Cara 3 : Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Konsep Dasar Transformasi :
Pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ sama dengan Rotasi pusat $P(0,c) $ dan matriksnya $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) $ dimana $ \tan \theta = m $
*). Rotasi dengan pusat $ (m,n) $ dan matriks rotasinya MT :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = MT . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) $
*). Rumus Trogonometri :
$ \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2 \sin ^2 \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : Konsep Transformasi
*). Pencerminan terhadap garis $ y = 2x + 3 $ sama dengan Rotasi dengan pusat $(m,n) = (0,3) $ ,
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 2 \tan \theta = \frac{2}{1} = \frac{de}{sa} $
 

Sehingga nilai :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $
$ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $
*). Menentukan nilai $ \sin 2 \theta , \, \cos 2 \theta $ dan matriks transformasinya :
$ \sin 2 \theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5} $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2\sin ^2 \theta = 1 - 2 . (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = -\frac{3}{5} $
Matriks transformasinya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari transformasinya :
Awalnya titik $A(0,0) $ dan bayangannya $ (x^\prime , y^\prime ) = (a,b) $ dengan pusat rotasi $ (m,n) = (0,3) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 - 0 \\ 0-3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{12}{5} \\ -\frac{9}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{12}{5} \\ \frac{6}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
artinya nilai $ a = -\frac{12}{5} $ dan $ b = \frac{6}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Jarak titik $ (p,q)$ ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.p + n.q + c }{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : dengan Konsep Jarak
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 2x + 3 $ memotong sumbu X dan Y di $(-\frac{3}{2},0) $ dan $ (0,3) $.
 

Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 2x + 3 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta jarak AC sama dengan jarak BC.
*). Jarak titik $ A(0,0) $ ke garis $ 2x - y + 3 = 0 $ (panjang AC) :
$ \begin{align} \text{Panjang AC } & = \left| \frac{2.0 - 0 + 3 }{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{ 3 }{\sqrt{4 + 1}} \right| = \frac{ 3 }{\sqrt{5}} \end{align} $
*). Jarak A ke B (panjang AB) :
$ \begin{align} \text{Panjang AB } & = \sqrt{ (a-0)^2 + (b-0)^2 } = \sqrt{a^2 + b^2 } \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} \text{Panjang AB } & = 2 \times \text{Panjang AC} \\ \sqrt{a^2 + b^2 } & = 2 \times \frac{ 3 }{\sqrt{5}} \\ \sqrt{a^2 + b^2 } & = \frac{ 6 }{\sqrt{5}} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{a^2 + b^2 })^2 & = \left( \frac{ 6 }{\sqrt{5}} \right)^2 \\ a^2 + b^2 & = \frac{ 36 }{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis lurus : $ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
*). Hubungan dua garis tegak lurus :
dua garis tegak lurus, berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian kedua gradien garis hasilnya $-1 $ ).
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $ (x_2,y_2)$ adalah :
Titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan : Cara I,
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 2x + 3 $ memotong sumbu X dan Y di $(-\frac{3}{2},0) $ dan $ (0,3) $.
 

Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 2x + 3 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta garis AB tegak lurus dengan garis $ y = 2x + 3 $ (sebagai cerminnya).
*). Menentukan persamaan pertama dari gradien :
-). gradien garis AB dengan $A(0,0)$ dan $ B(a,b) $ ,
$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{b - 0 }{a-0} = \frac{b}{a} $
-). gradien garis $ y = 2x = 3 $ adalah $ m = 2 $.
-). Kedua garis tegak lurus sehingga :
$ m_{AB}.m = -1 \rightarrow \frac{b}{a} . 2 = -1 \rightarrow a = -2b \, $ ....pers(i)
*). Menenentukan titik tengah AB yaitu titik C yang juga dilalui oleh garis $ y = 2x + 3 $ :
$ C = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{a + 0}{2} , \frac{b +0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right) $ .
*). Substitusi titik C ke garis $ y = 2x + 3 $ (karena dilalui) :
$ \begin{align} y & = 2x + 3 \\ \frac{b}{2} & = 2 . \frac{a}{2} + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ b & = 2 a + 6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} b & = 2 a + 6 \\ b & = 2 . (-2b) + 6 \\ b & = -4b + 6 \\ 5b & = 6 \\ b & = \frac{6}{5} \end{align} $
Pers(i) : $ a = -2b = -2 . \frac{6}{5} = -\frac{12}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $