Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Dasar Kode 641


Nomor 1
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} $ adalah ...
A). $ -8 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $
Nomor 2
Jika $ {}^7 \log ( {}^3 \log ( {}^2 \log x )) = 0 $ , maka nilai $ 2x + {}^4 \log x^2 $ adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 21 \, $ E). $ 24 \, $
Nomor 3
Jika persamaan kuadrat $ x^2 - px + q = 0 $ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $ p - q $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -3 $
Nomor 4
Diberikan sistem $ a^2x-3y=1 $ , $ \frac{4}{3}\left( a + \frac{3}{2} \right) x + \left( \frac{1}{a} + 1 \right) y = 6 $. Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka $ a = ... $
A). $ \{ a \in R : a = 12 \text{ dan } a = 2 \} \, $
B). $ \{ a \in R : a = 6 \text{ dan } a = 4 \} \, $
C). $ \{ a \in R : a = 3 \text{ dan } a = -2 \} \, $
D). $ \{ a \in R : a = -5 \text{ dan } a = 2 \} \, $
E). $ \{ a \in R : a = -2 \text{ dan } a = -3 \} \, $
Nomor 5
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ adalah ...
A). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
B). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \} \, $
C). $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
D). $ \{ x \in R : x \leq \frac{13}{6} \} \, $
E). $ \{ x \in R : 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $

Nomor 6
Sebelas buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 187. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 289 \, $ B). $ 323 \, $ C). $ 357 \, $ D). $ 399 \, $ E). $ 418 $
Nomor 7
Diketahui $ A = \left[ \begin{matrix} a & -3 \\ 1 & d \end{matrix} \right] $. Jika $ A = A^{-1} $, maka nilai $ |a-d| $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 8
Daerah R persegi panjang yang memiliki titik sudut $ (-1,1) $ , $ (4,1) $ , $ (-1,-5) $ dan $ (4,-5) $. Suatu titik akan dipilih dari R. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $ y = \frac{3}{2}x - 5 $ adalah ...
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{2}{5} \, $ C). $ \frac{3}{5} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{3}{4} $
Nomor 9
Diketahui $ f $ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $ y = -x+1 $ di titik $ x = -1 $. Jika $ f^\prime (1) = 3 $ , maka $ f(4) = ... $
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 17 \, $ E). $ 22 $
Nomor 10
Banyak cara menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan adalah ....
A). $ 180 \times 8! \, $ B). $ 240 \times 7! \, $ C). $ 364 \times 6! \, $ D). $ 282 \times 4! \, $ E). $ 144 \times 5! $

Nomor 11
Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di B dengan $ AB = 6 $ dan $ BC = 8 $. Titik M, N berturut-turut berada pada sisi AC sehingga $ AM : MN : NC = 1 : 2 : 3 $. Titik P dan Q secara berurutan berada pada sisi AB dan BC sehingga AP tegak lurus PM dan BQ tegak lurus QN. Luas segiempat PMNQ adalah ...
A). $ 9\frac{1}{3} \, $ B). $ 8\frac{1}{3} \, $ C). $ 7\frac{1}{3} \, $ D). $ 6\frac{1}{3} \, $ E). $ 5\frac{1}{3} $
Nomor 12
Jika $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $ , maka nilai $ ( g \circ h)(3) $ adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x+1) = \frac{2x-7}{x+1} $ , maka ....
(1). $ f(-1) = 11 $
(2). $ f^{-1} (-1) = 3 $
(3). $ (f \circ f )^{-1} (-1) = -9 $
(4). $ \frac{1}{f^{-1}(-2)} = \frac{4}{9} $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ , maka ...
(1). $ f $ terdefinisi di $ x \geq 0 $
(2). $ f^\prime (2) = \frac{2}{3} $
(3). $ y = \frac{2}{3}x-\frac{1}{3} $ adalah garis singgung di $ x = 2 $
(4). $ f $ selalu mempunyai turunan di setiap titik
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah 14, maka ...
(1). jangkauannya adalah 18
(2). variansinya adalah 84
(3). jumlahnya adalah 36
(4). simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{20}{3} $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 635

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $ , maka ...
(1). $ f^{\prime \prime } (1) = 246 $
(2). $ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440 $
(3). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (0,10) $ adalah $ y = 36x - 10 $
(4). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (1,15) $ adalah $ y = 36x - 21 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $ :
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 \\ f^\prime (x) & = 5.3 (2x-1)^4 . 2 + 6 \\ & = 30(2x-1)^4 + 6 \\ f^{ \prime \prime } (x) & = 4.30(2x-1)^3 . 2 \\ & = 240(2x-1)^3 \\ f^{\prime \prime \prime }(x) & = 3. 240 (2x-1)^2. 2 \\ & = 1440(2x-1)^2 \end{align} $

*). Kita cek setiap pernyataan :
(1). $ f^{\prime \prime } (1) = 246 $?
$ f^{\prime \prime } (1) = 240(2.1-1)^3 = 240.1 = 240 $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440 $?
$ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440(2.0-1)^2 = 1440 . 1 = 1440 $
Pernyataan (2) BENAR.

(3). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (0,10) $ adalah $ y = 36x - 10 $?
titik $ (0,10) $ tidak berada pada garis $ y = 36x - 10 $ , sehingga pernyataan (3) otomatis SALAH.

(4). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (1,15) $ adalah $ y = 36x - 21 $ ?
-). Gradien garis singgung kurva $ f $ di $ x = 1 $ :
$ m = f^\prime (1) = 30(2.1-1)^4 + 6 = 30.1 + 6 = 36 $
-). titik $ (1,15) $ tidak berada pada kurva $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $, karena $ f(1) = 16 $, sehingga titik $ (1,15) $ bukan sebagai titik singgung kurva $ f $, ini artinya gradiennya bukan $ 36 $. Jika pernyataan (4) juga SALAH, maka berdasarkan petunjuk C tidak ada jawabannya untuk yang BENAR hanya pernyataan (2) saja. Berarti terjadi kesalahan pada soal. Ada dua kemungkinan perbaikannya :
Pertama : fungsi $ f $ kita ubah menjadi $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 6 $ sehingga titik $ (1,15) $ menjadi titik singgung kurva $ f $.
Kedua : fungsi $ f(x) $ tidak diubah, namun pernyataan (4) kita ubah menjadi : persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung kurva $ f $ di $ x = 1 $ , sehingga gradiennya tetap kita gunakan $ m = 36 $ karena sejajar.
-). Dari kedua perbaikan di atas, maka persamaan garis di titik $ (1,15) $ dengan $ m = 36 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - 15 & = 36 ( x - 1) \\ y - 15 & = 36x - 36 \\ y & = 36x - 21 \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (2) dan (4) yang BENAR, jawabannya C.
Jadi, yang BENAR adalah (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Komposisi Fungsi Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 635

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = \sqrt{x-4} $ dan $ g(x) = x^2 $ , maka ....
(1). daerah asal fungsi $ f $ adalah $ \{ x \in R : x \geq 0 \} $
(2). daerah hasil fungsi $ g $ adalah $ \{ y \in R : y \geq 0 \} $
(3). daerah asal fungsi $ f \circ g $ adalah $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq 2 \} $
(4). daerah asal fungsi $ g \circ f $ adalah $ \{ x \in R : x \geq 4 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Daerah asal (domain) fungsi :
-). Bentuk akar : $ y = \sqrt{h(x)} $ memiliki daerah asal $ h(x) \geq 0 $
-). Bentuk polinomial : $ y = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 $
memiliki domain real $ ( x \in R ) $.
-). Fungsi komposisi $ ( f \circ g) (x) $
Misalkan hasilnya $ p = ( f \circ g) (x) $, diperoleh $ D_p $
Domain $ (f \circ g)(x) = \{ D_p \cap D_g \} $
*). Daerah hasil fungsi kuadrat : $ y = ax^2 + by + c $ dengan $ a > 0 $
Daerah hasilnya adalah $ \{ y \in R : y \geq \frac{D}{-4a} \} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = \sqrt{x-4} $ dan $ g(x) = x^2 $
*). Kita cek setiap pernyataan :
(1). daerah asal fungsi $ f $ adalah $ \{ x \in R : x \geq 0 \} $ ?
Fungsi $ f(x) = \sqrt{x-4} $ , daerah asalnya :
$ x-4 \geq 0 \rightarrow x \geq 4 $
Domain $ f $ adalah $ \{ x \in R : x \geq 4 \} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). daerah hasil fungsi $ g $ adalah $ \{ y \in R : y \geq 0 \} $ ?
Fungsi $ g(x) = x^2 $ , Daerah hasilnya :
$ y \geq \frac{D}{-4a} \rightarrow y \geq \frac{0^2 - 4.1.0}{-4.1} \rightarrow y \geq 0 $
Daerah hasil $ g $ adalah $ \{ y \in R : y \geq 0 \} $
Pernyataan (2) BENAR.

(3). daerah asal fungsi $ f \circ g $ adalah $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq 2 \} $ ?
$ p = ( f \circ g )(x) = f(g(x)) = f(x^2) = \sqrt{x^2 - 4 } $
-). Domain dari $ p $ yaitu :
$ x^2 - 4 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-2) \geq 0 \rightarrow x \leq -2 \vee x \geq 2 $
-). Domain dari $ g(x) = x^2 $ yaitu $ D_g = \{ x \in R \} $
-). DOmain $ f \circ g $ :
$ D_{f \circ g} = \{ D_p \cap D_g \} = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). daerah asal fungsi $ g \circ f $ adalah $ \{ x \in R : x \geq 4 \} $ ?
$ q = ( g \circ f )(x) = g(f(x)) = g( \sqrt{x-4}) = x - 4 $
-). Domain dari $ q $ yaitu : $ D_q = \{ x \in R \} $
-). Domain dari $ f(x) = \sqrt{x-4} $ yaitu $ D_f = \{ x \geq 4 \} $
-). DOmain $ g \circ f $ :
$ D_{g \circ f} = \{ D_q \cap D_f \} = \{ x \geq 4 \} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (2) dan (4) yang BENAR, jawabannya C.
Jadi, yang BENAR pernyataan (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Datar Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 635

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di B dengan $ AB = 6 $ dan $ BC = 8 $. Titik M, N berturut-turut berada pada sisi AC sehingga $ AM : MN : NC = 1 : 2 : 3 $. Titik P dan Q secara berurutan berada pada sisi AB dan BC sehingga AP tegak lurus PM dan BQ tegak lurus QN. Luas segiempat PMNQ adalah ...
A). $ 9\frac{1}{3} \, $ B). $ 8\frac{1}{3} \, $ C). $ 7\frac{1}{3} \, $ D). $ 6\frac{1}{3} \, $ E). $ 5\frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga = $ \frac{1}{2} \times $ alas $ \times $ tinggi
*). Konsep kesebangunan :
-). Misalkan $\Delta PQR $ sebangun dengan $ \Delta MNO $, dan perbandingan salah satu sisi yang bersesuaian $ a : b $ , maka perbandingan luasnya yaitu : $ \text{Luas PQR} : \text{Luas MNO} = a^2 : b^2 $.
-). Dua segitiga dikatakan sebangun jika ketiga sudut yang bersesuaian besarnya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Luas ABC $ = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 $
*). Dari gambar kita peroleh :
-). $ AM : AC = 1 : 6 $ dan $ NC : AC = 3 : 6 = 1 : 2 $
-) segitiga APM sebangun dengan segitiga ABC
$\begin{align} \frac{AP}{AB} & = \frac{AM}{AC} \\ \frac{AP}{6} & = \frac{1}{6} \\ AP & = 1 \end{align} $
-) segitiga CNQ sebangun dengan segitiga ABC
$\begin{align} \frac{CQ}{BC} & = \frac{CN}{AC} \\ \frac{CQ}{8} & = \frac{1}{2} \\ CQ & = 4 \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga APM :
$\begin{align} \frac{\text{Luas APM}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{AM^2}{AC^2} \\ \frac{\text{Luas APM}}{24} & = \frac{1^2}{6^2} \\ \frac{\text{Luas APM}}{24} & = \frac{1}{36} \\ \text{Luas APM} & = \frac{1}{36} \times 24 = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga CNQ :
$\begin{align} \frac{\text{Luas CNQ}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{NC^2}{AC^2} \\ \frac{\text{Luas CNQ}}{24} & = \frac{1^2}{2^2} \\ \frac{\text{Luas CNQ}}{24} & = \frac{1}{4} \\ \text{Luas CNQ} & = \frac{1}{4} \times 24 = 6 \end{align} $
*). Luas segitiga PBQ :
$ PB = AB - AP = 6 - 1 = 5 $
$ BQ = BC - CQ = 8 - 4 = 4 $
Luas $ \Delta PBQ = \frac{1}{2} . BQ.PB = \frac{1}{2}.4.5 = 10 $
*). Menentukan luas PMNQ :
$\begin{align} \text{Luas PMNQ} & = \text{L ABC} - (\text{L APM} + \text{L CNQ} + \text{L PBQ} ) \\ & = 24 - ( \frac{2}{3} + 6 + 10) = 7\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, Luas PMNQ adalah $ 7\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 635

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang terdiri dari bola warna merah dan biru, kemudian diambil 2 bola secara bersamaan. Jika banyak cara mengambil bola merah dan biru adalah 9, maka selisih banyaknya bola merah dan biru adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pengambilan bola pada suatu kotak menggunakan kombinasi.
*). RUmus kombinasi $ r $ dari $ n $ unsur :
$ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
Khusus untuk $ r = 1 $ berlaku $ C_1^n = n $
*). Selisih dua bilangan adalah hasil pengurangan nilai yang lebih besar dikurangkan nilai yang lebih kecil.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaannya :
-). Misalkan banyak bola merah adalah M dan bola biru sebanyak B.
-). persamaan pertama : terdapat 10 bola yang terdiri dari bola warna merah dan biru
$ M + B = 10 \, $ ..........(i)
-). Persamaan kedua : banyak cara mengambil 1 bola merah dan 1 biru adalah 9
$\begin{align} C_1^M . C_1^B & = 9 \\ M.B & = 9 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Dari bentuk $ M + B = 10 $ dan $ M.B = 9 $ , maka ada dua kemungkinan nilai M dan B yaitu $ M = 9 , B = 1 $ atau $ M = 1 , B = 9 $ .
*). Menentukan selisih M dan B :
$\begin{align} \text{Selisih } & = 9 - 1 = 8 \end{align} $
Jadi, selisihnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $