Soal dan Pembahasan UM UGM 2018 Matematika IPA Kode 576


Nomor 1
Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $ \frac{9}{4} $. Suku pertama dan rasio deret tersebut masing-masing $ a $ dan $ -\frac{1}{a} $ , dengan $ a > 0 $. Jika $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ pada deret tersebut, maka $ 3U_6 - U_5 = ...$
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{27} \, $ C). $ -\frac{2}{27} \, $ D). $ \frac{1}{27} \, $ E). $ -\frac{1}{27} $
Nomor 2
Diketahui $ m $ adalah sisa pembagian polinomial $ h(x)=x^3-x^2+2x+2 $ oleh $ x -1 $. Nilai $ k $ yang memenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{mx^3-kx+5}{kx^3+3x^2-7} - k \right) = 0 $ adalah ...
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 3
Jika fungsi $ f $ , dengan $ f(x) = \sqrt[3]{x^3+m^3x^6} $ turun pada $ (-\infty , -1] $ , dengan $ 8m^3 + 8 = ... $
A). $ 16 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 0 $
Nomor 4
Pertidaksamaan $ {}^2 \log (x^2-x) \leq 1 $ mempunyai penyelesaian ...
A). $ x < 0 \, $ atau $ x > 1 $
B). $ -1 < x < 2; x \neq 1 ; x \neq 0 \, $
C). $ -1 \leq x < 0 \, $ atau $ 1 < x \leq 2 $
D). $ -1 \leq x \leq 0 \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $
Nomor 5
Jika bilangan bulat $ p $ merupakan akar $ f(x) = 0 $ dengan $ f(x)=px^2-3x-p-3 $ , maka gradien garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik dengan absis $ x = p $ adalah ...
A). $ -5 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $

Nomor 6
Jika $ x > y \geq 1 $ dan $ \log (x^2 + y^2 + 2xy) = 2 \log (x^2-y^2) $ , maka $ {}^x \log (1 + y) = ... $
A). $ \log 2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 \, $
Nomor 7
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2+px+27=0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $ yang semuanya positif dan $ x_2 > x_1 $. Jika $ x_1, x_2 $ dan $ 5x_1 $ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga barisan aritmetika, maka suku kesepuluh adalah ...
A). $ 55 \, $ B). $ 57 \, $ C). $ 59 \, $ D). $ 61 \, $ E). $ 63 $
Nomor 8
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu X di $ (1,0) $ dan $ (3,0) $ . Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu Y, maka titik singgung yang mungkin adalah ...
A). $ (0,1) \, $ B). $ (0,2) \, $ C). $ (0,\sqrt{3}) $ D). $ (0,\sqrt{5}) \, $ E). $ (0,3) $
Nomor 9
Diketahui segitiga ABC dengan $ |BC|= 2\sqrt{3} $ dan $ \angle BAC = 60^\circ $. Jika $ |AC| + |AB| = 6 $ , maka $ \left| |AC| - |AB| \right| = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $
Nomor 10
Diketahui proyeksi vektor $ \vec{v} $ pada vektor $ \vec{u} $ sama dengan proyeksi vektor $ \vec{w} $ pada vektor $ \vec{u} $ . Jika $ 2\vec{v}.\vec{u}= \sqrt{3}|\vec{v}||\vec{u}| $ dan $ 2\vec{w}.\vec{u}= |\vec{w}||\vec{u}| $, maka $ \frac{\vec{v}.\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{5} \, $

Nomor 11
Diketahui $ P_1 $ adalah pencerminan titik $ (2,k) $ terhadap garis $ x = y $ . Jika luas segitiga $ POP_1 $ adalah 6, maka $ |k|=... $
A). $ 2\sqrt{2} \, $ B). $ 2\sqrt{3} \, $ C). $ \sqrt{10} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 16 $
Nomor 12
Jika $ (p,q) $ merupakan titik puncak grafik fungsi $ f(x)=ax^2+2ax+a+1 $ , dengan $ f(a) = 19 $ , maka $ p + 2q + 3a = ... $
A). $ 7 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $
Nomor 13
Diberikan suku banyak $ p(x)= ax^3 + bx^2 + a $ dengan $ a \neq 0 $. Jika $ x^2+nx+1 $ merupakan faktor $ p(x) $ , maka $ n = ... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 3 $
Nomor 14
Suku banyak $ P(x) = ax^5+x^4+bx^3+x^2+cx+d $ berturut-turut bersisa $ 3 $ dan $ -7 $ ketika dibagi $ x+1 $ dan $ x-1 $. Sisa pembagian $ P(x) $ oleh $ x $ adalah ...
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $
Nomor 15
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 10, dan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 6. Suku ke-2 deret tersebut adalah ...
A). $ \frac{20}{3} \, $ B). $ \frac{20}{6} \, $ C). $ \frac{20}{9} \, $ D). $ \frac{20}{11} \, $ E). $ \frac{20}{13} \, $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan garis $ y = \frac{x}{3} $ dan $ y = 3x $. Persamaan lingkaran yang menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $ (-a,-a) $ , $ a > 0 $ , dan berjari-jari $ \frac{6}{\sqrt{10}} $ adalah ...
A). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{72}{5} = 0 \, $
B). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{82}{5} = 0 \, $
C). $ x^2+y^2+8x+8y+\frac{72}{5} = 0 \, $
D). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{62}{5} = 0 \, $
E). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{82}{5} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran yang berpusat $ (a,b) $ dan berjari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ px + qy + c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $.
*). Jika lingkaran menyinggung garis maka :
Jari-jari = jarak titik pusat lingkaran ke garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan garisnya :
$ y = 3x \rightarrow 3x - y = 0 $
$ y = \frac{x}{3} \rightarrow 3y = x \rightarrow x - 3y = 0 $
*). Karena titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ dan $ a > 0 $, maka lingkaran terletak di kuadran III.
-). Ilustrasi gambarnya :
 
*). Diketahui $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $. Disamping itu juga, karena lingkaran menyinggung garis $ 3x - y = 0 $ , maka besar jari-jarinya adalah jarak titik pusat lingkaran $ (-a,-a) $ ke garis $ 3x - y = 0 $.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r & = \text{ jarak pusat ke garis} \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{p.a + q.b + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{3.(-a) - (-a)}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-3a + a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \left| \frac{-2a}{\sqrt{10}} \right| \\ \frac{6}{\sqrt{10}} & = \frac{2|a|}{\sqrt{10}} \\ |a| & = 3 \\ a & = \pm 3 \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = 3 $ yang memenuhi.
Sehingga pusat lingkarannya : $ (-a,-a) = (-3,-3) $.
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) = (-3,-3) $ dan $ r = \frac{6}{\sqrt{10}} $ :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2 + (y-(-3))^2 & = ( \frac{6}{\sqrt{10}})^2 \\ (x+3)^2 + (y+3)^2 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 & = \frac{36}{10} \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + 18 - \frac{36}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{144}{10} & = 0 \\ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 + 6x + 6y + \frac{72}{5} = 0 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Fungsi Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , mencapai ekstrim pada saat $ x = x_1 $ dan $ x=x_2 $. Nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ...
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \frac{7\pi}{6} \, $ D). $ \frac{4\pi}{3} \, $ E). $ \frac{5\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan trigonometri :
Bentuk $ a\cos f(x) + b\sin f(x) = k \cos [f(x) - \theta ] $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{b}{a} $
*). Fungsi trigonometri $ f(x) = A \cos g(x) + c $ mencapai :
maksimum saat $ \cos g(x) = 1 $
minimum saat $ \cos g(x) = -1 $
dengan $ A > 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 $
*). Bentuk $ -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = k\cos (2x -\theta) $ :
dengan $ k = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 $
$ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} \rightarrow \tan \theta = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120^\circ $
Sehingga kita peroleh :
$ -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2\cos (2x - 120^\circ) $
Dan fungsinya menjadi :
$ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 = 2\cos (2x - 120^\circ) + 1 $
*). Fungsi $ f(x) = 2\cos (2x - 120^\circ) + 1 $ akan mencapai :
-). maksimum saat : $ \cos (2x - 120^\circ) = 1 $
$\begin{align} \cos (2x - 120^\circ) & = 1 \\ \cos (2x - 120^\circ) & = \cos 0^\circ \\ (2x - 120^\circ) & = 0^\circ \\ 2x & = 120^\circ \\ x & = 60^\circ \end{align} $
-). minimum saat : $ \cos (2x - 120^\circ) = -1 $
$\begin{align} \cos (2x - 120^\circ) & = -1 \\ \cos (2x - 120^\circ) & = \cos 180^\circ \\ (2x - 120^\circ) & = 180^\circ \\ 2x & = 300^\circ \\ x & = 150^\circ \end{align} $
Kita peroleh : $ x_1 = 60^\circ $ dan $ x_2 = 150^\circ $
*). Menentukan nilai $ x_1 + x_2 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 60^\circ + 150^\circ = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \end{align} $
dengan $ \pi = 180^\circ $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{7\pi}{6} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Vektor UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan vektor $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $. Jika $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $ dan $ |\vec{u} - \vec{v}| = 5 $ , maka nilai $ c^3 + 2c + 2 $ yang mungkin adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan terdapat vektor-vektor :
$ \vec{u} = (a, b, c) $ dan $ \vec{v} = (p, q, r) $
-). Perkalian dot :
$ \vec{u} . \vec{v} = a. p + b.q + c.r $
-). Panjang vektor $ \vec{u} $ disimbolkan $ |\vec{u}| $ :
$ |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 } $
-). Pengurangan vektor :
$ \vec{u} - \vec{v} = ( a-p, b - q, c - r) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $
*). Persamaan pertama : $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $
$\begin{align} \vec{u} . \vec{v} & = |\vec{u}|^2 \\ a.b + b.a + c.3 & = (\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2 \\ ab + ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ 2ab + 3c & = a^2 + b^2 + c^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 & = 3c - c^2 \\ (a-b)^2 & = 3c - c^2 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan $ \vec{u} - \vec{v} $ :
$\begin{align} \vec{u} - \vec{v} & = (a-b, b-a, c-3) \end{align} $
*). Persamaan kedua :
$\begin{align} | \vec{u} - \vec{v} |^2 & = 5 \\ (\sqrt{(a-b)^2 + (b-a)^2 + (c-3)^2}) ^2 & = 5 \\ (a-b)^2 + (a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 9 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 2(a-b)^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 2(3c - c^2) + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ 6c - 2c^2 + c^2 - 6c + 4 & = 0 \\ -c^2 + 4 & = 0 \\ c^2 & = 4 \\ c & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c^3 + 2c + 2 $ dengan $ c = 2 $ dan $ c = -2 $ :
$\begin{align} c = 2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = 2^3 + 2.2 + 2 \\ & = 14 \\ c = -2 \rightarrow c^3 + 2c + 2 & = (-2)^3 + 2.(-2) + 2 \\ & = -10 \end{align} $
yang ada di optionnya adalah $ c^3 + 2c + 2 = 14 $.
Jadi, nilai $ c^3 + 2c + 2 = 14 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Matriks UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Invers dari matriks A adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $ . Jika $ B = 2A $ , maka matriks B adalah ...
A). $ \left( \begin{matrix} a-b & a- b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} a-b & -a+ b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} a-b & -a+ b \\ -a-b & a + b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} -a+b & a- b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} a+b & a- b \\ a+b & -a + b \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks A simbolnya $ A^{-1} $
*). Sifat invers : $ (A^{-1})^{-1} = A $
(Untuk menghilangkan invers cukup diinverskan matriks tersebut).
*). Invers matriks :
Misalkan ada matriks $ B = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Invers matriks B yaitu $ B^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & - b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui Invers dari matriks A adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $, artinya $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $.
*). Inverskan matriks $ A^{-1} $ untuk menentukan matriks A :
$\begin{align} A^{-1} & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) \\ (A^{-1})^{-1} & = \frac{1}{\frac{1}{a-b}.\frac{1}{a+b} - \frac{-1}{a-b}.\frac{1}{a+b}} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{\frac{2}{a-b}.\frac{1}{a+b}} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{(a-b)(a+b)}{2} \left( \begin{matrix} \frac{1}{a+b} & \frac{-1}{a+b} \\ \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} & \frac{-(a-b)(a+b)}{a+b} \\ \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} & \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -(a-b) \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan matriks B dengan $ B = 2A $ :
$\begin{align} B & = 2A \\ B & = 2.\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks $ B = \left( \begin{matrix} a-b & -a+b \\ a+b & a+b \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 3 Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan ABC segitiga sama kaki dengan $ AB = AC $ dan $ \angle BAC = \alpha $. Misalkan titik D pada sisi BC sehingga AD garis tinggi. Jika $ BC = 2 $ , dan $ AD = 1 $ , maka $ \sin \angle BAC = ... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{2}} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{2}} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Pada segitiga ABC siku-siku di A berlaku teorema Pythagoras.
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 
Panjang $ BC = 2 $
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Kita cek apakah segitiga ABC siku-siku di A :
$\begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 \\ 2^2 & = (\sqrt{2} )^2 + (\sqrt{2} )^2 \\ 4 & = 2 + 2 \\ 4 & = 4 \, \, \, \, \text{(sama)} \end{align} $
*). Karena terpenuhi teorema pythagoras, maka segitiga ABC siku-siku di A sehingga $ \angle BAC = 90^\circ $ . Dari nilai $ \cos \angle BAC = 0 $ , maka besar $ \angle BAC = 90^\circ $
Sehingga nilai $ \sin BAC = \sin 90^\circ = 1 $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan ABC segitiga sama kaki dengan $ AB = AC $ dan $ \angle BAC = \alpha $. Misalkan titik D pada sisi BC sehingga AD garis tinggi. Jika $ BC = 2 $ , dan $ AD = 1 $ , maka $ \sin \angle BAC = ... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{2}} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{2}} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC yaitu :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC $ atau
$ \cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AB.AC} $
*). Besar sudut :
$ \cos x = 0 \rightarrow x = 90^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 
Panjang $ BC = 2 $ sehingga $ BD = DC = 1 $.
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$\begin{align} \cos \angle BAC & = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AB.AC} \\ & = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2^2}{2.\sqrt{2}.\sqrt{2}} \\ & = \frac{2 + 2 - 4}{2.2} \\ & = \frac{0}{4} \\ \cos \angle BAC & = 0 \end{align} $
Dari nilai $ \cos \angle BAC = 0 $ , maka besar $ \angle BAC = 90^\circ $
Sehingga nilai $ \sin BAC = \sin 90^\circ = 1 $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Segitiga UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan ABC segitiga sama kaki dengan $ AB = AC $ dan $ \angle BAC = \alpha $. Misalkan titik D pada sisi BC sehingga AD garis tinggi. Jika $ BC = 2 $ , dan $ AD = 1 $ , maka $ \sin \angle BAC = ... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{2}} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{2}} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Sudut rangkap :
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 
Panjang $ BC = 2 $ sehingga $ BD = DC = 1 $.
Segitiga ABD, panjang AB :
$ AB = \sqrt{BD^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
Sehingga panjang $ AB = AC = \sqrt{2} $
*). Misalkan $ \angle BAD = x $ sehingga $ \angle CAD = x $
artinya $ \angle BAC = x + x = 2x $
*). Perhatikan gambar segitiga ABD siku-siku di D :
$\begin{align} \sin x & = \frac{BD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos x & = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \angle BAC $ :
$\begin{align} \sin \angle BAC & = \sin 2x \\ & = 2\sin x \cos x \\ & = 2. \frac{1}{\sqrt{2}} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ & = 2. \frac{1}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \angle BAC = 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)