Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x-1, \, x - \frac{3}{2}, \, x - \frac{7}{4} \, $ adalah tiga suku pertama suatu deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan geometri : "Memiliki perbandingan sama".
misalkan ada tiga suku $ U_1, U_2, U_3 $ berlaku ,
Karena perbandingannya sama :
$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} \rightarrow U_2^2 = U_1 . U_3 $
*). Rumus jumlah tak hingga deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
Diketahui $ U_1 = x-1, \, U_2 = x - \frac{3}{2}, \, U_3 = x - \frac{7}{4} $
$\begin{align} U_2^2 & = U_1 . U_3 \\ (x - \frac{3}{2})^2 & = (x-1)(x - \frac{7}{4}) \\ \frac{9}{4} - \frac{7}{4} & = 3x - \frac{11}{4}x \\ \frac{2}{4} & = \frac{1}{4}x \\ x & = 2 \end{align} $
Sehingga barisannya menjadi ( substitusi $ x = 2 $) :
$ x-1, \, x - \frac{3}{2}, \, x - \frac{7}{4} \rightarrow 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4} , .... $
Artinya $ a = U_1 = 1, r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{2} $
*). Menentukan jumlah tak hingga deretnya :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{align} $
Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Maksimum Turunan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika nilai maksimum fungsi $ f(x) = x + \sqrt{a - 3x} $ adalah 1, maka $ a = .... $
A). $ \frac{-3}{4} \, $ B). $ \frac{-1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan :
$\begin{align} f(x) & = x + \sqrt{a - 3x} \\ f^\prime (x) & = 1 + \frac{-3}{2\sqrt{a - 3x}} \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 1 + \frac{-3}{2\sqrt{a - 3x}} & = 0 \\ \frac{3}{2\sqrt{a - 3x}} & = 1 \\ 2\sqrt{a - 3x} & = 3 \\ \sqrt{a - 3x} & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \sqrt{a - 3x} & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ a - 3x & = \frac{9}{4} \\ 3x & = a - \frac{9}{4} \\ x & = \frac{a}{3} - \frac{3}{4} \end{align} $
artinya $ f(x) $ maksimum pada saat $ x_p = \frac{a}{3} - \frac{3}{4} $ dengan nilai maksimum adalah $ 1 $ sehingga dapat kita tulis $ f(x_p) = 1 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dan menggunakan bentuk (i) :
$\begin{align} f(x) & = 1 \\ x + \sqrt{a - 3x} & = 1 \\ x + \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{3} + \frac{3}{4} & = 1 \\ \frac{a}{3} & = 1 - \frac{3}{4} \\ \frac{a}{3} & = \frac{1}{4} \\ a & = \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ y = 2x + 3\sqrt[3]{x^2} \, $ mencapai maksimum untuk $ x $ bernilai ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Turunan fungsi : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
*). Sifat eksponen : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan :
$\begin{align} y & = 2x + 3\sqrt[3]{x^2} = 2x + 3x^\frac{2}{3} \\ y^\prime & = 2 + \frac{2}{3}. 3x^{\frac{2}{3} - 1} \\ & = 2 +2x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 2 + \frac{2}{x^\frac{1}{3}} \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum $ y^\prime = 0 $ :
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 2 + \frac{2}{x^\frac{1}{3}} & = 0 \\ \frac{2}{x^\frac{1}{3}} & = -2 \\ x^\frac{1}{3} & = -1 \\ x & = -1 \end{align} $
Jadi, fungsi maksimum pada saat $ x = -1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)