \begin{align} x_1^3 + x_2^3 & = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_1(x_1+x_2) \\ x_1^3 + x_2^3 & = (-k)^3 - 3k(-k) \\ f(k) & = -k^3 + 3k^2 \\ f^\prime (k) & = -3k^2 + 6k \\ -3k^2 + 6k & = 0 \\ 3k(-k+2) & = 0 \\ k = 0 \vee k & = 2 \end{align} $
*). cek nilai $ k $ :
$ \begin{align} f(k) & = -k^3 + 3k^2 \\ k = 0 \rightarrow f(0) & = -0^3 + 3.0^2 = 0 \\ k = 2 \rightarrow f(2) & = -2^3 + 3.2^2 = 4 \end{align} $
Jadi, $ x_1^3 + x_2^3 $ akn maksimum pada saat $ k = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dari 8 pasangan suami-istri akan dibentuk tim beranggotakan 5 orang teridiri dari 3 pria dan 2 wanita dengan ketentuan tak boleh ada pasangan suami-istri. Banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah ....
A). $ 56 \, $ B). $ 112 \, $ C). $ 336 \, $ D). $ 560 \, $ E). $ 672 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan perkalian :
Misalkan kejadian pertama ada $ p $ cara dan kejadian kedua ada $ q $ cara, total cara adalah $ p \times q $.
*). Untuk menghitung banyak cara yang tidak memperhatikan urutan yaitu menggunakan Kombinasi. Rumus kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 8 pasangan suami istri (pasutri) artinya ada 8 pria dan 8 wanita. Akan dipilih 5 orang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita dimana tidak boleh ada pasangan suami istri.
*). Agar tidak terdapat pasutri dari 5 orang yang kita pilih, maka :
-). pertama : kita pilih 2 wanita dulu, dengan $ C_2^8 = 28 \, $ cara
-). kedua : agar tidak ada pasutri, maka 2 pria yang menjadi pasangan 2 wanita yang telah kita pilih tadi tidak kita pilih dulu sehingga untuk pria ada 6 pilihan saja. Kita akan pilih 3 pria dari 6 pria tersedia yaitu $ C_3^6 = 20 \, $ cara.
-). total cara :
$ \begin{align} & = C_2^8 \times C_3^6 = 28 \times 20 = 560 \end{align} $
Jadi, ada 560 tim yang terbentuk $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan integral UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika D daerah dikuadran I yang dibatasi oleh parabola $ y^2 = 2x $ dan garis $ x - y = 4 $, maka luas D = ....
A). $ 40\sqrt{2} \, $ B). $ 40 \, $ C). $ \frac{64\sqrt{2}}{3} \, $ D). $ \frac{64}{3} \, $ E). $ 13\frac{1}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yaitu $x = f(y) $ dan $ x = g(y) $ dengan batas ada di sumbu Y yaitu $ a \leq y \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, [ f(y) - g(y)] dx $
(kurva kanan $ - $ kurva kiri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar grafik :
-). Kurva $ y^2 = 2x \rightarrow x = \frac{1}{2}y^2 $
Karena persamaannya $ x = ay^2 $ , maka kurva menghadap kekanan dengan $ a = \frac{1}{2} > 0 $, serta memotong sumbu Y di $ x = 0 \rightarrow y^2 = 2.0 \rightarrow y = 0 $.
-). garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ memotong sumbu-sumbu di $ (0,-4) $ dan $ (4,0) $. 

-). Titik potong kedua kurva :
substitusi garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = 2x \\ y^2 & = 2(y + 4) \\ y^2 -2y - 8 & = 0 \\ (y + 2)(y-4) & = 0 \\ y = -2 \vee y & = 4 \\ y = -2 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = -2 + 4 = 2 \\ y = 4 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua kurva : $ (2,-2) $ dan $ (8, 4) $.
*). Menentukan luas daerah yang diarsir :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^4 [(y + 4) - \frac{1}{2}y^2 ] dy \\ & = [ \frac{1}{2}y^2 + 4y - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}y^3 ]_0^4 \\ & = [\frac{1}{2}.4^2 + 4.4 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.4^3 ] - 0 \\ & = 8 + 16 - \frac{32}{3} = 24 - \frac{32}{3} \\ & = \frac{72}{3} - \frac{32}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 13\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan integral UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika D daerah dikuadran I yang dibatasi oleh parabola $ y^2 = 2x $ dan garis $ x - y = 4 $, maka luas D = ....
A). $ 40\sqrt{2} \, $ B). $ 40 \, $ C). $ \frac{64\sqrt{2}}{3} \, $ D). $ \frac{64}{3} \, $ E). $ 13\frac{1}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ dengan batas ada di sumbu X yaitu $ a \leq x \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, f(x) dx $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = f(x) $ dan $ y = g(x) $ dengan batas ada di sumbu X yaitu $ a \leq x \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas $ - $ kurva bawah)
*). RUmus integral : $ \int (ax)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{1}{n+1}(ax)^{n+1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar grafik :
-). Kurva $ y^2 = 2x \rightarrow y = (2x)^\frac{1}{2} $
Karena persamaannya $ x = ay^2 $ , maka kurva menghadap kekanan dengan $ a = \frac{1}{2} > 0 $, serta memotong sumbu Y di $ x = 0 \rightarrow y^2 = 2.0 \rightarrow y = 0 $.
-). garis $ x - y = 4 \rightarrow y = x - 4 $ memotong sumbu-sumbu di $ (0,-4) $ dan $ (4,0) $. 

-). Titik potong kedua kurva :
substitusi garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = 2x \\ y^2 & = 2(y + 4) \\ y^2 -2y - 8 & = 0 \\ (y + 2)(y-4) & = 0 \\ y = -2 \vee y & = 4 \\ y = -2 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = -2 + 4 = 2 \\ y = 4 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua kurva : $ (2,-2) $ dan $ (8, 4) $.
*). Untuk memudahkan penghitungan, kita bagi daerah D menjadi dua yaitu A dan B.
*). Menentukan luas daerah yang diarsir :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \text{Luas A } + \text{ Luas B} \\ & = \int \limits_0^4 (2x)^\frac{1}{2} dx + \int \limits_4^8 [(2x)^\frac{1}{2} - (x - 4)] dx \\ & = \int \limits_0^4 (2x)^\frac{1}{2} dx + \int \limits_4^8 [(2x)^\frac{1}{2} - x + 4] dx \\ & = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} (2x)^\frac{3}{2}|_0^4 + [ \frac{1}{2}.\frac{2}{3}(2x)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 + 4x]_4^8 \\ & = \frac{1}{3} (2x)^\frac{3}{2}|_0^4 + [ \frac{1}{3}(2x)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 + 4x]_4^8 \\ & = \frac{1}{3} (2.4)^\frac{3}{2}- 0 + [\frac{1}{3}(2.8)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}.8^2 + 4.8] - [\frac{1}{3}(2.4)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}.4^2 + 4.4] \\ & = \frac{1}{3} (2.4)^\frac{3}{2} + \frac{1}{3}(16)^\frac{3}{2} - 32 + 32 - \frac{1}{3}(2.4)^\frac{3}{2} + 8 - 16 \\ & = \frac{1}{3}.64 - 8 = \frac{64}{3} - \frac{24}{3} \\ & = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 13\frac{1}{3} . \, \heartsuit $