Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 631 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Suatu pin ATM terdiri dari tiga angka berbeda, tetapi angka pertama tidak boleh nol. Peluang bahwa kartu ATM tersebut mempunyai nomor cantik 123, 234, 345, 567, 678, atau 789 adalah ....
$\spadesuit \, $ Pilihan angka dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Ada 10 pilihan angka untuk pembuatan pin ATM
Pin terdiri dari 3 angka yang berbeda ( angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi) dan angka pertama tidak boleh nol, sehingga banyak cara penyusunannya :
Angka pertama : ada 9 pilihan angka (karena nol tidak boleh)
Angka kedua : ada 9 pilihan angka (karena satu angka sudah dipakai pada angka pertama)
Angka ketiga : ada 8 pilihan angka (karena dua angka sudah dipakai untuk angka pertama dan kedua)
sehingga total cara : $ n(S) = 9 . 9 . 8 $
$\spadesuit \, $ Angka cantiknya ada 6 yaitu : 123, 234, 345, 567, 678, atau 789
Sehingga $ n(A) = 6 \, $ (banyak harapannya)
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{6}{9.9.8}=\frac{3}{324}$
Jadi, peluang nomor cantiknya adalah $\frac{3}{324}. \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ f(x) = \frac{ax+1}{3x-1}, \, g(x) = x-2, \, $ dan $ (g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \frac{7}{2}, \, $ maka $ a = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep invers pada komposisi fungsi
sifat : $(f\circ g)^{-1} (x) = (g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) $
Definisi : $ f^{-1} (x) = y \leftrightarrow x = f(y) $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$ g(x) = x-2 \rightarrow g(\frac{7}{2} ) = \frac{7}{2} - 2 \rightarrow g(\frac{7}{2} ) = \frac{3}{2} $
$\begin{align} (g^{-1} \circ f^{-1})(2) & = \frac{7}{2} \, \, \, \text{(dari sifat)} \\ (f\circ g)^{-1} (2) & = \frac{7}{2} \, \, \, \text{(dari definisi)} \\ 2 & = (f\circ g) \left( \frac{7}{2} \right) \\ 2 & = f\left( g \left( \frac{7}{2} \right) \right) \\ 2 & = f\left( \frac{3}{2} \right) \\ 2 & = \frac{a.\frac{3}{2} +1}{3.\frac{3}{2} -1} \\ 2 & = \frac{a.\frac{3}{2} +1}{3.\frac{3}{2} -1} . \frac{2}{2} \\ 2 & = \frac{3a +2}{9-2} \\ 2 & = \frac{3a +2}{7} \\ 3a + 2 & = 14 \\ 3a & = 12 \\ a & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 4. \heartsuit $
Nomor 13
Syarat agar fungsi $ f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{2}x^2 - 3x + 8 \, $ selalu turun untuk semua nilai real $ x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Fungsi $ f(x) $ akan turun dengan syarat : $ f^\prime (x) < 0 $
Suatu fungsi kuadrat disebut definit negatif (nilainya akan selalu negatif untuk semua $ x \, $ ) jika memenuhi syarat : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{2}x^2 - 3x + 8 $
$\begin{align} \text{turunannya : } \, f^\prime (x) & = -3x^2 + ax - x - 3 \\ f^\prime (x) & = -3x^2 + (a-1)x - 3 \end{align}$
$\begin{align} \text{Syarat turun : } \, \, \, \, f^\prime (x) & < 0 \\ -3x^2 + (a-1)x - 3 & < 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Bentuk $ -3x^2 + (a-1)x - 3 < 0 \, $ artinya nilai $ -3x^2 + (a-1)x - 3 \, $ selalu negatif untuk semua $ x \, $ yang terpenuhi untuk syarat definit negatif : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan syarat definit negatif dari $ -3x^2 + (a-1)x - 3 $
syarat(i) : $ a < 0 \rightarrow -3 < 0 \, $ (benar)
$\begin{align} \text{syarat(ii) : } \, D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac & < 0 \\ (a-1)^2 - 4.(-3).(-3) & < 0 \\ a^2 - 2a + 1 - 36 & < 0 \\ a^2 - 2a - 35 & < 0 \\ (a +5)(a-7) & < 0 \\ a = -5 \vee a & = 7 \end{align}$
sbmptn_matdas_k631_4_2014.png
Jadi, solusinya HP $ = \{ -5 < a < 7 \} . \heartsuit $
Nomor 14
Himpunan penyelesaian dari $ \left( \frac{1}{8} \right)^{8+2x-x^2} \geq \left( \frac{1}{16} \right)^{x+2} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep pertidaksamaan eksponen (perpangkatan)
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, \text{solusinya} \, \left\{ \begin{array}{cc} f(x) \geq g(x) , & \text{untuk} \, a > 1 \\ f(x) \leq g(x), & \text{untuk} \, 0 < a < 1 \end{array} \right. $
Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\clubsuit \, $ Menyamakan basis
$\begin{align} \left( \frac{1}{8} \right)^{8+2x-x^2} & \geq \left( \frac{1}{16} \right)^{x+2} \\ \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{8+2x-x^2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \right)^{x+2} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{24+6x-3x^2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{4x+8} \\ 24+6x-3x^2 & \leq 4x+8 \, \, \, \text{(dibalik karena basis kurang dari 1)} \\ -3x^2 + 2x + 16 & \leq 0 \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 3x^2 - 2x - 16 & \geq 0 \\ (3x-8)(x+2) & \geq 0 \\ x = \frac{8}{3} \vee x & = -2 \end{align} $
sbmptn_matdas_k631_5_2014.png
Jadi, $HP = \{ x \leq -2 \vee x \geq \frac{8}{3} \} . \heartsuit $
Nomor 15
Jika $ \log (\log x ) = \log (\log (1+y)) + \log 2 \, $ dan $ \log (x-5) = 2\log y , \, $ maka $ x + y = ..... $
$\clubsuit \, $ Konsep logaritma
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$ {}^a \log b^n = n.{}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan kedua persamaan
Persamaan pertama :
$\begin{align} \log (\log x ) & = \log (\log (1+y)) + \log 2 \, \, \, \text{(dengan sifat log)} \\ \log (\log x ) & = \log [(\log (1+y)) . 2 ] \\ \log (\log x ) & = \log [2.\log (1+y) ] \, \, \, \text{(coret log paling luar)} \\ \log x & = 2.\log (1+y) \\ \log x & = \log (1+y)^2 \, \, \, \text{(coret log)} \\ x & = (1+y)^2 \\ x & = y^2 + 2y + 1 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
Persamaan kedua :
$\begin{align} \log (x-5) & = 2\log y \\ \log (x-5) & = \log y^2 \, \, \, \text{(coret log)} \\ x - 5 & = y^2 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Sustitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} x - 5 & = y^2 \\ y^2 + 2y + 1 - 5 & = y^2 \\ 2y & = 4 \\ y & = 2 \end{align} $
pers(ii) : $ x-5 = y^2 \rightarrow x-5 = 2^2 \rightarrow x = 9 $
sehingga nilai $ x + y = 9 + 2 = 11 $
Jadi, nilai $ x + y = 11 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 631 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Nilai maksimum $ a \, $ sehingga sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} x+y = 4a \\ 2x^2 + y^2 = 12a \end{array} \right. \, $ mempunyai penyelesaian adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Dua persamaan atau kurva (yang ada kaitannya dengan persamaan kuadrat) mempunyai penyelesaian (titik potong) jika nilai Diskriminannya lebih besar atau sama dengan nol ($ D \geq 0 $ ).
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
pers(i) : $ x+y = 4a \rightarrow y = 4a - x $
pers(ii) :
$\begin{align} 2x^2 + y^2 & = 12a \\ 2x^2 + (4a-x)^2 & = 12a \\ 2x^2 + 16a^2 - 8ax + x^2 & = 12a \\ 3x^2 - 8ax + 16a^2 - 12a & = 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat mempunyai penyelesaian : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D & \geq 0 \\ b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-8a)^2 - 4.3.(16a^2-12a) & \geq 0 \\ 64a^2 - 4.3.4(4a^2-3a) & \geq 0 \, \, \, \text{(bagi 16)} \\ 4a^2 - 12a^2 + 9a & \geq 0 \\ -8a^2 + 9a & \geq 0 \\ a(-8a + 9 ) & \geq 0 \\ a=0 \vee a & = \frac{9}{8} \end{align}$
sbmptn_matdas_k631_1_2014.png
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 0 \leq a \leq \frac{9}{8} \} \, $ .
Sehingga nilai maksimumnya : $ a_\text{maks} = \frac{9}{8} $
Jadi, nilai $ a_\text{maks} = \frac{9}{8} . \heartsuit $
Nomor 7
Semua nilai $ p \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{p}{p-2} < \frac{p-1}{p+2} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pembilang dan penyebutnya
$\begin{align} \frac{p}{p-2} & < \frac{p-1}{p+2} \\ \frac{p}{p-2} - \frac{p-1}{p+2} & < 0 \\ \frac{p(p+2) - (p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ \frac{(p^2+2p) - (p^2-3p+2)}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ \frac{5p-2}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ p = \frac{2}{5}, \, p = 2 , \, p & = -2 \end{align} $
sbmptn_matdas_k631_2_2014.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ p < -2 \vee \frac{2}{5} < p < 2 \} . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ \cos x=2\sin x $ , maka nilai $ \sin x \cos x $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \tan x$ dengan $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ :
$\cos x=2\sin x \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Buat segitiga dari nilai $\tan x=\frac{1}{2}$ :
sbmptn_matdas_k631_3_2014.png
sehingga $\sin x\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai $ \sin x\cos x=\frac{2}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 9
Diketahui $ p, x,y \, $ merupakan bilangan real dengan $ x > 0. \, $ Jika $ p,x,y, \frac{1}{5}x^2 \, $ membentuk barisan geometri, maka $ p^6x^{-3} = ..... $
$\clubsuit \, $ Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n}, \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$\clubsuit \, $ Barisan Geometri : $ p,x,y, \frac{1}{5}x^2 \, $
Barisan geometri : $ p,x,y $
Rasio sama, $ \frac{x}{p} = \frac{y}{x} \rightarrow x^2 = p.y \rightarrow y = \frac{x^2}{p} \, $ ...pers(i)
Barisan geometri : $ x,y, \frac{1}{5}x^2 $
Rasio sama, $ \frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{5}x^2}{y} \rightarrow y^2 = \frac{1}{5}x^3 \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} y = \frac{x^2}{p} \rightarrow y^2 & = \frac{1}{5}x^3 \\ \left( \frac{x^2}{p} \right)^2 & = \frac{1}{5}x^3 \\ \frac{x^4}{p^2} & = \frac{1}{5}x^3 \\ 5x & = p^2 \, \, \, \text{(pangkatkan 3)} \\ (5x)^3 & = ( p^2 )^3 \\ 125x^3 & = p^6 \\ \frac{p^6}{x^3} & = 125 \\ p^6.x^{-3} & = 125 \end{align}$
Jadi, nilai $ p^6.x^{-3} = 125 . \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) , \, $ B memiliki invers, dan $ (AB^{-1})^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) , \, $ maka matriks B = ....
$\spadesuit \, $ Sifat invers pada matriks
sifat(1) : $ (A^{-1})^{-1} = A $
sifat(2) : $(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1} $
sifat(3) : $ BA = C \rightarrow B = C . A^{-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ B $ dengan sifat invers
$\begin{align} (AB^{-1})^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(2)]} \\ (B^{-1})^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\ B. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(3)]} \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). (A^{-1})^{-1} \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). A \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, matriks $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 631 tahun 2014


Nomor 1
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah $p+0,1$ ; 40% lainnya adalah $p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah $p+q$, maka $q=...$
$\clubsuit \, $ Rumus rata-rata gabungan : $\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$
$\clubsuit \, $ Data dibagi menjadi 4 kelompok :
$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $q$
$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi, $q=\frac{7}{30}. \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^b \log a = -2 \, $ dan $ {}^3 \log b = \left( {}^3 \log 2 \right) ( 1 + {}^2 \log 4a ), \, $ maka $ 4a + b = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma:
Definisi : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = as^c $
Sifat : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) , \, $ dan $ {}^a \log b. {}^b \log c = {}^a \log c $
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
Persamaan pertama :
$\begin{align} {}^b \log a = -2 \rightarrow a & = b^{-2} \\ a & = \frac{1}{b^2} \\ a.b^2 & = 1 \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} {}^3 \log b & = \left( {}^3 \log 2 \right) ( 1 + {}^2 \log 4a ) \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 2 + {}^3 \log 2 . {}^2 \log 4a \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 2 + {}^3 \log 4a \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log (2. 4a) \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 8a \\ b & = 8a \, \, \, \text{ ....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align} b = 8a \rightarrow a.b^2 & = 1 \\ a.(8a)^2 & = 1 \\ 64a^3 & = 1 \\ a^3 & = \frac{1}{64} \\ a & = \frac{1}{4} \end{align}$
Pers(ii) : $ b = 8a = 8 . \frac{1}{4} = 2 $
Sehingga nilai $ 4a + b = 4. \frac{1}{4} + 2 = 1+2 = 3 $
Jadi, nilai $ 4a + b = 3 . \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ px^2 - qx + 4 = 0 \, $ memunyai akar positif $ \alpha \, $ dan $ \beta \, $ dengan $ \alpha = 4\beta . \, $ Jika grafik fungsi $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ mempunyai sumbu simetri $ x = \frac{5}{2} , \, $ maka nilai $ p \, $ dan $ q \, $ masing-masing adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan hubungan $ p \, $ dan $ q $ dengan operasi akar-akar
Diketahui : $ \alpha = 4 \beta \, $ ....pers(i)
PK : $ px^2 - qx + 4 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \alpha \, $ dan $ \beta $
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-q)}{p} \rightarrow \alpha + \beta = \frac{q}{p} \, $ ...pers(ii)
Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \alpha + \beta = \frac{q}{p} \rightarrow 4\beta + \beta = \frac{q}{p} \rightarrow 5\beta = \frac{q}{p} \rightarrow \beta = \frac{q}{5p} $
pers(i) : $ \alpha = 4 \beta = 4.\frac{q}{5p} = \frac{4q}{5p} \, $
Operasi perkalian dan gunakan $ \alpha = \frac{4q}{5p} , \, \beta = \frac{q}{5p} $
$\begin{align} \alpha . \beta & = \frac{c}{a} \\ \frac{4q}{5p} . \frac{q}{5p} & = \frac{4}{p} \\ q^2 & = 25p \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ dengan sumbu simetri $ x = \frac{5}{2} , $
artinya $ x_p = \frac{5}{2} \, $ dengan rumus $ x_p = \frac{-b}{2a} $
$\begin{align} x_p & = \frac{5}{2} \\ \frac{-b}{2a} & = \frac{5}{2} \\ \frac{-(-q)}{2p} & = \frac{5}{2} \\ q & = 5p \, \, \, \text{...pers(iv)} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke pers(iii)
$\begin{align} q = 5p \rightarrow q^2 & = 25p \\ (5p)^2 & = 25p \\ 25p^2 & = 25p \, \, \, \text{(bagi 25)} \\ p^2 & = p \\ p^2 - p & = 0 \\ p(p-1) & = 0 \\ p=0 \vee p & = 1 \end{align} $
Karena fungsi kuadrat berbentuk $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ , maka $ p \neq 0 , \, $ sehingga yang memenuhi adalah nilai $ p = 1 $ .
pers(iv) : $ q = 5p = 5.1 = 5 $
Jadi, diperoleh nilai $ p =1 \, $ dan $ q = 5. \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Rumus $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dapat dimodifikasi dengan $ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} . \frac{-b}{a} = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \end{align} $
Artinya bentuk lain rumus $ x_p \, $ adalah $ x_p = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) $
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ dengan sumbu simetri $ x = \frac{5}{2} , $
artinya $ x_p = \frac{5}{2} \, $ dengan rumus $ x_p = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \, $ dan diketahui $ \alpha = 4\beta $
$\begin{align} x_p & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} (\alpha + \beta) & = \frac{5}{2} \\ \alpha + \beta & = 5 \, \, \, \text{(subst. } \alpha = 4\beta ) \\ 4\beta + \beta & = 5 \\ 5\beta & = 5 \rightarrow \beta = 1 \end{align} $
Bentuk : $ \alpha = 4\beta \rightarrow \alpha = 4.1 = 4 $
diperole $ \alpha = 1 \, $ dan $ \beta = 4 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dengan operasi akar-akar
PK : $ px^2 - qx + 4 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \alpha \, $ dan $ \beta $
$\begin{align} *). \, \, \alpha.\beta & = \frac{c}{a} \\ 1.4 & = \frac{4}{p} \rightarrow p = 1 \\ *). \, \, \alpha+\beta & = \frac{-b}{a} \\ 1+4 & = \frac{-(-q)}{p} \\ 5 & = \frac{q}{1} \rightarrow q = 5 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ p =1 \, $ dan $ q = 5. \heartsuit $
Nomor 4
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 40 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ a > 2, \, $ maka grafik fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \, $
(A) berada di atas sumbu X
(B) berada di bawah sumbu X
(C) menyinggung sumbu X
(D) memotong sumbu X di dua titik berbeda
(E) memotong sumbu X di $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) \, $ dengan $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $
$\clubsuit \, $ Konsep nilai diskriminan ($D=b^2-4ac$) pada fungsi kuadrat (FK)
jika nilai $ D > 0 \, $ , maka FK memotong sumbu X di dua titik berbeda
jika nilai $ D = 0 \, $ , maka FK memotong sumbu X di satu titik (menyinggung)
jika nilai $ D < 0 \, $ , maka FK tidak memotong atau tidak menyinggungs sumbu X
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai Diskriminannya
fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \, $ dengan $ a > 2 $
$\begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2a)^2 - 4.a.2 \\ & = 4a^2 - 8a \\ D & = 4a(a - 2 ) \end{align}$
Karena nilai $ a > 2 \, $ , maka nilai $ (a-2) \, $ juga positif begitu juga nilai $ 4a $ .
Diperoleh nilai $ D = 4a(a-2) \, $ juga positif ($D > 0$), sehingga berdasarkan jenis nilai Diskriminan di atas maka FK memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
Catatan : Untuk opsi E, nilai $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 \, $ akan memungkinkan nilai $ x_1 \, $ sama dengan nilai $ x_2 \, $ , sedangkan dari syarat haruslah titik potongnya berbeda ($x_1 \neq x_2 $), sehingga opsi E salah.
Jadi, FK memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal Simak UI Matematika IPA KA2 tahun 2014 nomor 11 sampai 12


Nomor 11
Diberikan kubus PQRS.TUVW. Titik A terletak di tengah rusuk VW dan titik B terletak di rusuk RV sedemikian sehingga VB=2BR. Titik C terletak di perpanjangan rusuk UV sedemikian sehingga UV=2VC. Bidang $\Omega$ melalui A, B, dan C. Jika $\alpha$ adalah sudut terkecil yang terbentuk antara bidang $\Omega$ dan perpanjangan rusuk QU, maka $ \tan 2\alpha =...$
$\spadesuit \, $ Gambar
simak_ui_6_mat_ipa_ka2_2014.png
Sudut yang dientuk oleh QU dan ABC sama dengan sudut yang dibentuk oleh BV dan ABC yaitu sudut MBV. Misal panjang rusuk kubus 1, VB = 2BR artinya BR = $ \frac{1}{3} \, $ dan VB = $ \frac{2}{3} \, $ . UV = 2VC artinya VC = $ \frac{1}{2} \, $ dan UV = 1 .
Segitiga ABC sama kaki yaitu AB = BC .
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang VM pada segitiga AVC
$\begin{align} \text{Luas}_{\Delta AVC} & = \text{Luas}_{\Delta AVC} \\ \frac{1}{2}.VC.VA & = \frac{1}{2}.AC.VM \\ \frac{1}{2}.\frac{1}{2} & = \frac{1}{2}\sqrt{2}.VM \\ VM & = \frac{1}{4} \sqrt{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \tan \alpha \, $ segitiga MBV
$\tan \alpha = \frac{MV}{BV} = \frac{\frac{1}{4}\sqrt{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{8} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \tan 2\alpha $
$\begin{align} \tan 2\alpha & = \frac{ 2 \tan \alpha }{1- (\tan \alpha)^2} \\ \tan 2\alpha & = \frac{ 2 . \frac{3\sqrt{2}}{8} }{1- (\frac{3\sqrt{2}}{8})^2} \\ \tan 2\alpha & = \frac{24\sqrt{2}}{23} \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan 2\alpha = \frac{24\sqrt{2}}{23} . \heartsuit $
Nomor 12
Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 12.
Misalakan $x, y, \, $ dan $z$ memenuhi sistem persamaan
$\left\{ \begin{array}{c} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5 \\ 2x^2-z^2=4. \end{array} \right. $
Jika $x,y,z$ adalah suku-suku berurutan pada suatu deret aritmatika, maka $y=...$
1). $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} \, $ 2). $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{6}}{4} \, $ 3). $\frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4} \, $ 4). $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2} \, $
$\left\{ \begin{array}{c} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5 \, \, \text{...pers(i)} \\ 2x^2-z^2=4 \, \, \text{...pers(ii)}. \end{array} \right. $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ x, \, y, \, z $
Selisih sama : $ y-x = z-y \rightarrow x+z = 2y \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iii) : $ x+z = 2y \, $ ke pers(i)
$\begin{align} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz & = -5 \\ [-(x+z)-2y)][(x+z)-y]+2xz & = -5 \\ [-(2y)-2y)][(2y)-y]+2xz & = -5 \\ -4y.y+2xz & = -5 \\ 4y^2 - 5 - 2xz & = 0 \, \, \text{ ...pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Kuadratkan pers(iii)
$(x+z)^2 = (2y)^2 \rightarrow x^2+z^2 + 2xz = 4y^2 \, \, $ ...pers(v)
$\clubsuit \, $ Jumlahkan pers(iv) dan pers(v)
$ \begin{array}{cc} 4y^2 - 5 - 2xz = 0 & \\ x^2+z^2 + 2xz = 4y^2 & + \\ \hline 4y^2 + x^2 + z^2 - 5 = 4y^2 & \\ x^2 + z^2 = 5 \, \, \text{...pers(vi)} & \end{array} $
$\clubsuit \, $ Jumlahkan pers(ii) dan pers(vi)
$ \begin{array}{cc} 2x^2-z^2=4 & \\ x^2 + z^2 = 5 & + \\ \hline 3x^2 = 9 \rightarrow x^2 = 3 & \\ x = \pm \sqrt{3} & \end{array} $
pers(vi): $ x^2 + z^2 = 5 \rightarrow 3 + z^2 = 5 \rightarrow z^2 = 2 \rightarrow z = \pm \sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ y \, $ dari pers(iii)
$ x+z = 2y \rightarrow y = \frac{x+z}{2} $
* untuk $ x = \sqrt{3} \, $ dan $ \, z = \sqrt{2} $
$ y = \frac{x+z}{2} \rightarrow y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} $
* untuk $ x = -\sqrt{3} \, $ dan $ \, z = -\sqrt{2} $
$ y = \frac{x+z}{2} \rightarrow y = \frac{-\sqrt{3}+-\sqrt{2}}{2} = \frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4} $
Jadi, nilai $ y \, $ adalah $ y = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} \vee y = \frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4}. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-12

Pembahasan Soal Simak UI Matematika IPA KA2 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui $ \sin (40^\circ +\alpha )=b \, $, dengan $ 0 < \alpha < 50^\circ $. Nilai dari $ \cos (10^\circ +\alpha )=...$
$\spadesuit \, $ Buat segitiga dari $ \sin (40^\circ +\alpha )= \frac{b}{1} = \frac{de}{mi} $
simak_ui_4_mat_ipa_ka2_2014.png
Sehingga : $ \cos (40^\circ+\alpha )= \frac{\sqrt{1-b^2}}{1} = \sqrt{1-b^2} $
$\spadesuit \, $ Konsep : $ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ \cos (10^\circ +\alpha ) $
$\begin{align} \cos (10^\circ +\alpha ) & = \cos [ (40^\circ+\alpha ) - ( 30^\circ ) ] \\ & = \cos (40^\circ+\alpha ) . \cos 30^\circ + \sin (40^\circ+\alpha ) . \sin 30^\circ \\ & = \sqrt{1-b^2} . \frac{1}{2} \sqrt{3} + b . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3(1-b^2)} + b \right) \end{align}$
Jadi, nilai $ \cos (10^\circ +\alpha ) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3(1-b^2)} + b \right) . \heartsuit $
Nomor 7
Banyaknya nilai $x$ dengan $0\leq x \leq 2014\pi$ yang memenuhi persamaan $\frac{\sin 3x}{3-4\sin ^2x}=1$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Syarat penyebut pecahan $ \frac{\sin 3x}{3-4\sin ^2x}=1 $
$ 3-4\sin ^2x \neq \rightarrow \sin ^2x \neq \frac{3}{4} \, $ ....(i)
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
$ \sin 3x = 3\sin x - 4 \sin ^3 x $
$\clubsuit \, $ Misal $ p = \sin x \, $ , menyelesaikan persamaan
$\begin{align} \frac{\sin 3x}{3-4\sin ^2x} & =1 \\ \sin 3x & = 3-4\sin ^2x \\ 3\sin x - 4 \sin ^3 x & = 3-4\sin ^2x \\ 4 \sin ^3 x -4\sin ^2x - 3\sin x + 3 & = 0 \\ 4p^3 - 4p^2 -3p + 3 & = 0 \\ \text{dengan skema horner } \, & \, \text{ diperoleh} \\ (4p^2-3)(p-1) & = 0 \\ p^2 = \frac{3}{4} \vee p & = 1 \end{align}$
Skema hornernya :
simak_ui_5_mat_ipa_ka2_2014.png
Untuk $ p^2 = \frac{3}{4} \rightarrow \sin ^2 x = \frac{3}{4} , \, $ berdasarkan (i) maka $ \sin ^2 x = \frac{3}{4} \, $ tidak memenuhi .
Untuk $ p = 1 \rightarrow \sin x = 1 \rightarrow \sin x = \sin \frac{\pi}{2} $
solusinya :
$\begin{align} & \\ x & = \theta + k.2\pi \\ x & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \, \, \, \, ...(1) \end{align}$ $ \, \, \, \, \text{atau} \, \, \, \, $ $\begin{align} x & = \theta + k.2\pi \\ x & = (180^\circ - \frac{\pi}{2} ) + k.2\pi \\ x & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \, \, \, \, ...(2) \end{align}$
Bentuk (1) dan (2) sama, sehingga diambil salah satu saja.
$ x = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \rightarrow x = \left( 2k+\frac{1}{2} \right)\pi \, $ ...(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan banyaknya solusi dari bentuk (ii) dan syarat $ 0\leq x \leq 2014\pi $
$\begin{align} 0 \leq & x \leq 2014\pi \\ 0 \leq & \left( 2k+ \frac{1}{2} \right) \pi \leq 2014 \pi \, \, \, \text{(bagi } \pi ) \\ 0 \leq & 2k+ \frac{1}{2} \leq 2014 \\ - \frac{1}{2} \leq & 2k \leq 2014 - \frac{1}{2} \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ - \frac{1}{4} \leq & k \leq 1007 - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} \leq & k \leq 1006 + \frac{3}{4} \\ \text{karena } \, & k \, \text{ bulat, maka } \\ 0 \leq & k \leq 1006 \end{align}$
Ada 1007 bilangan bulat $ k \, $ yang memenuhi, sehingga solusi $ x \, $ berdasarkan $ x = \left( 2k+\frac{1}{2} \right)\pi \, $ juga ada 1007 solusi.
Jadi, banyaknya $ x \, $ yang memenuhi ada 1007 bilangan. $ \heartsuit $
Nomor 8
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 1} \left[ \left( \frac{4}{x^2-x} -\frac{4-3x+x^2}{1-x^3} \right)^{-1}+ \frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}} \right]=...$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai limit masing-masing
Konsep : $ \left( \frac{a}{b} \right)^{-1} = \frac{b}{a} $
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \frac{4}{x^2-x} -\frac{4-3x+x^2}{1-x^3} \right)^{-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \frac{4}{x(x-1)} -\frac{4-3x+x^2}{-(x-1)(x^2+x+1)} \right)^{-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \frac{4(x^2+x+1)}{x(x-1)(x^2+x+1)} + \frac{x(4-3x+x^2)}{(x-1)(x^2+x+1)} \right)^{-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \frac{4x^2+4x+4+4x-3x^2+x^3}{x(x-1)(x^2+x+1)} \right)^{-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \frac{x^3+x^2+8x+4}{x^4-x} \right)^{-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^4-x}{x^3+x^2+8x+4} \\ & = \frac{1^4-1}{1^3+1^2+8.1+4} = \frac{0}{14} = 0 \end{align}$
Konsep Turunan pada limit:
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan sampai hasilnya tidak sama dengan $ \frac{0}{0} $
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}} = \frac{0}{0} \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{4(x^3)}{2x+\frac{1}{x^2}} \\ & = \frac{4(1^3)}{2.1+\frac{1}{1^2}} \\ & = \frac{16}{3} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil limitnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \left[ \left( \frac{4}{x^2-x} -\frac{4-3x+x^2}{1-x^3} \right)^{-1}+ \frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}} \right] \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \frac{4}{x^2-x} -\frac{4-3x+x^2}{1-x^3} \right)^{-1} + \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{4(x^4-1)}{x^2-x^{-1}} \\ & = 0 + \frac{16}{3} \\ & = \frac{16}{3} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{16}{3} . \heartsuit $
Nomor 9
Misalkan $f(0)=1$ dan $f^\prime(0)=2$. Jika $g(x)=\cos (f(x))$, maka $g^\prime(0)=...$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar turunan
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi dan substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} g(x) & =\cos (f(x)) \\ g^\prime (x) & = f^\prime (x) . [-\sin (f(x)) ] \\ x=0 \rightarrow g^\prime (0) & = - f^\prime (0) . \sin (f(0)) \\ g^\prime (0) & = - 2 . \sin (1) \\ g^\prime (0) & = - 2 \sin 1 \end{align}$
Jadi, nilai turunannya $ g^\prime (0) = - 2 \sin 1 . \heartsuit $
Nomor 10
Jika $\int \limits_{-1}^a \frac{x+1}{(x+2)^4} \, dx=\frac{10}{81}$ dan $a > -2$, maka $a=...$
$\spadesuit \, $ Konsep dasar integral
$ \int (ax+b)^n \, dx = \frac{1}{a}. \frac{1}{n+1}.(ax+b){n+1} + c $
$\spadesuit \, $ Menentukan integral dan nilai $ a $
$\begin{align} \int \limits_{-1}^a \frac{x+1}{(x+2)^4} \, dx & = \frac{10}{81} \\ \int \limits_{-1}^a \frac{(x+2)}{(x+2)^4} - \frac{1}{(x+2)^4} \, dx & = \frac{10}{81} \\ \int \limits_{-1}^a \frac{1}{(x+2)^3} - \frac{1}{(x+2)^4} \, dx & = \frac{10}{81} \\ \int \limits_{-1}^a (x+2)^{-3} - (x+2)^{-4} \, dx & = \frac{10}{81} \\ \left[ \frac{1}{1}. \frac{1}{-3+1}.(x+2)^{-3+1} - \frac{1}{1}. \frac{1}{-4+1}.(x+2)^{-4+1} \right]_{-1}^a & = \frac{10}{81} \\ \left[ \frac{1}{-2}.(x+2)^{-2} - \frac{1}{-3}.(x+2)^{-3} \right]_{-1}^a & = \frac{10}{81} \\ \left[ \frac{-1}{2(x+2)^2} + \frac{1}{3(x+2)^3} \right]_{-1}^a & = \frac{10}{81} \\ \left[ \frac{1}{3(x+2)^3} - \frac{1}{2(x+2)^2} \right]_{-1}^a & = \frac{10}{81} \\ \left[ \frac{1}{3(a+2)^3} - \frac{1}{2(a+2)^2} \right] - \left[ \frac{1}{3(-1+2)^3} - \frac{1}{2(-1+2)^2} \right] & = \frac{10}{81} \\ \left[ \frac{1}{3(a+2)^3} - \frac{1}{2(a+2)^2} \right] - \left[ - \frac{1}{6} \right] & = \frac{10}{81} \\ \left[ \frac{1}{3(a+2)^3} - \frac{1}{2(a+2)^2} \right] + \left[ \frac{1}{6} \right] & = \frac{10}{81} \\ \left[ \frac{1}{3(a+2)^3} - \frac{1}{2(a+2)^2} \right] = \frac{10}{81} & - \frac{1}{6} \\ \text{(kedua ruas disederhanankan)} & \\ \frac{3a+4}{6(a+2)^3} & = \frac{7}{162} \end{align}$
Sehingga : $ 3a + 4 = 7 \rightarrow a = 1 $
Jadi, nilai $ a = 1. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-12