Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Pembahasan Perkalian Vektor UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor u=ai+j+2k dan v=ijk . Jika vektor w tegak lurus vektor u dan v dengan panjang vektor w adalah 3, maka jumlah nilai-nilai a yang memenuhi adalah ....
A). 0 B). 1 C). 3 D). 4 E). 5

Konsep Dasar
*). Perkalian Cross dua buah vektor menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
*). u×v=c, artinya c tegak lurus u dan c tegak lurus v.
*). Panjang vektor a disimbolkan |a| :
Misalkan a=(a1,a2,a3)|a|=a11+a22+a23.
*). Perkalian Cross :
Misalkan b=(b1,b2,b3)=b1i+b2j+b3k
a×b=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)
*). Operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
Jumlah =ba

Pembahasan
*). Menentukan u×v :
u=u=ai+j+2k=(a,1,2)
dan v=ijk=(1,1,1)
u×v=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)w=(1.(1)2.(1),2.(1)a.(1),a.(1)1.(1))=(1+2,2+a,a+1)=(1,a2,1a)
*). Menyusun persamaan dengan panjang w = 3 :
|w|=312+(a2)2+(1a)2=3(kuadratkan)12+(a2)2+(1a)2=91+a24a+4+a22a+1=92a26a3=0
Jumlah nilai a yang mungkin adalah :
Jumlah =ba=(6)2=3
Jadi, jumlah nilai a yang memenuhi adalah 3.

Pembahasan Deret dan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu deret tak hingga sin2xsin2x+sin2xsin4x+sin2xsin6x+..., 0<xπ4. Nilai maksimum deret tak hingga tersebut adalah ....
A). 32 B). 16 C). 8 D). 4 E). 1

Konsep Dasar :
*). Deret geometri tak hingga :
S=a1r
*). Rumus Trigonometri
sin2x+cos2x=11sin2x=cos2x
sin2x=2sinxcosx dan tanx=sinxcosx
*). Turunan fungsi :
y=U.Vy=U.V+U.V
*). Fungsi y=f(x) disebut fungsi naik jika f(x)>0 untuk semua x.
*). Jika fungsi y=f(x) adalah fungsi naik, maka pada interval axb mencapai maksimum di x=b dan minimum di x=a, sehingga nilai maksimumnya adalah f(b).

Pembahasan
*). Menghitung deret tak hingganya :
sin2xsin2x+sin2xsin4x+sin2xsin6x+...
a=sin2xsin2x dan r=U2U1=sin2xsin4xsin2xsin2x=sin2x
S=a1rf(x)=sin2xsin2x1sin2x=2sinxcosxsin2xcos2x=2sinxsin2xcosx=2sin2x.sinxcosx=2sin2x.tanx=2(sin2x.tanx)
*). Menentukan turunan fungsinya :
f(x)=2(sin2x.tanx)=U.VU=sin2xU=2sinxcosxV=tanxV=sec2xf(x)=U.V+U.V=2(2sinxcosx.tanx+sin2x.sec2x)=2(2sinxcosx.sinxcosx+sin2x.sec2x)=2(2sinxsinx+sin2x.sec2x)=2(2sin2x+sin2x.sec2x)
*). Perhatikan hasil turunannya yaitu
f(x)=2(2sin2x+sin2x.sec2x)>0
(selalu positif) untuk semua nilai x karena bentuknya kuadrat, sehingga fungsi f(x) adalah fungsi naik. Artinya pada interval 0<xπ4 akan maksimum di batas atasnya yaitu saat x=π4 .
*). Menentukan nilai maksimumnya saat x=π4 :
f(x)=2(sin2x.tanx)fmaks=f(π4)=2.sin2π4.tanπ4=2.(122)2.1=2.(12).1=1
Jadi, nilai maksimumnya adalah 1.

Pembahasan Vektor Satuan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua vektor u=(1,1,2) dan v=(1,1,1) . Jika vektor w mempunyai panjang satu dan tegak lurus dengan vektor u dan v , maka w=....
A). (0,0,0)
B). (122,122,0)
C). (122,122,0)
D). (23,13,23)
E). (23,13,23)

Konsep Dasar
*). Perkalian Cross dua buah vektor menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
*). u×v=c, artinya c tegak lurus u dan c tegak lurus v.
*). Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Vektor satuan dari a adalah 1|a|a.
*). Panjang vektor a disimbolkan |a| :
Misalkan a=(a1,a2,a3)|a|=a11+a22+a23.
*). Perkalian Cross :
Misalkan b=(b1,b2,b3)
a×b=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)
*). Sifat perkalian cross :
a×b=b×a

Pembahasan
*). Menentukan u×v :
u=(1,1,2) dan v=(1,1,1)
u×v=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)=((1).(1)2.1,2.(1)1.(1),1.1(1).(1))=(12,2+1,11)=(1,1,0)
*). Menentukan Panjang u×v :
|u×v|=(1)2+(1)2+02=2
*). Menentukan vektor w :
w=1|u×v|(u×v)=12(1,1,0)=122(1,1,0)=(122,122,0)
atau
w=1|v×u|(v×u)=1|u×v|(u×v)=12(1,1,0)=122(1,1,0)=(122,122,0)
Yang ada dijopsion adalah w=(122,122,0)
Jadi, w=(122,122,0).

Cara 2 Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan garis lurus melalui (0,2) dan (32,0). Jarak parabola y=x21 ke garis tersebut adalah ....
A). 56 B). 23 C). 12 D). 13 E). 16

Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui (x1,y1) dan (x2,y2) :
yy1y2y1=xx1x2x1
*). Jarak titik (x0,y0) ke garis ax+by+c=0
Jarak =|a.x0+b.y0+ca2+b2|
*). Jarak yang dimaksud adalah jarak terpendek (minimum).
*). Gradien garis singgung di titik (a,b) adalah m=f(a)
*). Gradien garis ax+by+c=0 adalah m=ab.
*). Jarak garis ke parabola dapat ditentukan dengan :
i). Menentukan titik singgung dimana garis singgungnya sejajar dengan garis lurus yang mau kita cari jaraknya, sehingga gradiennya sama,
ii). Jarak dapat dihitung dari titik singgung ke garis lurusnya.

Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui titik (x1,y1)=(0,2) dan (x2,y2)=(32,0) :
yy1y2y1=xx1x2x1y(2)0(2)=x0320y+22=2x33y+6=4x4x+3y+6=0m=ab=(4)3=43
*). Misalkan titik singgungnya (a,b), gradiennya :
y=x21y=2x
m=f(a)=2a.
 

*). Gradien garis singgung sama dengan gradien garis 4x+3y+6 :
2a=43a=23
y=x21b=(23)21=59
Artinya titik singgungnya (a,b)=(23,59).
*). Menentukan jarak titik (23,59) ke garis 4x+3y+6=0 :
Jarak =|4x+3y+6(4)2+32|=|4.23+3.(59)+65|=15|8353+6|=15.53=13
Jadi, jaraknya adalah 13.

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan garis lurus melalui (0,2) dan (32,0). Jarak parabola y=x21 ke garis tersebut adalah ....
A). 56 B). 23 C). 12 D). 13 E). 16

Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui (x1,y1) dan (x2,y2) :
yy1y2y1=xx1x2x1
*). Jarak titik (x0,y0) ke garis ax+by+c=0
Jarak =|a.x0+b.y0+ca2+b2|
*). Jarak yang dimaksud adalah jarak terpendek (minimum).
*). Nilai minimum fungsi y=f(x) pada saat x memenuhi f(x)=0

Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui titik (x1,y1)=(0,2) dan (x2,y2)=(32,0) :
yy1y2y1=xx1x2x1y(2)0(2)=x0320y+22=2x33y+6=4x4x+3y+6=0
*). Kita tidak bisa langsung mencari jarak garis ke parabola namun kita menghitung jarak titik ke garis, sehingga kita cari titik pada parabola yang posisinya terdekat dengan garis. Misalkan titik tersebut (a,b), karena ada di parabola maka boleh kita substitusi ke parabola :
(x,y)=(a,b)y=x21b=a21.
Artinya titik tersebut menjadi (a,b)=(a,a21).
ilustrasi gambarnya
 

*). Menentukan jarak (a,a21) titik ke garis 4x+3y+6=0 :
Jarak =|4x+3y+6(4)2+32|f(a)=|4.a+3.(a21)+65|f(a)=|3a24a+35|f(a)=15(3a24a+3)f(a)=15(6a4)
*). Syarat nilai minimum : Turunan pertama =0
f(a)=015(6a4)=06a=4a=46=23
*). Menentukan Jarak garis dan parabola saat a=23 :
Jarak =f(a)=15(3a24a+3)=15(3.(23)24.23+3)=15.(4383+93)=15.(53)=13
Jadi, jaraknya adalah 13.