Kode 248 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\sin ^2 2x + \cos ^2 2x)(\sin ^2 2x - \cos ^2 2x) = 1 $, $0 \leq x \leq 2\pi \, $ , adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \cos 2A = \cos ^2 A - \sin ^2 A $
Sehingga :
$ \begin{align} \sin ^2 2x - \cos ^2 2x & = - ( \cos ^2 2x - \sin ^2 2x ) \\ & = - \cos 4x \end{align} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
*). Persamaan Trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta $ , solusinya yaitu :
i). $ f(x) = \theta + k 2\pi $
ii). $ f(x) = - \theta + k 2\pi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} (\sin ^2 2x + \cos ^2 2x)(\sin ^2 2x - \cos ^2 2x) & = 1 \\ 1 . ( - \cos 4x ) & = 1 \\ \cos 4x & = -1 \\ \cos 4x & = \cos 180^\circ \end{align} $
artinya $ f(x) = 4x $ dan $ \theta = 180^\circ $
Solusinya :
i). $ f(x) = \theta + k 2\pi $ ,
$ \begin{align} 4x & = 180^\circ + k 2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = 45^\circ + k . 90^\circ \\ k = 0 \rightarrow x & = 45^\circ + 0. 90^\circ = 45^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 45^\circ + 1. 90^\circ = 135^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 45^\circ + 2. 90^\circ = 225^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = 45^\circ + 3. 90^\circ = 315^\circ \\ \end{align} $
sehingga $ x = \{ 45^\circ , \, 135^\circ , \, 225^\circ , \, 315^\circ \} $
ii). $ f(x) = -\theta + k 2\pi $ ,
$ \begin{align} 4x & = -180^\circ + k 2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = -45^\circ + k . 90^\circ \end{align} $
hasilnya sama dengan sebelumnya.
Jadi, ada 4 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan . $\, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Trigonometri Rangkap SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. JIka panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah $ a, \, b, \, c $ , maka $ \cos 2A = .... $
A). $ \frac{b^2 - a^2}{c^2} \, $ B). $ \frac{a^2 - b^2}{c^2} \, $
C). $ \frac{b^2 - c^2}{a^2} \, $ D). $ \frac{c^2 - a^2}{b^2} \, $
E). $ \frac{a^2 - b^2}{b^2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri Sudut Rangkap
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar. 


Dari gambar kita peroleh nilai :
$ \sin A = \frac{depan}{miring} = \frac{a}{c} $
$ \cos A = \frac{samping}{miring} = \frac{b}{c} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2A $ :
$\begin{align} \cos 2A & = \cos ^2A - \sin ^2 A \\ & = (\frac{b}{c})^2 - (\frac{a}{c})^2 \\ & = \frac{b^2}{c^2} - \frac{a^2}{c^2} \\ & = \frac{b^2 - a^2}{c^2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 2A = \frac{b^2 - a^2}{c^2} . \, \heartsuit $




Kode 248 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $L_1 $ dan $ L_2 $ berpusat pada sumbu X dengan radius $ R_1 = 2 $ dan $ R_2 = 4 $. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung $ L_1 $ di F dan menyinggung $ L_2 $ di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas segitiga AFQ adalah 5 satuan luas dengan A sebagai titik pusat $ L_1 $. Jika garis singgung dalam tersebut mempunyai gradien positif, maka besar gradiennya adalah .....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{5} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ -\frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Gradien garis
*). Perhatika gambar garis berikut ini dengan sudut $ \theta $ terhadap sumbu X positif,
Gradien garis $(m)$ adalah $ m = \tan \theta $.
*). Rumus perbandingan trigonometri :
$ \tan \theta = \frac{depan}{samping} $
$\clubsuit $ Pembahasan
 

*). Menentukan panjang FQ dengan luas $\Delta AFQ = 5 $ :
$ \begin{align} \text{Luas } \, \Delta AFQ &= 5 \\ \frac{1}{2} . FQ . AF &= 5 \\ \frac{1}{2} . FQ . 2 &= 5 \\ FQ &= 5 \end{align} $
*). Pada gambar di atas, segitiga AFQ sebangun dengan segitiga BQG, sehingga perbandingan sisinya sama yaitu $ \frac{BG}{GQ} = \frac{AF}{FQ} = \frac{2}{5} $
*). Menentukan gradien garis singgung $ (m)$ :
Perhatikan segitiga BQG, sudut garis singgung sama dengan sudut BQG $ = \theta $
$\begin{align} m & = \tan \theta \\ & = \frac{depan}{samping} \\ & = \frac{BG}{GQ} \\ & = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, gradien garis singgungnya adalah $ \frac{2}{5} . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 248 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui $L_1 $ dan $ L_2 $ berpusat pada sumbu X dengan radius $ R_1 = 2 $ dan $ R_2 = 4 $. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung $ L_1 $ di F dan menyinggung $ L_2 $ di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas segitiga AFQ adalah 5 satuan luas dengan A sebagai titik pusat $ L_1 $. Jika garis singgung dalam tersebut mempunyai gradien positif, maka besar gradiennya adalah .....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{5} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ -\frac{1}{3} $
Nomor 2
Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. JIka panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah $ a, \, b, \, c $ , maka $ \cos 2A = .... $
A). $ \frac{b^2 - a^2}{c^2} \, $ B). $ \frac{a^2 - b^2}{c^2} \, $
C). $ \frac{b^2 - c^2}{a^2} \, $ D). $ \frac{c^2 - a^2}{b^2} \, $
E). $ \frac{a^2 - b^2}{b^2} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\sin ^2 2x + \cos ^2 2x)(\sin ^2 2x - \cos ^2 2x) = 1 $, $0 \leq x \leq 2\pi \, $ , adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB, maka nilai $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{5}{44} \sqrt{44} \, $ B). $ \frac{5}{33} \sqrt{33} \, $ C). $ \frac{5}{22} \sqrt{22} \, $ D). $ \frac{1}{13} \sqrt{13} \, $ E). $ \frac{1}{11} \sqrt{11} \, $
Nomor 6
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = f(x) $ dan $ g(-x) = g(x) $. Jika sisa pembagian $(x-1)f(x) $ oleh $ x^2 - 2x - 3 $ adalah $ x + 3 $ dan sisa pembagian $ (x+2)g(x) $ oleh $ x^2 + 2x - 3 $ adalah $ x + 5 $ , maka sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2+4x+3$ adalah .....
A). $ -10x - 8 \, $ B). $ -8x - 6 \, $
C). $ -6x - 4 \, $ D). $ -5x - 3 \, $
E). $ -4x - 2 $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $
Nomor 9
Jika dalam suatu barisan geometri $ u_1 = \frac{1}{5} $ dan $ u_1 + u_2 + ... + u_8 = 51 $ , maka $ u_{251} : u_{250} = .... $
A). $ 2 : 1 \, $ B). $ 4 : 1 \, $ C). $ 3 : 2 \, $ D). $ 4 : 3 \, $ E). $ 5 : 3 $
Nomor 10
Diketahui $ f(x) = x^3 - ax + \frac{2}{3}a $ dan $ f(x) $ memotong sumbu x di titik $ x = 1 $ . Nilai maksimum $ f(x) $ untuk $ 0 \leq x \leq 1 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x) = f(x+a) $ , $ f(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ 0 < x < a $ , dan $ g(x) = g(x+2a) $ , $ g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ -a < x \leq a $ , dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $. Nilai dari $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ adalah ....
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4b \, $ D). $ 5b \, $ E). $ 6b $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Jika $ f(x) = Ax^2 + Bx $ sehingga $ f^\prime (0), \, \int_0^2 f(x) dx $ dan $ f(2) $ berturut-turut membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ \frac{A}{B} = ..... $
A). $ -\frac{4}{5} \, $ B). $ -\frac{5}{3} \, $ C). $ -\frac{3}{5} \, $ D). $ -\frac{4}{3} \, $ E). $ -\frac{3}{4} $