Pembahasan Statistika Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 634

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Rata-rata tiga bilangan adalah 8 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 14 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah 10, maka ...
(1). jangkauannya adalah 22
(2). variansinya adalah 124
(3). jumlahnya adalah 48
(4). simpangan rata-ratanya adalah 8

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus hitungan pada statistika :
-). Jangkauan = nilai terbesar $ - $ nilai terkecil
-). Variansi data sampel :
$ V = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ... + (x_n - \overline{x})^2}{n-1} $
-). Simpangan rata-rata :
$ SR = \frac{|x_1-\overline{x}| + |x_2-\overline{x}| + ... + |x_n-\overline{x}| }{n} $
Keterangan :
$ n = \, $ banyak data atau banyak nilai
$ \overline{x} = \, $ rata-rata
$ x_1 = \, $ nilai pertama
$ x_2 = \, $ nilai kedua
$ |a| = \, $ nilai mutlak dari $ a $ (selalu positif)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilainya $ a, b, c $ yang sudah diurutkan.
*). Menyusun persamaannya :
-). Persamaan pertama : Rata-rata tiga bilangan adalah 8 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil
$ \frac{a+b+c}{3} = a + 8 \, $ .....(i)
-). Persamaan kedua : Rata-rata tiga bilangan adalah 14 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar
$ \frac{a+b+c}{3} = c - 14 \, $ .....(ii)
-). Median = 10 artinya $ b = 10 $
*). Dari pers(i) dan pers(ii) :
$ a + 8 = c - 14 \rightarrow c = a + 22 \, $ .....(iii)
*). Pers(i) beserta $ b = 10 $ dan pers(iii) :
$\begin{align} \frac{a+b+c}{3} & = a + 8 \\ \frac{a+10+ (a + 22) }{3} & = a + 8 \\ 2a + 32 & = 3a + 24 \\ a & = 8 \end{align} $
Sehingga $ c = a + 22 = 8 + 22 = 30 $
Datanya yaitu $ 8, \, 10, \, 30 $
rata-ratanya : $ \overline = \frac{8 + 10 + 30}{3} = \frac{48}{3} = 16 $

*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). jangkauannya adalah 22?
Jangkauan $ = 30 - 8 = 22 $
Pernyataan (1) BENAR.

-). Pernyataan (2). variansinya adalah 124 ?
$ v = \frac{(8 - 16)^2 + (10 - 16)^2 + (30 - 16)^2}{3 -1} = \frac{296}{2} = 148 $
Pernyataan (2) SALAH.

-). Pernyataan (3). jumlahnya adalah 48 ?
Jumlahnya $ = 8 + 10 + 30 = 48 $
Pernyataan (3) BENAR.

-). Pernyataan (4). simpangan rata-ratanya adalah $ 8 $ ?
$ SR = \frac{|8 - 16| + |10 - 16| + |30 - 16|}{3} = \frac{28}{3} $
Pernyataan (4) SALAH.

Pernyataan (1) dan (3) BENAR, jawabannya B.
Jadi, yang BENAR adalah (1) dan (3) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 634

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1} $ , $ f(0) = f^\prime (0) $ , dan $ f^\prime (-1) = 1 $ , maka ....
(1). $ a + b = 4 $
(2). $ f(1) = 2 $
(3). $ f(-2) = -\frac{2}{5} $
(4). $ y = x + 1 \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $
*). Persamaan garis kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1} $ , $ f(0) = f^\prime (0) $ , dan $ f^\prime (-1) = 1 $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{ax+b}{x^2 + 1} = \frac{U}{V} \\ U & = ax + b \rightarrow U^\prime = a \\ V & = x^2 + 1 \rightarrow V^\prime = 2x \\ f ^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{a.(x^2 + 1) - (ax+b).2x}{(x^2 + 1)^2} \\ & = \frac{ax^2 + a - 2ax^2 - 2bx}{(x^2 + 1)^2} \\ & = \frac{-ax^2 - 2bx + a}{(x^2 + 1)^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan pertama :
$\begin{align} f(0) & = f^\prime (0) \\ \frac{a.0+b}{0^2 + 1} & = \frac{-a.0^2 - 2b.0 + a}{(0^2 + 1)^2} \\ \frac{ b}{ 1} & = \frac{a}{1} \\ a & = b \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menyusun persamaan kedua :
$\begin{align} f^\prime (-1) & = 1 \\ \frac{-a.(-1)^2 - 2b.(-1) + a}{((-1)^2 + 1)^2} & = 1 \\ \frac{-a + 2b + a}{4} & = 1 \\ 2b & = 4 \\ b & = 2 \end{align} $
dari pers(i) : $ a = b = 2 $
*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). $ $ a + b = 4 $ \, $ ?
$ a + b = 2 + 2 = 4 $
Pernyataan (1) BENAR.

-). Pernyataan (2). $ f(1) = 2 $ ?
$ f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1} $
$ f(1) = \frac{2.1+2}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 $
Pernyataan (2) BENAR.

-). Pernyataan (3). $ f(-2) = -\frac{2}{5} $ ?
$ f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1} $
$ f(-2) = \frac{2.(-2)+2}{(-2)^2 + 1} = \frac{-2}{5} $
Pernyataan (3) BENAR.

-). Pernyataan (4). $ y = x + 1 \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = -1 $ ?
Gradien : $ m = f^\prime (-1) = 1 $ (diketahui)
Nilai $ y_1 = f(-1) = \frac{2.(-1) + 2}{(-1)^2 + 1} = \frac{0}{2} = 0 $
Menyusun garis singgung di $ (x_1,y_1) = (-1, 0) $ dan $ m = 1 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 0 & = 1 ( x - (-1)) \\ y - 0 & = x + 1 \\ y & = x + 1 \end{align} $
Garis singgungnya adalah $ y = x + 1 $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga semua pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, semuanya BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 634

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x+1) = \frac{2x-7}{x+1} $ , maka ....
(1). $ f(-1) = 11 $
(2). $ f^{-1} (-1) = 3 $
(3). $ (f \circ f )^{-1} (-1) = -9 $
(4). $ \frac{1}{f^{-1}(-2)} = \frac{4}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(Fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). sifat fungsi invers :
$ (f \circ g)^{-1} (x) = ( g^{-1} \circ f^{-1} )(x) $
*). Invers bentuk pecahan :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x+1) = \frac{2x-7}{x+1} $ :
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ x + 1 = p \rightarrow x = p - 1 $
$\begin{align} f(x+1) & = \frac{2x-7}{x+1} \\ f(p) & = \frac{2(p-1)-7}{(p-1)+1} \\ f(p) & = \frac{2p- 9}{p} \\ f(x) & = \frac{2x- 9}{x} \end{align} $
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{2x- 9}{x} = \frac{2x - 9}{x + 0 } \\ f^{-1} (x) & = \frac{-0.x - 9}{x - 2} = \frac{-9}{x-2} \end{align} $
*). Cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). $ f(-1) = 11 $ ?
$ f(-1) = \frac{2.(-1)- 9}{-1} = \frac{-11}{-1} = 11 $
Pernyataan (1) BENAR.

-). Pernyataan (2). $ f^{-1} (-1) = 3 $ ?
$ f^{-1} (x) = \frac{-9}{x-2} $
$ f^{-1} (-1) = \frac{-9}{-1-2} = \frac{-9}{-3} = 3 $
Pernyataan (2) BENAR.

-). Pernyataan (3). $ (f \circ f )^{-1} (-1) = -9 $ ?
$\begin{align} (f \circ f )^{-1} (-1) & = ( f^{-1} \circ f^{-1} )(-1) \\ & = f^{-1} ( f^{-1} (-1)) \\ & = f^{-1} ( 3) \\ & = \frac{-9}{3-2} = \frac{-9}{1} = -9 \end{align} $
Pernyataan (3) BENAR.

-). Pernyataan (4). $ \frac{1}{f^{-1}(-2)} = \frac{4}{9} $ ?
$ f^{-1}(-2) = \frac{-9}{-2-2} = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4} $
$ \frac{1}{f^{-1}(-2)} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9} $
Pernyataan (4) BENAR.
Sehingga semua pernyataan BENAR, jawabannya E
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 634

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f \left( \frac{x}{3} \right) = x^2 + x + 1 $ , maka jumlah kuadrat nilai-nilai $ y $ yang memenuhi $ f(3y) = 5 $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{7} \, $ E). $ \frac{1}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $
-). Nilai fungsi untuk $ x = k $ adalah $ f(k) = ak^2 + bk + c $
*). Persamaan kuadrat $ ay^2 + by + c = 0 $ memiliki akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ y_1.y_2 = \frac{c}{a} $
Jumlah kuadrat : $ y_1^2 + y_2^2 $
Rumus bantu : $ y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f \left( \frac{x}{3} \right) = x^2 + x + 1 $
*). Substitusi $ x = 9y $ ke fungsi kuadratnya :
$\begin{align} f \left( \frac{x}{3} \right) & = x^2 + x + 1 \\ f \left( \frac{9y}{3} \right) & = (9y)^2 + 9y + 1 \\ f ( 3y ) & = 81y^2 + 9y + 1 \end{align} $
*). Menentukan jumlah kuadrat dari $ f(3y) = 5 $ :
$\begin{align} f(3y) & = 5 \\ 81y^2 + 9y + 1 & = 5 \\ 81y^2 + 9y -4 & = 0 \\ a = 81 , b = 9 , c & = -4 \\ y_1^2 + y_2^2 & = (y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2 \\ & = \left( \frac{-b}{a} \right) ^2 - 2 . \frac{c}{a} \\ & = \left( \frac{-9}{81} \right) ^2 - 2 . \frac{-4}{81} \\ & = \left( \frac{-1}{9} \right) ^2 + \frac{8}{81} \\ & = \frac{1}{81} + \frac{8}{81} \\ & = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat nilai $ y $ adalah $ \frac{1}{9} . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Datar Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 634

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui segitiga siku-siku AED dan BFC dibuat di dalam persegi panjang ABCD sehingga F terletak pada DE seperti tampak pada gambar. Jika $ AE = 7 $ , $ ED = 24 $ , dan $ BF = 15 $ , maka panjang AB adalah ....
A). $ \frac{62}{3} \, $ B). $ 20 \, $ C). $ \frac{50}{3} \, $ D). $ 16 \, $ E). $ \frac{44}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras. *). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times a \times t $
*). Dua segitiga sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang AD, FC, FH, dan HC :
-). Segitiga AED :
$ AD = \sqrt{AE^2 + ED^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25 $
Panjang BC = AD = 25.
-). Segitiga BFC :
$ FC = \sqrt{BC^2 - BF^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20 $
-). Segitiga BFC, konsep luas untuk panjang HF :
$\begin{align} \text{Luas BFC } & = \text{Luas BCF} \\ \frac{1}{2}.BC.HF & = \frac{1}{2}.BF.FC \\ BC.HF & = BF.FC \\ 25.HF & = 15 . 20 \\ HF & = 12 \end{align} $
-). Segitiga HFC :
$ HC = \sqrt{FC^2 - HF^2}= \sqrt{20^2 - 12^2} = 16 $
Panjang GD = panjang HC = 16
*). Ilustrasi gambarnya :

*). $\Delta GDF $ sebangun dengan $ \Delta AED $ :
$\begin{align} \frac{GF}{AE} & = \frac{DG}{ED} \\ \frac{GF}{7} & = \frac{16}{24} \\ \frac{GF}{7} & = \frac{2}{3} \\ GF & = \frac{14}{3} \end{align} $
*). Menentukan panjang AB :
$\begin{align} AB & = HF + GF \\ & = 12 + \frac{14}{3} = \frac{50}{3} \end{align} $
Jadi, panjang $ AB = \frac{50}{3}. \, \heartsuit $