Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas bujur sangkar. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak ditentukan sebesar 432 cm$^2\, $ , maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_5_2002.png
$\begin{align} L_p & = L_{alas} + 4\times L_{samping} \\ 432 & = x^2 + 4xt \\ t & = \frac{432 - x^2}{4x} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan volume dan turunannya
$\begin{align} V & = L_{alas} \times t \\ V & = x^2.t \\ V & = x^2 . \frac{432 - x^2}{4x} \\ V & = \frac{1}{4} (432x-x^3) \rightarrow V^\prime = \frac{1}{4}(432-3x^2) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Nilai max/min : $ V^\prime = 0 \, $ (turunan = 0)
$ V^\prime = 0 \rightarrow \frac{1}{4}(432-3x^2) = 0 \rightarrow x = 12 $
sehingga volume maksimumnya saat $ x = 12 $
$V_{max} = \frac{1}{4} (432x-x^3) = \frac{1}{4} (432.12-(12)^3) = 864 $
Jadi, volume maksimumnya adalah 864. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Balok tanpa tutup :
$V_{max} = \frac{L_p}{6}.\sqrt{\frac{L_p}{3}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan volume maksimum dengan $ L_p = 432 $
$V_{max} = \frac{L_p}{6}.\sqrt{\frac{L_p}{3}} = \frac{432}{6}.\sqrt{\frac{432}{3}} = 864 $
Jadi, volume maksimumnya adalah 864. $ \heartsuit $
Nomor 22
Jika $r \, $ rasio deret geometri tak hingga yang jumlahnya mempunyai limit dan $S \, $ limit jumlah deret tak hingga $1 + \frac{1}{4+r} + \frac{1}{(4+r)^2} + ....+ \frac{1}{(4+r)^n} + ..... \, $ , maka .....
$\clubsuit \, r \, $ adalah rasio deret geometri tak hingga, sehingga harus $ -1 < r < 1 $
Rumus dasar tak hingga : $ S_\infty = \frac{a}{1-rasio} $
Deret : $1 + \frac{1}{4+r} + \frac{1}{(4+r)^2} + ....+ \frac{1}{(4+r)^n} + ..... \, $
dengan $ a = 1 \, \, $ dan $ \, rasio = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{4+r} $
Jumlah tak hingganya dengan $S_\infty = S $ adalah :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-rasio} \\ S & = \frac{1}{1- \frac{1}{4+r} } \\ S & = \frac{4+r}{3+r} \\ S & = 1 + \frac{1}{3+r} \end{align}$
Untuk interval nilai $ r $ : $ -1 < r < 1 $
Nilai terkecil untuk $r=1 $ , $ S = 1 + \frac{1}{3+1} = 1\frac{1}{4} $
Nilai terbesar untuk $r=-1 $ , $ S = 1 + \frac{1}{3+(-1)} = 1\frac{1}{2} $
Jadi, rentang nilai $ S $ adalah $ 1\frac{1}{4} < S < 1\frac{1}{2}. \heartsuit $
Nomor 23
Titik-titik sudut segitiga sama kaki ABC terletak pada lingkaran berjari-jari 3 cm. Jika alas AB = $2\sqrt{2} \, $ cm, maka $\, \, \tan A = .... $
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_6_2002.png
$AB = 2\sqrt{2} \rightarrow AD = \frac{1}{2}AB = \sqrt{2} $
$OD = \sqrt{OB^2-DB^2} = \sqrt{3^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{9-2} = \sqrt{7} $
$CD = CO + OD = 3 + \sqrt{7} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai tan A pada segitiga ACD
$\begin{align} \tan A & = \frac{CD}{AD} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \tan A & = \frac{1}{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{14}) \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan A = \frac{1}{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{14}) . \heartsuit $
Nomor 24
Jika ${}^8 \log 5 = r , \, $ maka $ \, {}^5 \log 16 = .... $
$\clubsuit \,$ Sifat-sifat logaritma
${{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b \, \, $ dan $ \, {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan yang diketahui
${}^8 \log 5 = r \rightarrow {{}^2}^3 \log 5^1 = r $
$ \rightarrow \frac{1}{3} {}^2 \log 5 = r \rightarrow {}^2 \log 5 = 3r $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^5 \log 16 & = {}^5 \log 2^4 \\ & = 4 . {}^5 \log 2 \\ & = 4. \frac{1}{{}^2 \log 5} \\ & = 4 . \frac{1}{3r} = \frac{4}{3r} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^5 \log 16 = \frac{4}{3r} . \heartsuit $
Nomor 25
Untuk memperpendek lintasan A menuju C melalui B, dibuat jalan pintas dari A langsung ke C. Jika AB = $a \, $ dan BC = $3a \, $ , maka panjang jalur pintas AC adalah .....
spmb_matdas_1_2002.png
$\spadesuit \, $ Aturan cosinus pada sudut B
$\begin{align} AC^2 & = BC^2 + BA^2 - 2BC.BA . \cos B \\ & = (3a)^2 + a^2 - 2 . (3a).a . \cos 120^\circ \\ & = 9a^2 + a^2 - 6a^2. (-\frac{1}{2}) \\ & = 10a^2 + 3a^2 \\ AC^2 & = 13a^2 \\ AC & = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} \end{align}$
Jadi, panajang $ AC = a\sqrt{13} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jumlah semua bilangan ganjil antara bilangan 20 dan 60 adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan Aritmetika : $ U_n = a+ (n-1)b \, \, \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
Barisan bilangan ganjil antara 20 dan 60 adalah :
21, 23, 25, .... 59
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak suku dengan $ a = 21 \, \, $ dan $ \, b = 2 $
$\begin{align} U_n = 59 \rightarrow a+(n-1)b & = 59 \\ 21+(n-1)2 & = 59 \\ n & = 20 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Jumlah semua bilangan ($S_{20}$)
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_{20} & = \frac{20}{2}(2.21+19.2) \\ & = 10(42 + 38 ) \\ & = 800 \end{align}$
Jadi, jumlah semua bilangannya adalah 800. $\heartsuit $
Nomor 17
Jika $p, \, q , \, $ dan $\, r \, $ membentuk suku - suku deret aritmetika, maka $ p^2+q^2+r^2 = ....$
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $p, \, q, \, r $
Selisih sama : $ q-p = r-q \rightarrow q = \frac{p+r}{2} $
$\clubsuit \, $ Substitusikan nilai $q$
$\begin{align} p^2+q^2+r^2 & = p^2+\left( \frac{p+r}{2} \right)^2+r^2 \\ & = p^2+ \frac{p^2+r^2+2pr}{4} +r^2 \\ & = \frac{5p^2+2pr+5r^2}{4} \end{align}$
Jadi, bentuk lainnya adalah $ \frac{5p^2+2pr+5r^2}{4} . \heartsuit $
Nomor 18
Suku pertama, pembanding dan suku ke-($n-1$) dari deret geometri masing-masing adalah 1, 3, dan 243. Jumlah $n \, $ suku pertama = ....
$\spadesuit \, $ Deret Geometri : $ U_n = ar^{n-1} \, $ dan $\, S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak suku dengan $ a = 1, \, r=3, \, U_{n-1} = 243 $
$\begin{align} U_n = ar^{n-1} \rightarrow U_{n-1} & = ar^{(n-1)-1} \\ 243 & = 1.3^{n-2} \\ 3^5 & = 3^{n-2} \\ n-2 & = 5 \\ n & = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah 7 suku pertama
$\begin{align} S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \rightarrow S_7 & = \frac{1.(3^7-1)}{3-1} \\ & = \frac{2186}{2} = 1093 \end{align}$
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 1093 . $ \heartsuit $
Nomor 19
Jika M matriks berordo 2 $\times \, $ 2 dan $M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \, $ , maka $ M^2 \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar matriks
Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Sifat Invers : $ AB = C \rightarrow A = C.B^{-1} $
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks M
$\begin{align} M\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \\ MP=Q \rightarrow M & = Q.P^{-1} \\ M & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) . \frac{1}{2.3-4.1}\left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 14 & 10 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -2.3+1.(-4) & -2.-1+1.2 \\ 14.3+10.-4 & 14.-1+10.2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks M$^2$
$\begin{align} M^2 & = M.M \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $ M^2 = \left( \begin{matrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 20
Pak Agus bekerja selama 6 hari dengan 4 hari diantaranya lembur, mendapat upah Rp. 74.000,00. Pak Bardi bekerja selama 5 hari dengan 2 hari diantaranya lembur mendapat upah Rp.55.000,00. Pak Agus , pak Bardi dan pak Dodo bekerja dengan upah yang sama. Jika pak Dodo bekerja 5 hari dengan terus-menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan : upah kerja = $x$ tiap hari, dan upah lembur = $y$ tiap hari
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
pak Agus : $6x+4y = 74000 \, $ ...pers(i)
pak Bardi : $5x+2y = 55000 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 6x+4y = 74000 & \times 1 & 6x+4y = 74000 & \\ 5x+2y = 55000 & \times 2 & 10x+4y = 110000 & - \\ \hline & & -4x = -36000 \rightarrow x = 9000 & \end{array} $
pers(ii) : $ 5.(9000)+2y = 55000 \rightarrow y = 5000 $
sehingga upah pak Dodo :
$5x + 5y = 5(x+y) = 5(9000+5000) = 70.000$
Jadi, upah pak Dodo adalah 70.000 . $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui $f(x) = ax^2+bx+4 $ . Jika gradien garis singgung kurva di $ x = 2 \, $ adalah $-1 \, $ dan di $ x = 1 \, $ adalah 3, maka $ a+b = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar Gradien ($m$) garis singgung : $ m = f^\prime (x) $
$f(x) = ax^2+bx+4 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $
$\spadesuit \, $ Substitusi semua gradiennya dengan $ \, f^\prime (x) = 2ax + b $
* $ m = -1 \, \, $ saat $ \, x = 2 \, \, $ substitusi ke $ \, m = f^\prime (x) $
$ \, \, \, -1 = f^\prime (2) \rightarrow -1 = 2a.2 + b \rightarrow 4a + b = -1 \, \, $ ...pers(i)
* $ m = 3 \, \, $ saat $ \, x = 1 \, \, $ substitusi ke $ \, m = f^\prime (x) $
$ \, \, \, 3 = f^\prime (1) \rightarrow 3 = 2a.1 + b \rightarrow 2a + b = 3 \, \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 4a + b = -1 & \\ 2a + b = 3 & - \\ \hline 2a=-4 & \\ a = -2 & \end{array} $
pers(ii) : $ 2a + b = 3 \rightarrow 2.(-2) + b = 3 \rightarrow b = 7 $
Sehingga : $a+b = -2 + 7 = 5 $
Jadi, nilai $ a + b = 5. \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ , maka $ -2f^\prime (x) = .... $
$\clubsuit \, $ Rumus dasar Turunan : $ y = x^n \rightarrow y^\prime = n x^{n-1} $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{\sqrt{x}} \\ f(x) & = x^\frac{-1}{2} \\ f^\prime (x) & = \frac{-1}{2}x^{\frac{-1}{2} - 1 } = -\frac{1}{2}x^\frac{-3}{2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{x^\frac{3}{2}} \\ f^\prime (x) & = -\frac{1}{2} \frac{1}{x\sqrt{x}} \end{align}$
Sehingga : $ -2f^\prime (x) = -2 . -\frac{1}{2} \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x\sqrt{x}} $
Jadi, nilai $ -2f^\prime (x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} . \heartsuit $
Nomor 13
Nilai - nilai yang memenuhi pertaksamaan $ \, \frac{2x-1}{3x+2} \geq 2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align*} \frac{2x-1}{3x+2} & \geq 2 \\ \frac{2x-1}{3x+2} -2 & \geq 0 \\ \frac{2x-1}{3x+2} - \frac{2(3x+2)}{3x+2} & \geq 0 \\ \frac{-4x-5}{3x+2} & \geq 0 \\ x = -\frac{5}{4} \, & \vee \, x = -\frac{2}{3} \end{align*}$
spmb_matdas_3_2002.png
Catatan : Akar - akar penyebut tidak diikutkan (pasti bolong)
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ -\frac{5}{4} \leq x < -\frac{2}{3} \} . \heartsuit $
Nomor 14
Deret $S_4 = U_1 + U_2+U_3+U_4 \, $ merupakan deret aritmetika dan $ U_1 > U_2 \, $. Jika determinan matriks $\left( \begin{matrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end{matrix} \right) \, $ adalah $ -2 \, $ dan $ S_4=2 , \, $ maka $\left( \begin{matrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end{matrix} \right)^{-1} = .... $
$\clubsuit \,$ Barisan Aritmetika : $ U_n = a+ (n-1)b \, \, \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
karena $ U_1 > U_2 \, $ , maka bedanya negatif ($b < 0 $ ) .
$\clubsuit \,$ Menentukan determinan
$\begin{align} \left| \begin{matrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end{matrix} \right| & = -2 \\ U_1.U_4 - U_2.U_3 & = -2 \\ a.(a+3b) - (a+b).(a+2b) & = -2 \\ a^2+3ab - (a^2+3ab+2b^2) & = -2 \\ -2b^2 & = -2 \\ b^2 & = 1 \rightarrow b = \pm 1 \end{align}$
yang memenuhi adalah $ b = -1 \, $ karena harus negatif
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ \, a $ dari $ S_4 = 2 $
$ S_4=2 \rightarrow \frac{4}{2}(2a+3b) = 2 \rightarrow 2(2a+3.(-1)) = 2 \rightarrow a = 2 $
$\clubsuit \,$ Menentukan matriksnya
$A = \left( \begin{matrix} U_1 & U_2 \\ U_3 & U_4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & a+b \\ a+2b & a+3b \end{matrix} \right) $
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & 2+(-1) \\ 2+2.(-1) & 2+3.(-1) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$\clubsuit \,$ Menentukan Invers matriksnya
Konsep Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\begin{align} A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} & = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) \\ A^{-1} & = \frac{1}{(-1.2)-(0.(-1))} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2} \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, inversnya adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 15
Panjang sisi miring suatu segitiga siku - siku adalah $ 2^{x+2} \, $ . Jika panjang dua sisi yang lain adalah 4 dan $ 2^{2x+1} \, $ , maka nilai $x \, $ yang memenuhi terletak pada interval ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_4_2002.png
$\spadesuit \, $ Menentukan interval $x \, $ dengan $ \, c > a \, $ dan $\, c > b$
$\begin{align} c & > a \\ 2^{x+2} & > 4 \\ 2^{x+2} & > 2^2 \\ x+2 & > 2 \\ x & > 0 \, \, \, \text{...(HP1)} \end{align}$ $\begin{align} c & > b \\ 2^{x+2} & > 2^{2x+1} \\ x+2 & > 2x 1 \\ -x & > -1 \\ x & < 1 \, \, \, \text{...(HP2)} \end{align}$
Sehingga solusinya : HP = $HP_1 \cap HP_2 = \{ 0 < x < 1 \} $
Jadi, interval nilai $x \, $ adalah $ \{ 0 < x < 1 \} . \heartsuit $


Cara II :
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_4_2002.png
$\spadesuit \, $ Berdasarkan gambar, berlaku pythagoras yaitu :
Misalkan : $ 2^{2x} = p $
$\begin{align} a^2 + b^2 & = c^2 \\ 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^2. 2^{4x} & = 2^4.2^{2x} \\ 16 + 4. (2^{2x})^2 & = 16.2^{2x} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4 + (2^{2x})^2 & = 4.2^{2x} \, \, \, \, \, \, \text{(ganti } p) \\ 4 + p^2 & = 4p \\ p^2 - 4p + 4 & = 0 \\ (p-2)^2 & = 0 \\ p & = 2 \end{align}$
nilai $ x $ :
$ p = 2 \rightarrow 2^{2x} = 2 \rightarrow 2x = 1 \rightarrow x = \frac{1}{2} $.
Sehingga nilai $ a $ ada pada interval $ \{ 0 < x < 1 \} $
Jadi, nilai $x \, $ ada pada interval $ \{ 0 < x < 1 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diberikan segitiga ABC dengan A(1,5), B(4,1), C(6,4). Persamaan garis yang melalui titik A dan tegak lurus garis BC adalah ....
$\spadesuit \, $ Gradien garis BC
$m_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{4-1}{6-4} = \frac{3}{2} $
$\spadesuit \, $ Garis melalui A tegak lurus BC
$m_1.m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = - \frac{2}{3} $
$\spadesuit \, $ Persamaan garis melalui titik A(1,5)
$\begin{align} y-y_1 & = m ( x-x_1) \\ y-5 & = - \frac{2}{3}. ( x-1) \\ 3y-15 & = -2x+2 \\ 2x+3y -17 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garisnya adalah $ 2x+3y -17 = 0 . \heartsuit $
Nomor 7
Untuk $ -\pi \leq x \leq \pi \, $ , nilai $x \, $ yang memenuhi $ \, 4\cos ^2 x - 4\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 3 = 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar : $ \sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos x $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaan
$\begin{align} 4\cos ^2 x - 4\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) - 3 & = 0 \\ 4\cos ^2 x - 4\cos x - 3 & = 0 \\ (2\cos x + 1)(2\cos x - 3) & = 0 \\ \cos x = -\frac{1}{2} \rightarrow x & = -\frac{2\pi}{3} \, \text{dan} \, \, x = \frac{2\pi}{3} \\ \cos x = \frac{3}{2} \rightarrow \, & \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align} $
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah $ x = -\frac{2\pi}{3} \, \text{dan} \, \, x = \frac{2\pi}{3} . \heartsuit$
Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2+6x+9} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\cos px = 1-2\sin ^2 \frac{p}{2} x $
$1-\cos (x+3) = 1-[1-2\sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) ] = 2\sin \frac{1}{2} (x+3).\sin \frac{1}{2} (x+3) $
$\displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ dengan syarat $ f(k) = 0 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{1-\cos (x+3)}{x^2+6x+9} & = \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{2\sin \frac{1}{2} (x+3).\sin \frac{1}{2} (x+3) }{(x+3)(x+3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3} 2. \frac{\sin \frac{1}{2} (x+3)}{(x+3)} . \frac{\sin \frac{1}{2} (x+3) }{(x+3)} \\ & = 2 . \frac{\frac{1}{2}}{1} .\frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 9
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{2x^2+5x+6} - \sqrt{2x^2+2x-1} \right) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{2x^2+5x+6} - \sqrt{2x^2+2x-1} \right) & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{5-2}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{3}{2\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{3}{4} \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{4} \sqrt{2} . \heartsuit$
Nomor 10
Jika fungsi $ f(x)=x^3+px^2-9x \, $ hanya didefinisikan untuk nilai - nalai $x\, $ yang memenuhi $\, -6 \leq x \leq 0 \, $ dan mencapai nilai maksimum pada saat $ \, x =-3 \, $ , maka nilai $ p \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Nilai max/min , syarat : $ f^\prime (x) = 0 $
$ f(x)=x^3+px^2-9x \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 + 2px - 9 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow 3x^2 + 2px - 9 = 0 \, \, \, $ ....pers(i)
$\spadesuit \, $ Nilai maksimum saat $ x = - 3 \, $ , artinya $ x = -3 \, $ adalah solusi dari pers(i), sehingga bisa disubstitusi ke pers(i)
$\begin{align*} 3x^2 + 2px - 9 & = 0 \\ 3(-3)^2 + 2p.(-3) - 9 & = 0 \, \, \text{(bagi 3)} \\ 9 -2p -3 & = 0 \\ 2p & = 6 \\ p & = 3 \end{align*}$
Jadi, nilai $ p =3 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25