Pembahasan Persamaan Polinom Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a^3 - a - 1 = 0 $ , maka $ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 = ..... $
A). $ 4 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 28 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika kesulitan dalam mencari akar-akar suatu persamaannya, maka kita bisa memodifikasi persamaan yang diketahui sehingga sesuai dengan bentuk yang ditanyakan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ a^3 - a - 1 = 0 \, $ .....(i)
sulit difaktorkan dan sulit menentukan akar-akarnya, sehingga kita modifikasi.
*). kalikan $ a $ pada pers(i) agar kita peroleh $ a^4 $ sesuai yang ditanyakan :
$\begin{align} a^3 - a - 1 & = 0 \\ (a^3 - a - 1) . a & = 0. a \\ a^4 - a^2 - a & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....(ii)} \end{align} $
*). Jumlahkan pers(i) dan pers(ii) dan tambahkan 10:
$\begin{align} (a^4 - a^2 - a) + (a^3 - a - 1) & = 0 + 0 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a - 1 & = 0 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a - 1 + 10 & = 0 + 10 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ k $ , $ l $ , dan $ m $ membentuk barisan geometri, maka $ \log k $ , $ \log l $ , $ \log m $ adalah .....
A). barisan geometri dengan rasio $ \log l - \log k $
B). barisan aritmatika dengan beda $ \log l - \log k $
C). barisan geometri dengan rasio $ \frac{l}{k} $
D). barisan aritmatika dengan beda $ \frac{l}{k} $
E). bukan barisan aritmatika maupun geometri

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3 $
*). Ciri-ciri barisan aritmetika :
Memiliki selisih yang sama yaitu : $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $
beda ($b$) = $ u_2 - u_1 $ .
*). Ciri-ciri barisan geometri :
memiliki perbandingan sama yaitu : $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $
rasio ($r$) = $ \frac{u_2}{u_1} $
*). Sisfat logaritma : $ \log a - \log b = \log \frac{a}{b} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). barisan $ k , l, m $ adalah barisan geometri :
sehingga : $ \frac{l}{k} = \frac{m}{l} \, $ ....(i)
*). Cek barisan : $ \log k , \log l , \log m $ :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = \log l - \log k = \log \frac{l}{k} \\ u_3 - u_ 2 & = \log m - \log l = \log \frac{m}{l} \end{align} $
dari pers(i) di atas, maka $ log \frac{l}{k} = \log \frac{m}{l} $
sehingga $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $ yang merupakan ciri-ciri barisan aritmatika.
beda : $ b = u_2 - u_1 = \log l - \log k $
Jadi, termasuk barisan aritmatika dengan beda $ \log l - \log k . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Kotak A berisi 8 bola merah dan 2 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Jika dari masing-masing kotak, diambil sebuah bola secara acak, maka peluang bahwa kedua bola berwarna sama adalah .....
A). $ \frac{3}{80} \, $ B). $ \frac{6}{80} \, $ C). $ \frac{1}{5} \, $ D). $ \frac{40}{80} \, $ E). $ \frac{46}{80} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).DIketahui pada soal :
Kotak A berisi 8M dan 2P, kotak B berisi 5M dan 3P, akan diambil pada masing-masing kotak satu bola dengan warnanya sama.
*). Ada dua kemungkinan, yaitu :
-). Pertama : masing-masing bola berwarna Merah :
kotak A : $ P(M_a) = \frac{8}{10} $
kotak B: $ P(M_b) = \frac{5}{8} $
$ P(M_a \cap M_b) = \frac{8}{10} \times \frac{5}{8} = \frac{40}{80} $
-). Kedua : masing-masing bola berwarna Putih :
kotak A : $ P(P_a) = \frac{2}{10} $
kotak B: $ P(P_b) = \frac{3}{8} $
$ P(P_a \cap P_b) = \frac{2}{10} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{80} $
*). Peluang keseluruhan (total) :
-). Peluang totalnya adalah bisa kejadian MM atau kejadian PP.
Peluang total $ = P(M_a \cap M_b) + P(P_a \cap P_b) = \frac{40}{80} + \frac{6}{80} =\frac{46}{80} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{46}{80} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \cos (3x + 15^\circ ) = \sin ( x + 25^\circ ) $ untuk $ 0 < x < 90^\circ $ adalah .....
A). $ 12,5^\circ \, $ B). $ 15^\circ \, $ C). $ 17,5^\circ \, $ D). $ 22,5^\circ \, $ E). $ 25^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sudut komplemen : $ \sin A = \cos ( 90^\circ - A ) $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki solusi :
(i). $ f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
(ii). $ f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah persamaannya :
$\begin{align} \cos (3x + 15^\circ ) & = \sin ( x + 25^\circ ) \\ \cos (3x + 15^\circ ) & = \cos [ 90^\circ - (x + 25^\circ ) ] \\ \cos \underbrace{(3x + 15^\circ )}_{f(x)} & = \cos \underbrace{( 65^\circ - x )}_{\theta} \end{align} $
sehingga kita peroleh :
$ f(x) = 3x + 15^\circ \, $ dan $ \theta = 65^\circ - x $
*). Menyelesaikan $ \cos (3x + 15^\circ ) = \cos ( 65^\circ - x ) $ untuk $ 0 < x < 90^\circ $ :
-). Pertama : $ f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$\begin{align} 3x + 15^\circ & = 65^\circ - x + k \times 360^\circ \\ 4x & = 50^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = 12,5^\circ + k \times 90^\circ \end{align} $
$ x = 12,5^\circ \, $ saat $ k = 1 $.
-). Kedua : $ f(x) = -\theta + k \times 360^\circ $
$\begin{align} 3x + 15^\circ & = -(65^\circ - x) + k \times 360^\circ \\ 2x & = -80^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = -40^\circ + k \times 180^\circ \end{align} $
tidak ada $ x $ yang memenuhi untuk $ 0 < x < 90^\circ $.
Jadi, nilai $ x = 12,5^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Takhingga Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a $ dan jumlahnya 10, maka .....
A). $ 0 < a < 10 \, $ B). $ 0 < a < 18 \, $
C). $ 0 < a < 20 \, $ D). $ 0 \leq a \leq 20 \, $
E). $ a < 0 \, $ atau $ a > 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah deret geometri takhingga :
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Syarat deretnya konvergen : $ -1 < r < 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Pada soal diketahui : $ u_1 = a $ dan $ s_\infty = 10 $.
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} \rightarrow 10 = \frac{a}{1-r} \rightarrow 1- r = \frac{a}{10} $
*).Menentukan interval nilai $ a $ :
$\begin{align} -1 < & r < 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, ketaksamaan dibalik)} \\ 1 > & -r > -1 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 1)} \\ 1 + 1 > & 1-r > -1 + 1 \, \, \, \, \, \, \text{(ganti 1 - r)} \\ 2 > & \frac{a}{10} > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 10)} \\ 20 > & a > 0 \end{align} $
Sehingga kita peroleh $ 20 > a > 0 $ atau $ 0 < a < 20 $.
Jadi, kita peroleh $ 0 < a < 20. \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Suatu rombongan wisatawan yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar untuk 2 orang (tipe I) dan 3 orang (tipe 2). Rombongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar untuk 2 orang adalah Rp60.000 dan untuk 3 orang Rp80.000. Banyaknya jenis kamar tipe 1 dan tipe 2 yang harus disewa agar rombongan tersebut mengeluarkan uang seminimal mungkin adalah .....
A). 20 dan 80 kamar
B). 30 dan 70 kamar
C). 40 dan 60 kamar
D). 60 dan 40 kamar
E). 70 dan 30 kamar

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menentukan nilai optimum program linear :
(1). Menentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
(2). Menentukan titik pojok pada DHP
(3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya
(4). Tinggal kita pilih nilai minimum atau maksimumnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan :
$ x = \, $ banyak kamar tipe 1,
$ y = \, $ banyak kamar tipe 2,
*).Menentukan model matematikanya :
-). Fungsi kendala/batasan :
(I). $ x + y \geq 100 \rightarrow (0,100) $ dan $ (100,0) $
(II). $ 2x + 3y \geq 240 \rightarrow (0,80) $ dan $ (120,0) $
(III). $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $
-). Fungsi tujuannya :
$ z = 60.000x + 80.000y $
Sesuai dengan tanda ketaksamaan ketiga garis tersebut, maka DHP nya :
 

*).Menentukan titik pojok pada DHPnya :
-). Titik A(120, 0) dan C(0, 100) :
-). Titik B , eliminasi pers(I) dan (II) :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 100 & \times 3 & 3x + 3y = 300 & \\ 2x + 3y = 240 & \times 1 & 2x + 3y = 240 & - \\ \hline & & x = 60 & \end{array} $
Pers(i): $ x + y = 100 \rightarrow 60 + y = 100 \rightarrow y = 40 $
sehingga titik B(60, 40)
*).Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuan : $ z = 60.000x + 80.000y $ :
$\begin{align} A(120,0) \rightarrow z & = 60.000 \times 120 + 80.000 \times 0 = 7.200.000 \\ B(60,40) \rightarrow z & = 60.000 \times 60 + 80.000 \times 40 = 6.800.000 \\ C(0,100) \rightarrow z & = 60.000 \times 0 + 80.000 \times 100 = 8.000.000 \end{align} $
Sehingga nilai minimumnya adalah Rp6.800.000,00 saat $ x = 60 $ dan $ y = 40 $.
Jadi, uang minimal saat banyak kamar (1 dan 2) 60 dan 40 $. \, \heartsuit $