Pembahasan Perkalian Vektor UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} $ dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{w} $ tegak lurus vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dengan panjang vektor $ \vec{w} $ adalah 3, maka jumlah nilai-nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian Cross dua buah vektor menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
*). $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{c} $, artinya $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{v} $.
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
Misalkan $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) \rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{a_1^1 + a_2^2 + a_3^2} $.
*). Perkalian Cross :
Misalkan $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) = b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k} $
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) $
*). Operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
Jumlah $ = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $\vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \vec{u} = \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} = (a , 1, 2) $
dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} = (-1,-1,-1) $
$\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) \\ \vec{w} & = (1.(-1)-2.(-1), 2.(-1) - a.(-1) , a.(-1) - 1.(-1)) \\ & = (-1 + 2 , -2 + a , -a + 1 ) \\ & = ( 1 , a - 2 , 1 - a) \end{align} $
*). Menyusun persamaan dengan panjang $ \vec{w} $ = 3 :
$\begin{align} |\vec{w}| & = 3 \\ \sqrt{1^2 + (a-2)^2 + (1-a)^2} & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1^2 + (a-2)^2 + (1-a)^2 & = 9 \\ 1 + a^2 - 4a + 4 + a^2 - 2a + 1 & = 9 \\ 2a^2 - 6a - 3 & = 0 \end{align} $
Jumlah nilai $ a $ yang mungkin adalah :
Jumlah $ = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{2} = 3 $
Jadi, jumlah nilai $ a $ yang memenuhi adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret dan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu deret tak hingga $ \sin 2x \sin ^2x + \sin 2x \sin ^4 x + \sin 2x \sin ^6 x + ...$, $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $. Nilai maksimum deret tak hingga tersebut adalah ....
A). $ 32 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
*). Rumus Trigonometri
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 - \sin ^2 x = \cos ^2 x $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ dan $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Turunan fungsi :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U.V^\prime $
*). Fungsi $ y = f(x) $ disebut fungsi naik jika $ f^\prime (x) > 0 $ untuk semua $ x $.
*). Jika fungsi $ y = f(x) $ adalah fungsi naik, maka pada interval $ a \leq x \leq b $ mencapai maksimum di $ x = b $ dan minimum di $ x = a $, sehingga nilai maksimumnya adalah $ f(b) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menghitung deret tak hingganya :
$ \sin 2x \sin ^2x + \sin 2x \sin ^4 x + \sin 2x \sin ^6 x + ...$
$ a = \sin 2x \sin ^2x $ dan $ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{ \sin 2x \sin ^4 x }{ \sin 2x \sin ^2 x } = \sin ^2 x $
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-r} \\ f(x) & = \frac{\sin 2x \sin ^2x}{1 - \sin ^2 x} \\ & = \frac{2 \sin x \cos x \sin ^2x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{2 \sin x \sin ^2x}{\cos x} \\ & = 2 \sin ^2x . \frac{\sin x }{\cos x} \\ & = 2 \sin ^2x . \tan x = 2(\sin ^2 x . \tan x ) \end{align} $
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = 2( \sin ^2x . \tan x) = U.V \\ U & = \sin ^2 x \rightarrow U^\prime = 2 \sin x \cos x \\ V & = \tan x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ & = 2( 2 \sin x \cos x . \tan x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin x \cos x . \frac{\sin x}{\cos x} + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin x \sin x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin ^2 x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ \end{align} $
*). Perhatikan hasil turunannya yaitu
$ f^\prime (x) = 2( 2 \sin ^2 x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) > 0 $
(selalu positif) untuk semua nilai $ x $ karena bentuknya kuadrat, sehingga fungsi $ f(x) $ adalah fungsi naik. Artinya pada interval $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $ akan maksimum di batas atasnya yaitu saat $ x = \frac{\pi}{4} $ .
*). Menentukan nilai maksimumnya saat $ x = \frac{\pi}{4} $ :
$\begin{align} f(x) & = 2( \sin ^2x . \tan x) \\ f_\text{maks} & = f \left( \frac{\pi}{4} \right) \\ & = 2. \sin ^2 \frac{\pi}{4} . \tan \frac{\pi}{4} \\ & = 2. \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^2 . 1 \\ & = 2. \left(\frac{1}{2} \right) . 1 \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Vektor Satuan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua vektor $ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $ . Jika vektor $ \vec{w} $ mempunyai panjang satu dan tegak lurus dengan vektor $ \vec{u } $ dan $ \vec{v} $ , maka $ \vec{w} = .... $
A). $ (0,0,0) \, $
B). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
C). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
E). $ \left( \frac{2}{3} , \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian Cross dua buah vektor menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
*). $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{c} $, artinya $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{v} $.
*). Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Vektor satuan dari $ \vec{a} $ adalah $ \frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} $.
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
Misalkan $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) \rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{a_1^1 + a_2^2 + a_3^2} $.
*). Perkalian Cross :
Misalkan $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) $
*). Sifat perkalian cross :
$ \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $\vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $
$\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) \\ & = ((-1).(-1) - 2.1 , 2.(-1)-1.(-1), 1.1 - (-1).(-1)) \\ & = (1 - 2 , -2 + 1, 1 -1) \\ & = (-1 , -1, 0) \end{align} $
*). Menentukan Panjang $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$\begin{align} |\vec{u} \times \vec{v}| & = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 } = \sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan vektor $ \vec{w} $ :
$\begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{|\vec{u} \times \vec{v}|} (\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (-1 , -1, 0) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} (-1 , -1, 0) \\ & = \left( -\frac{1}{2}\sqrt{2} , - \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) \end{align} $
atau
$\begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{|\vec{v} \times \vec{u}|} (\vec{v} \times \vec{u}) \\ & = \frac{1}{|\vec{u} \times \vec{v}|} (-\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 , 1, 0) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} (1 , 1, 0) \\ & = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) \end{align} $
Yang ada dijopsion adalah $ \vec{w} = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) $
Jadi, $ \vec{w} = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) . \, \heartsuit $

Diposting oleh 1 komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan garis lurus melalui $(0,-2) $ dan $\left( \frac{3}{2} , 0 \right) $. Jarak parabola $ y = x^2 - 1 $ ke garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{1}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui $(x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2)$ :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Jarak titik $ (x_0,y_0) $ ke garis $ ax+by+c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{a.x_0+b.y_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
*). Jarak yang dimaksud adalah jarak terpendek (minimum).
*). Gradien garis singgung di titik $(a,b) $ adalah $ m = f^\prime (a) $
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $.
*). Jarak garis ke parabola dapat ditentukan dengan :
i). Menentukan titik singgung dimana garis singgungnya sejajar dengan garis lurus yang mau kita cari jaraknya, sehingga gradiennya sama,
ii). Jarak dapat dihitung dari titik singgung ke garis lurusnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,-2) $ dan $ (x_2,y_2) = (\frac{3}{2} , 0) $ :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{0-(-2)} & = \frac{x-0}{\frac{3}{2} - 0} \\ \frac{y+2}{2} & = \frac{2x }{3} \\ 3y + 6 & = 4x \\ -4x + 3y + 6 & = 0 \\ m & = \frac{-a}{b} = \frac{-(-4)}{3} = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Misalkan titik singgungnya $ (a,b) $, gradiennya :
$ y = x^2 - 1 \rightarrow y^\prime = 2x $
$ m = f^\prime (a) = 2a $.
 
*). Gradien garis singgung sama dengan gradien garis $ -4x + 3y + 6 $ :
$\begin{align} 2a & = \frac{4}{3} \rightarrow a = \frac{2}{3} \end{align} $
$ y = x^2 - 1 \rightarrow b = (\frac{2}{3})^2 - 1 = -\frac{5}{9} $
Artinya titik singgungnya $ (a,b) = (\frac{2}{3} , -\frac{5}{9} ) $.
*). Menentukan jarak titik $(\frac{2}{3} , -\frac{5}{9} ) $ ke garis $ -4x + 3y + 6 = 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{-4x + 3y + 6}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-4.\frac{2}{3} + 3.( -\frac{5}{9} ) + 6}{5} \right| \\ & = \frac{1}{5} \left| -\frac{8}{3} - \frac{5}{3} + 6 \right| \\ & = \frac{1}{5} . \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan garis lurus melalui $(0,-2) $ dan $\left( \frac{3}{2} , 0 \right) $. Jarak parabola $ y = x^2 - 1 $ ke garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{1}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui $(x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2)$ :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Jarak titik $ (x_0,y_0) $ ke garis $ ax+by+c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{a.x_0+b.y_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
*). Jarak yang dimaksud adalah jarak terpendek (minimum).
*). Nilai minimum fungsi $ y = f(x) $ pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,-2) $ dan $ (x_2,y_2) = (\frac{3}{2} , 0) $ :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{0-(-2)} & = \frac{x-0}{\frac{3}{2} - 0} \\ \frac{y+2}{2} & = \frac{2x }{3} \\ 3y + 6 & = 4x \\ -4x + 3y + 6 & = 0 \end{align} $
*). Kita tidak bisa langsung mencari jarak garis ke parabola namun kita menghitung jarak titik ke garis, sehingga kita cari titik pada parabola yang posisinya terdekat dengan garis. Misalkan titik tersebut $(a,b) $, karena ada di parabola maka boleh kita substitusi ke parabola :
$ (x,y)=(a,b) \rightarrow y = x^2 - 1 \rightarrow b = a^2 - 1 $.
Artinya titik tersebut menjadi $ (a,b) = (a,a^2 - 1) $.
ilustrasi gambarnya
 
*). Menentukan jarak $(a, a^2 - 1) $ titik ke garis $ -4x + 3y + 6 = 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{-4x + 3y + 6}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{-4.a + 3.(a^2 - 1) + 6}{5} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{3a^2 - 4a + 3}{5} \right| \\ f(a) & = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3) \\ f^ \prime (a) & = \frac{1}{5}(6a - 4 ) \\ \end{align} $
*). Syarat nilai minimum : Turunan pertama $ = 0 $
$\begin{align} f^ \prime (a) & = 0 \\ \frac{1}{5}(6a - 4 ) & = 0 \\ 6a & = 4 \\ a & = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Jarak garis dan parabola saat $ a = \frac{2}{3} $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3) \\ & = \frac{1}{5}(3.(\frac{2}{3})^2 - 4.\frac{2}{3} + 3) \\ & = \frac{1}{5}.( \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{9}{3}) \\ & = \frac{1}{5}.( \frac{5}{3}) = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)