2009 Pembahasan Sistem Persamaan Linear UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Dua kg jeruk dan tiga kg apel harganya RP 45.000,-. Lima kg jeruk dan dua kg apel harganya Rp 25.000,-. Harga satu kg jeruk dan satu kg apel sama dengan .....
A). Rp 6.000,-
B). Rp 9.000,-
C). Rp 11.000,-
D). Rp 17.000,-
E). Rp 20.000,-

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Untuk Menyelesaikan sistem persamaan linear, kita bisa menerapkan cara eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan :
$ x = \, $ harga 1 kg jeruk,
$ y = \, $ harga 1 kg apel,
*). Sistem persamaan yang terbentuk :
Pertama : $ 2x + 3y = 45000 \, $ ....(i)
Kedua : $ 5x + 2y = 52000 \, $ ....(ii)
*). Eliminasi persamaan (i) dan (ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 45000 & \times 2 & 4x + 6y = 90000 & \\ 5x + 2y = 52000 & \times 3 & 15x + 6y = 156000 & - \\ \hline & & -11x = -66000 & \\ & & x = 6000 & \end{array} $
persamaan (i) :
$ 2x + 3y = 45000 \rightarrow 2.(6000) + 3y = 45000 \rightarrow y = 11 000 $ .
*). Menentukan nilai $ x + y $ :
$ \begin{align} x + y & = 6000 + 11000 \\ & = 17000 \end{align} $ .
Jadi, harga yang dimaksud adalah Rp 17.000,- $ . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

2009 Pembahasan Persamaan Kuadrat Kedua UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika persamaan $ x^2-2ax-3a^2-4a-1=0 $ mempunyai akar-akar kembar, maka akar tersebut adalah ....
A). $-1\, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $\frac{1}{2} \, $ D). $1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK):
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $,
Syarat akar-akar PK kembar : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan kuadrat :
$ x^2-2ax-3a^2-4a-1=0 $
$ \rightarrow a = 1, b = -2a , c = -3a^2-4a-1 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dengan syarat $ D = 0 $ :
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-2a)^2 - 4.1.(-3a^2-4a-1) & = 0 \\ 4a^2 + 12a^2 + 16a + 4 & = 0 \\ 16a^2 + 16a + 4 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4a^2 + 4a + 1 & = 0 \\ (2a + 1)^2 & = 0 \\ 2a + 1 & = 0 \\ 2a & = -1 \\ a & = -\frac{1}{2} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ a = -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

2009 Pembahasan Persamaan Kuadrat Pertama UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2$ akar-akar persamaan $ 6x^2 - 5x + 2m - 5 = 0 $ . Jika $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=5 $ , maka nilai $ m $ adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK):
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $,
Operasi Akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan kuadrat :
$ 6x^2 - 5x + 2m - 5 = 0 \rightarrow a = 6, b = -5 , c = 2m - 5 $.
*). Menentukan nilai $ m $ :
$ \begin{align} \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} & = 5 \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1.x_2} & = 5 \\ \frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}} & = 5 \\ \frac{-b}{c} & = 5 \\ -b & = 5c \\ -(-5) & = 5(2m-5) \\ 5 & = 10m - 25 \\ 10m & = 30 \\ m & = \frac{30}{10} = 3 \end{align} $ .
Jadi, nilai $ m = 3 . \, \heartsuit $



Diposting oleh 2 komentar:
Label:

2009 Pembahasan Logaritma UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2^x = a $ dan $ 2^y = b $ dengan $ x , \, y > 0 $ , maka $ \frac{2x+3y}{x+2y} = ... $
A). $\frac{3}{5} \, $ B). $\frac{5}{3} \, $ C). $ 1 + {}^{ab} \log ab^2 \, $ D). $1 + {}^{ab} \log a^2b \, $ E). $1 + {}^{ab^2} \log ab $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Definisi Logaritma :
$ a^c = b \rightarrow c = {}^a \log b $
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a} = {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} 2^x & = a \rightarrow x = {}^2 \log a \\ 2^y & = b \rightarrow y = {}^2 \log b \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \frac{2x+3y}{x+2y} & = \frac{2.{}^2 \log a +3.{}^2 \log b}{{}^2 \log a+2.{}^2 \log b} \\ & = \frac{{}^2 \log a^2 + {}^2 \log b^3}{{}^2 \log a+{}^2 \log b^2} \\ & = \frac{{}^2 \log a^2b^3 }{{}^2 \log a b^2} \\ & = {}^{a b^2} \log a^2b^3 \\ & = {}^{a b^2} \log [(ab^2).(ab)] \\ & = {}^{a b^2} \log (ab^2) + {}^{a b^2} \log (ab) \\ & = 1 + {}^{a b^2} \log ab \end{align} $ .
Jadi, nilai $ \frac{2x+3y}{x+2y} = 1 + {}^{a b^2} \log ab . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

2009 Cara 2 : Pembahasan Persamaan Eksponen UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian persamaan $ \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} = \frac{3}{2} $ , maka $ (x_1-x_2)^2 = .... $
A). $ \frac{9}{4} \, $ B). $ \frac{25}{4} \, $ C). $ \frac{41}{4} \, $ D). $ \frac{25}{2} \, $ E). $ 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^m} \, $ sehingga $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.
*). Operasi Selisih akar-akar persamaan Kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $,
maka $ x_1-x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} \, $ dengan $ D=b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Operasi akar-akar Persaman Kuadrat
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} & = \frac{3}{2} \\ \left([\frac{2}{3}]^2\right)^{x^2-3}\left([\frac{2}{3}]^3\right)^{1-x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2-6}\left(\frac{2}{3} \right)^{3-3x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{(2x^2-6)+(3-3x)} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2 - 3x - 3} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ 2x^2 - 3x - 3 & = -1 \\ 2x^2 - 3x - 2 & = 0 \\ a = 2 , b = -3 , c & = -2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ (x_1-x_2)^2 $ :
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = \left( \frac{\sqrt{D}}{a} \right)^2 \\ & = \frac{D}{a^2} = \frac{b^2-4ac}{a^2} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.2.(-2)}{2^2} \\ & = \frac{9+16}{4} = \frac{25}{4} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ = (x_1-x_2)^2 = \frac{25}{4} . \, \heartsuit $

Catatan :
Operasi akar-akar ini kita gunakan terutama jika persamaan kuadratnya tidak bisa difaktorkan.



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

2009 Pembahasan Persamaan Eksponen UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian persamaan $ \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} = \frac{3}{2} $ , maka $ (x_1-x_2)^2 = .... $
A). $ \frac{9}{4} \, $ B). $ \frac{25}{4} \, $ C). $ \frac{41}{4} \, $ D). $ \frac{25}{2} \, $ E). $ 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^m} \, $ sehingga $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal dan memfaktorkan :
$\begin{align} \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} & = \frac{3}{2} \\ \left([\frac{2}{3}]^2\right)^{x^2-3}\left([\frac{2}{3}]^3\right)^{1-x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2-6}\left(\frac{2}{3} \right)^{3-3x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{(2x^2-6)+(3-3x)} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2 - 3x - 3} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ 2x^2 - 3x - 3 & = -1 \\ 2x^2 - 3x - 2 & = 0 \\ (2x + 1)(x-2) & = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
Misalkan kita pilih $ x_1 = 2 $ dan $ x_2 = -\frac{1}{2} $ .
*). Menentukan nilai $ (x_1-x_2)^2 $ :
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = \left( 2 - (-\frac{1}{2}) \right)^2 \\ & = \left( 2+\frac{1}{2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{5}{2} \right)^2 \\ & = \frac{25}{4} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ = (x_1-x_2)^2 = \frac{25}{4} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan UTUL UGM Matematika Dasar tahun 2009


Nomor 1
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian persamaan $ \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} = \frac{3}{2} $ , maka $ (x_1-x_2)^2 = .... $
A). $ \frac{9}{4} \, $ B). $ \frac{25}{4} \, $ C). $ \frac{41}{4} \, $ D). $ \frac{25}{2} \, $ E). $ 25 $
Nomor 2
Jika $ 2^x = a $ dan $ 2^y = b $ dengan $ x , \, y > 0 $ , maka $ \frac{2x+3y}{x+2y} = ... $
A). $\frac{3}{5} \, $ B). $\frac{5}{3} \, $ C). $ 1 + {}^{ab} \log ab^2 \, $ D). $1 + {}^{ab} \log a^2b \, $ E). $1 + {}^{ab^2} \log ab $
Nomor 3
Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2$ akar-akar persamaan $ 6x^2 - 5x + 2m - 5 = 0 $ . Jika $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=5 $ , maka nilai $ m $ adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 4
Jika persamaan $ x^2-2ax-3a^2-4a-1=0 $ mempunyai akar-akar kembar, maka akar tersebut adalah ....
A). $-1\, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $\frac{1}{2} \, $ D). $1 \, $ E). $ 2 \, $
Nomor 5
Dua kg jeruk dan tiga kg apel harganya RP 45.000,-. Lima kg jeruk dan dua kg apel harganya Rp 25.000,-. Harga satu kg jeruk dan satu kg apel sama dengan .....
A). $ Rp 6.000,- \, $ B). $ Rp 9.000,- \, $
C). $ Rp 11.000,- \, $ D). $ Rp 17.000,- \, $
E). $ Rp 20.000,- \, $

Nomor 6
Jika garis $ (a+b)x + 2by = 2 $ dan garis $ ax - (b-3a)y = -4 $ berpotongan di $(1,-1) $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $
Nomor 7
Pertaksamaan $ \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} \leq \frac{1}{\sqrt{x}} $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ 1 \leq x \leq 3 \, $ B). $ 1 \leq x \leq \sqrt{3} \, $ atau $ x \geq 3 $
C). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $ D). $ 0 < x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $
E). $ 0 \leq x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $
Nomor 8
Nilai maksimum untuk $ z = 6x + 3y - 2 $ yang memenuhi sistem pertaksamaan
$ \, \, \, \, \, \, x + 2y \leq 4 $
$ \, \, \, \, \, \, x - y \leq 2 $
$ \, \, \, \, \, \, x + y \geq 1 $
$ \, \, \, \, \, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $
adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 19 $
Nomor 9
Dalam suatu deret aritmetika, jika $ U_3 + U_7 = 56 $ dan $ U_6 + U_{10} = 86 $ , maka suku ke-2 deret tersebut adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 15 $
Nomor 10
Jika barisan geometri $ y+1, \, 2y-2, \, 7y-1 $ mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ....
A). $ 108 \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ -\frac{4}{3} \, $ D). $ -108 \, $ E). $ -324 $

Nomor 11
Jika $\left( \begin{matrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ -a + 2b & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ ab = ... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $
Nomor 12
Jika A matriks berordo $ 2 \times 2 $ sehingga $A \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) $ dan $A \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix} \right) $ , maka $ A^2 = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 9\end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) $
Nomor 13
Jika $ \sin A = \sqrt{2pq} $ , dan $ \tan A = \frac{\sqrt{2pq}}{p-q} $ , maka $ p^2 + q^2 = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $
Nomor 14
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin x - \cos x > 0 $ , $ 0 \leq x \leq 2\pi $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \, $ B). $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \, $
C). $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \, $ D). $ \pi < x < 2\pi $
E). $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} \, $
Nomor 15
Jika sebuah dadu dilempar dua kali, maka peluang untuk mendapat jumlah angka kurang dari lima adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ \frac{4}{9} \, $ C). $ \frac{5}{18} \, $ D). $ \frac{1}{6} \, $ E). $ \frac{1}{12} $
Nomor 16
Nilai rata-rata tes matematika suatu kelas yang terdiri dari 42 siswa adalah 6,3 dengan jangkauan 4. Jika satu nilai terendah dan satu nilai tertinggi tidak diikutsertakan, maka rata-ratanya menjadi 6,25. Nilai terendah untuk tes tersebut adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 5,03 \, $ C). $ 5,3 \, $ D). $ 5,05 \, $ E). $ 5,5 $
Nomor 17
Diketahui $ f(x) = 2x - 1 $ dan $ g(x) = \frac{5x}{x+1} $. Jika $ h $ adalah fungsi sehingga $ (g\circ h)(x)=x-2 $ , maka $ (h \circ f)(x) = .... $
A). $ \frac{2x-3}{2x+8} \, $ B). $ \frac{2x-3}{-2x+6} \, $
C). $ \frac{2x-3}{2x-8} \, $ D). $ \frac{2x-3}{-2x+8} \, $
E). $ \frac{2x-3}{-2x-8} $
Nomor 18
Jika $ f(x) = x\sqrt{1-x} $ , maka nilai $ a $ yang memenuhi $ f^\prime (a) = 1 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{8}{9} \, $ C). $ 0 \, $ dan $ \frac{8}{9} $
D). $ 0 \, $ dan $ -\frac{8}{9} $ E). $ -\frac{8}{9} \, $ dan $ \frac{8}{9} $
Nomor 19
Jika grafik di bawah merupakan grafik fungsi $ y = f^\prime (x) $ , maka

A). $ f \, $ mencapai maksimum relatif di $ x = -1 $
B). $ f \, $ mencapai minimum relatif di $ x = 1 $
C). $ f \, $ mencapai maksimum relatif di $ x = -3 $ dan $ x = 1 $
D). $ f \, $ mencapai maksimum relatif di $ x = -3 $ dan $ x = 2 $
E). $ f \, $ mencapai minimum relatif di $ x = -3 $ dan $ x = 2 $
Nomor 20
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $\left| \begin{matrix} 2x-3 & 3 \\ x & x - 2 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ -12 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 12 $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Komentar (Atom)