Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui limas segiempat T.ABCD dengan rusuk-rusuk tegak 15 cm, bidang alasnya ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 10 cm dan BC = 12 cm. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang alas ABCD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ \frac{2}{5}\sqrt{19} \, $ cm
B). $ \frac{1}{10}\sqrt{78} \, $ cm
C). $ \frac{4}{5}\sqrt{5} \, $ cm
D). $ \frac{1}{10}\sqrt{82} \, $ cm
E). $ \frac{2}{5}\sqrt{21} \, $ cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar trigonometri pada segitiga siku-siku:
$ \sin \alpha = \frac{depan}{miring} $
*). Untuk menentukan panjang pada dimensi tiga, bisa menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). ilustrasi gambar :
 

Sudut (TAB,ABCD) = sudut (TP,PO) = $ \alpha $
Titik P ada ditengah-tengah AB, sehingga AP = 5.
Titik O ada ditengah-tengah jajar genjang, sehingga PO = 6.
-). Panjang TP pada segitiga TAP :
$ TP = \sqrt{TA^2 - AP^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} = 10 \times \sqrt{2} $
-). Panjang TO pada segitiga TOP :
$ TO = \sqrt{TP^2 - PO^2} = \sqrt{(\sqrt{200})^2 - 6^2} = \sqrt{164} $
$ TO = \sqrt{ 82 \times 2} = \sqrt{82} \times \sqrt{2} $
*). Menentukan nilai $ \sin alpha $ pada segitiga TOP :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{depan}{miring} = \frac{TO}{TP} \\ & = \frac{\sqrt{82} \times \sqrt{2}}{10 \times \sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{10}\sqrt{82} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{1}{10}\sqrt{82} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \vec{p} , \vec{q}, \vec{r} $ dan $ \vec{s} $ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajaran genjang PQRS dengan PQ sejajar SR, maka $ \vec{s} $
A). $ -\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \, $
B). $ -\vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \, $
C). $ \vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \, $
D). $ \vec{p}-\vec{q}-\vec{r} \, $
E). $ \vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Vektor $ \vec{AB} $ dapat dijabarkan menjadi :
$\, \, \, \, \, \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} $
dengan $ \vec{OB} $ dan $ \vec{OA} $ vektor posisi.
*). Jika $ \vec{PQ} $ sejajar $ \vec{SR} $ dan sama panjang serta searah,
maka $ \vec{PQ} = \vec{SR} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). ilustrasi gambar :
 

-). Karena PQRS jajaran genjang, maka panjang PQ = SR,
sehingga $ \vec{PQ} = \vec{SR} $
-). Vektor posisi masing-masing :
$ \vec{OP} = \vec{p}, \vec{OQ} = \vec{q}, \vec{OR} = \vec{r}, \vec{OS} = \vec{s} $
*). Menentukan bentuk $ \vec{s} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = \vec{SR} \\ \vec{OQ} - \vec{OP} & = \vec{OR} - \vec{OS} \\ \vec{q} - \vec{p} & = \vec{r} - \vec{s} \\ \vec{s} & = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \vec{s} = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r} . \, \heartsuit $

Pembahasan Luas Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui segitiga ABC dengan sudut A sebesar $ 30^\circ $, panjang AB = 2 cm, dan panjang AC = 6 cm. Luas segitiga ABC adalah ....
A). 6 cm$^2$
B). 12 cm$^2$
C). 3 cm$^2$
D). $ 3 \sqrt{3} \, $ cm$^2$
E). $ 6 \sqrt{3} \, $ cm$^2$

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga ABC :
$ \text{Luas } = \frac{1}{2}.AB . AC . \sin \angle A $
Dengan AB dan AC adalah sisi yang mengapit sudut A
(Sisi-sisi yang mengapit sudut yang diketahui)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
AB = 2 cm, AC = 6 cm dan $ \angle A = 30^\circ $.
*). Menentukan Luas segitiga ABC :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2}.AB . AC . \sin \angle A \\ & = \frac{1}{2}.2 . 6 . \sin 30^\circ \\ & = 6 . \frac{1}{2} \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 3 \, $ cm$^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan $ 3\sin x - 4\cos x = 3 - 4p $ dapat diselesaikan bilamana :
A). $ p \leq 1 \, $
B). $ 0 \leq p \leq 1 \, $
C). $ \frac{1}{2} \leq p \leq 1 \, $
D). $ -1 \leq p \leq 1 \, $
E). $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk persamaan trigonometri
$ \, \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = c $
dapat diselesaikan dengan syarat
$ \, \, \, \, \, -\sqrt{a^2 + b^2} \leq c \leq \sqrt{a^2 + b^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ 3\sin x - 4\cos x = 3 - 4p $ :
Nilai $ a = 3 , b = -4 $ dan $ c = 3 - 4p $
Sehingga $ \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5 $
*). Menyelesaikan syaratnya :
$ \begin{align} -\sqrt{a^2 + b^2} \leq & c \leq \sqrt{a^2 + b^2} \\ -5 \leq 3 & - 4p \leq 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kurang 3)} \\ -5 - 3 \leq 3 - & 4p - 3 \leq 5 - 3 \\ -8 \leq - & 4p \leq 2 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ 2 \geq & p \geq -\frac{1}{2} \end{align} $
dapat ditulis juga $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 $.
Jadi, dapat diselesaikan jika $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Asimtot-asimtot dari hiperbola $ 25x^2 - 4y^2 - 50x + 24y - 111 = 0 $ memotong sumbu Y di titik P dan Q. Jarak $ PQ = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 4\frac{1}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 5\frac{1}{2} \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Hiperbola $ \frac{x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y - q = \pm \frac{b}{a}(x - p) $.
*). Cara melengkapkan kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 $.
*). Untuk menentukan titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan dengan melengkapkan kuadrat sempurna :
$ \begin{align} 25x^2 - 4y^2 - 50x + 24y - 111 & = 0 \\ 25x^2 - 50x - 4y^2 + 24y & = 111 \\ 25(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 6y) & = 111 \\ 25[(x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2] - 4[(y - \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 ] & = 111 \\ 25[(x-1)^2 - 1] - 4[(y -3)^2 - 9] & = 111 \\ 25(x-1)^2 - 25 - 4(y -3)^2 + 36 & = 111 \\ 25(x-1)^2 - 4(y -3)^2 & = 111 + 25 - 36 \\ 25(x-1)^2 - 4(y -3)^2 & = 100 \\ \frac{25(x-1)^2}{100} - \frac{4(y -3)^2}{100} & = \frac{100}{100} \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y -3)^2}{25} & = 1 \end{align} $
Mirip dengan bentuk $ \frac{x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ , sehingga
$ a^2 = 4 \rightarrow a = 2 $ dan $ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y - q & = \pm \frac{b}{a}(x - p) \\ y - 3 & = \pm \frac{5}{2}(x - 1) \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah
$ y - 3 = \frac{5}{2}(x - 1) $ dan $ y - 3 = - \frac{5}{2}(x - 1)$
*). Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow y - 3 & = \frac{5}{2}(x - 1) \\ y - 3 & = \frac{5}{2}(0 - 1) \\ y & = - \frac{5}{2} + 3 = \frac{1}{2} \\ \text{artinya titik } & P(0,\frac{1}{2} ) \\ x = 0 \rightarrow y - 3 & = -\frac{5}{2}(x - 1) \\ y - 3 & = -\frac{5}{2}(0 - 1) \\ y & = \frac{5}{2} + 3 = 5\frac{1}{2} \\ \text{artinya titik } & Q(0,5\frac{1}{2} ) \end{align} $
Sehingga jarak PQ $ = 5\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 5 $.
Jadi, jarak PQ adalah $ 5 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2005 Matematika IPA


Nomor 1
Asimtot-asimtot dari hiperbola $ 25x^2 - 4y^2 - 50x + 24y - 111 = 0 $ memotong sumbu Y di titik P dan Q. Jarak $ PQ = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 4\frac{1}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 5\frac{1}{2} \, $ E). $ 6 $
Nomor 2
Persamaan $ 3\sin x - 4\cos x = 3 - 4p $ dapat diselesaikan bilamana :
A). $ p \leq 1 \, $
B). $ 0 \leq p \leq 1 \, $
C). $ \frac{1}{2} \leq p \leq 1 \, $
D). $ -1 \leq p \leq 1 \, $
E). $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 \, $
Nomor 3
DIketahui segitiga ABC dengan sudut A sebesar $ 30^\circ $, panjang AB = 2 cm, dan panjang AC = 6 cm. Luas segitiga ABC adalah ....
A). 6 cm$^2$
B). 12 cm$^2$
C). 3 cm$^2$
D). $ 3 \sqrt{3} \, $ cm$^2$
E). $ 6 \sqrt{3} \, $ cm$^2$
Nomor 4
Jika $ \vec{p} , \vec{q}, \vec{r} $ dan $ \vec{s} $ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajaran genjang PQRS dengan PQ sejajar SR, maka $ \vec{s} $
A). $ -\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \, $
B). $ -\vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \, $
C). $ \vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \, $
D). $ \vec{p}-\vec{q}-\vec{r} \, $
E). $ \vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \, $
Nomor 5
DIketahui limas segiempat T.ABCD dengan rusuk-rusuk tegak 15 cm, bidang alasnya ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 10 cm dan BC = 12 cm. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang alas ABCD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ \frac{2}{5}\sqrt{19} \, $ cm
B). $ \frac{1}{10}\sqrt{78} \, $ cm
C). $ \frac{4}{5}\sqrt{5} \, $ cm
D). $ \frac{1}{10}\sqrt{82} \, $ cm
E). $ \frac{2}{5}\sqrt{21} \, $ cm

Nomor 6
Himpunan jawab pertidaksamaan : $ |x-2|^2 - 4|x-2| < 12 $ adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ x | x < 8 \} \, $
C). $ \{ x | -8 < x < 4 \} \, $
D). $ \{ x | -4 < x < 8 \} \, $
E). $ \{ x | x \text{ bilangan real} \} \, $
Nomor 7
Untuk $ 0 \leq x \leq \pi $ , penyelesaian pertaksamaan $ \cos 4x + 3\cos 2x - 2 < 0 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3} \, $
B). $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} \, $
C). $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{3} \, $
D). $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \, $
E). $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{6} $
Nomor 8
Suku banyak $ f(x) = x^3 + ax^2 - bx - 5 $ dibagi dengan $ (x-2) $ memberikan hasil bagi $ x^2 + 4x + 11 $ dan sisa 17. Nilai $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 9
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ 3.2^{4x} + 2^{2x} - 10 = 0 $ adalah ....
A). $ {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \, $
B). $ \frac{1}{2}( {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3) \, $
C). $ \frac{1}{2} {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \, $
D). $ {}^2 \log 5 - \frac{1}{2} {}^2 \log 3 \, $
E). $ 2({}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 ) \, $
Nomor 10
Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yan gpaling panjang 192 cm, maka panjang tali semula sama dengan ....
A). $ 379 \, $ B). $ 381 \, $ C). $ 383 \, $ D). $ 385 \, $ E). $ 387 \, $

Nomor 11
$\Delta ABC $ siku-siku di A, $ B_1 $ pada BC sehingga $ AB_1 \bot BC $ , $ B_2 $ pada BC sehingga $ A_1B_2 \bot BC $, $ A_2 $ pada AC sehingga $ B_2A_2 \bot AC $, dan seterusnya. Jika $ AB = 6 $ dan $ BC = 10 $, maka jumlah luas $ \Delta ABC $, $ \Delta B_1AC $, $ \Delta A_1B_1C_1 $ , $ \Delta B_2A_1C_1 $ , $ \Delta A_2B_2C $ , dan seterusnya adalah ....
A). $ \frac{600}{8} \, $ B). $ \frac{600}{9} \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 50 \, $ E). $ \frac{600}{16} $
Nomor 12
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x\tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x } = .... $
A). $ \frac{1}{9} \, $ B). $ -\frac{1}{9} \, $ C). $ \frac{2}{9} \, $ D). $ -\frac{2}{9} \, $ E). $ 0 $
Nomor 13
Persamaan garis singgung kurva $ y = \sqrt{4 - x^2} $ yang sejajar dengan garis lurus $ x + y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ x + y = 0 \, $
B). $ x + y - \sqrt{2} = 0 \, $
C). $ x + y + \sqrt{2} = 0 \, $
D). $ x + y - 2\sqrt{2} = 0 \, $
E). $ x + y +2 \sqrt{2} = 0 \, $
Nomor 14
Lima pasang suami istri pergi ke suatu pesta pernikahan dengan menampung 2 buah mobil yang masing-masing dengan kapasitas 6 orang. Jika setiap pasang harus naik pada mobil yang sama, maka banyaknya cara pengaturan penumpang kedua buah mobil tersebut adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 24 \, $
Nomor 15
Lingkaran dengan titik pusat $ (0,1) $ dan jari-jari 2 memotong hiperbola $ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 37 \, $ E). $ 38 $