Pembahasan Ketaksamaan Trigonometri SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua bilangan real $ x $ pada selang $ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) $ yang memenuhi $ \sec x ( 1 + \tan x) < 0 $ berbentuk $ ( a,b) $. Nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ \frac{5\pi}{4} \, $ B). $ \frac{7\pi}{4}\, $ C). $ 2\pi \, $ D). $ \frac{9\pi}{4} \, $ E). $ \frac{11\pi}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Syarat letak nilai $ x $ dari soal :
$ x $ pada selang $ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) $ atau $ 90^\circ < x < 270^\circ $
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} \sec x ( 1 + \tan x) & < 0 \\ \sec x = 0 \vee 1 + \tan x & = 0 \end{align} $
-). $ \sec x = 0 \rightarrow \frac{1}{\cos x} = 0 \rightarrow \cos x = \infty $
(tidak nilai $ x $ yang memenuhi)
-). $ 1 + \tan x = 0 \rightarrow \tan x = -1 \rightarrow x = 135^\circ , x = 315^\circ $
*). Garis bilangannya :
 

-). Karena pada soal yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya adalah daerah negatif yaitu :
$ HP_1 = 135^\circ < x < 315^\circ $
*). Solusi total adalah irisan dengan solusi syaratnya :
$\begin{align} HP & = \{ 135^\circ < x < 315^\circ \} \cap \{ 90^\circ < x < 270^\circ \} \\ & = 135^\circ < x < 270^\circ \end{align} $
-). Sehingga solusinya adalah $ 135^\circ < x < 270^\circ $ atau dapat ditulis $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{6\pi}{4} $ yang dapat juga kita tulis dalam selang $ \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{6\pi}{4} \right) $. Bentuk $ \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{6\pi}{4} \right) $ sama dengan $ (a,b) $ sehingga $ a = \frac{3\pi}{4} $ dan $ b = \frac{6\pi}{4} $.
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a+ b & = \frac{3\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = \frac{9\pi}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Himpunan SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ (a_n) $ dan $ (b_n) $ adalah dua barisan aritmetika dengan $ a_1=5 $ , $ a_2 = 8 $ , $ b_1 = 3 $ , dan $ b_2 = 7 $. Jika $ A = \{ a_1, a_2, ...,a_{100} \} $ dan $ B = \{ b_1, b_2 , ... , b_{100} \} $ , maka banyaknya anggota $ A \cap B $ adalah .....
A). $ 20 \, $ B). $ 21 \, $ C). $ 22 \, $ D). $ 23 \, $ E). $ 24 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
*). Irisan dua himpunan hasilnya adalah anggota yang sama (ambil anggota yang sama saja).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Rumus suku ke-$n$ barisan $ a_n $ :
$ a_1 = 5 $ dan $ a_2 = 8 $, beda : $ b = 8-5=3 $
suku pertama : $ a = 5 $
-). Rumus $ a_n $ :
$\begin{align} a_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1).3 \\ a_n & = 3n + 2 \\ a_{100} & = 3 \times 100 + 2 = 302 \end{align} $
-). Barisan $ a_n $ nya yaitu :
$ A = \{ a_1, a_2, ...,a_{100} \} $
$ A = \{ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ..., 302 \} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan $ b_n $ :
$ b_1 = 3 $ dan $ b_2 = 7 $, beda : $ b = 7-3=4 $
suku pertama : $ a = 3 $
-). Rumus $ b_n $ :
$\begin{align} b_n & = a + (n-1)b \\ & = 3 + (n-1).4 \\ b_n & = 4n -1 \\ b_{100} & = 4 \times 100 -1 = 399 \end{align} $
-). Barisan $ b_n $ nya yaitu :
$ B = \{ b_1, b_2 , ... , b_{100} \} $
$ B = \{ 3,7,11,15,19,23,27,...,399 \} $
*). Menentukan irisan A dan B
$\begin{align} A \cap B & = \{ 11, 23, 35, 47, ..... \} \end{align} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan : 11, 23, 35,...
$ b = 23-11=12 $, dan $ a = 11 $
-). Rumus $ u_n $ :
$\begin{align} u_n & = a + (n-1)b \\ & = 11 + (n-1).12 \\ u_n & = 12n - 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ n $ :
Sebelumnya kita peroleh $ a_{100} = 302 $ dan $ b_{100}= 399 $ , artinya $ a_{100} < b_{100} $ sehingga nilai $ u_n= 12n-1 $ paling besar sama dengan $ a_{100} $.
$\begin{align} u_n & \leq a_{100} \\ 12n - 1 & \leq 302 \\ 12n & \leq 303 \\ n & \leq \frac{303}{12} \\ n & \leq 25, 25 \end{align} $
Artinya nilai terbesar $ n $ adalah $ n = 25 $.
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa banyaknya anggota $ A \cap B $ ada 25 anggota. Berikut rincian lengkapnya :
$ A \cap B = $ { 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119, 131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239, 251, 263, 275, 287, 299 } .
Jadi, banyaknya anggota $ A \cap B $ adalah 25 (tidak ada jawaban) $ . \, \heartsuit $