Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2007 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan kuadrat $ x^2 - x - p = 0 \, $ sama dengan kuadrat jumlah kebalikan akar-akar persamaan $ x^2-px-1 = 0, \, $ maka $ p = .... $
$\clubsuit \, $ PK1 : $ x^2 - x - p = 0 \, $ akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2$
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{1} = 1 \\ x_1x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{-p}{1} = -p \\ x_1^2+x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 \\ & = (1)^2 - 2(-p) = 1 + 2p \end{align}$
$\clubsuit \, $ PK2 : $ x^2-px-1 = 0, \, $ akar-akar $ y_1 \, $ dan $ y_2$
$\begin{align} y_1+y_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p \\ y_1y_2 & = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 \\ \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} & = \frac{y_1+y_2}{y_1y_2} = \frac{p}{-1} = -p \end{align}$
$\clubsuit \, $ Jumlah kuadrat PK1 = kuadrat jumlah kebalikan PK2
$\begin{align} x_1^2+x_2^2 & = (\frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2})^2 \\ 1 + 2p & = (-p)^2 \\ p^2 - 2p - 1 & = 0 \\ p & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \, \, \text{(rumus ABC)} \\ p & = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4.1.(-1)}}{2.1} \\ p & = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ p & = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ p & = 1 \pm \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ p = \sqrt{2} + 1 \vee p = -\sqrt{2} + 1 . \heartsuit $
Nomor 12
Nilai-nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ |x-2| \geq \sqrt{2x+20} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $ |x|^2 = x^2 $
$\spadesuit \, $ Syarat dalam akar positif
$ \sqrt{2x+20} \geq 0 \rightarrow 2x + 20 \geq 0 \rightarrow x \geq -10 \, \, $ ...(HP1)
$\spadesuit \, $ Kuadratkan pertidaksamaan
$\begin{align} (|x-2|)^2 & \geq ( \sqrt{2x+20} )^2 \\ (x-2)^2 & \geq 2x + 20 \\ x^2 - 4x + 4 & \geq 2x + 20 \\ x^2 - 6x - 16 & \geq 0 \\ (x+2)(x-8) & = 0 \\ x = -2 & \vee x = 8 \end{align}$
spmb_mat_ipa_5_2007.png
$ HP2 = \{ x \leq -2 \vee x \geq 8 \} $
Sehingga solusinya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ HP & = \{ -10 \leq x \leq -2 \vee x \geq 8 \} \, \, \text{(atau)} \\ HP & = \{ -10 \leq x \leq -2 \vee 8 \leq x < \infty \} \end{align}$
Jadi, solusinya $ HP = \{ -10 \leq x \leq -2 \vee 8 \leq x < \infty \} . \heartsuit $
Nomor 13
Diberikan ABCD.EFGH. Perbandingan luas permukaan kubus ABCD.EFGH dengan limas H.ACF adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan panjang rusuknya 2
spmb_mat_ipa_6_2007.png
$\spadesuit \, $ Menentukan luas permukaan kubus
$L_{kb} = 6.s^2 = 6.2^2 = 24 $
$\spadesuit \, $ Sisi limas H.ACF memiliki luas yang sama
$\Delta HDM, \, HM = \sqrt{HD^2+DM^2} = \sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
$L_{ACH} = \frac{1}{2}.AC.HM = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2}.\sqrt{6} = 2\sqrt{3} $
$\spadesuit \, $ Menentukan luas permukaan limas H.ACF
$L_{H.ACF} = 4. L_{ACH} = 4. 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $
Sehingga perbandingannya :
$\begin{align} \frac{L_{kb}}{L_{H.ACF}} & = \frac{24}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{1} \end{align}$
Jadi, perbandingan luas kubus dan limas adalah $ \sqrt{3} : 1 . \heartsuit $
Nomor 14
Jika suku banyak $ 2x^3-px^2+qx+6 \, $ dan $ \, 2x^3+3x^2-4x-1 , \, $ mempunyai sisa sama apabila dibagi oleh $ x+1, \, $ maka nilai $ p+q = .... $
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $ \frac{P(x)}{x+a} \rightarrow \, \text{sisa} \, = P(-a) $
$\spadesuit \, $ Misalkan :
$ f(x) = 2x^3-px^2+qx+6 \, $ dan $ \, g(x) = 2x^3+3x^2-4x-1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa setiap pembagian
$ \frac{f(x)}{x+1} \rightarrow \, \text{sisa I} \, = f(-1) $
$ \frac{g(x)}{x+1} \rightarrow \, \text{sisa II} \, = g(-1) $
$\spadesuit \, $ Sisa pembagian sama :
$\begin{align} \text{sisa I} & = \text{sisa II} \\ f(-1) & = g(-1) \\ 2.(-1)^3-p.(-1)^2+q.(-1)+6 & = 2.(-1)^3+3.(-1)^2-4.(-1)-1 \\ -2-p-q+6 & = -2 + 3 + 4 - 1 \\ p+q & = 0 \end{align}$
Jadi, nilai $ p+q = 0. \heartsuit $
Nomor 15
Tiga bilangan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika suku pertama dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah 6, maka barisan menjadi barisan geometri dengan rasio 2. Hasil kali ketiga bilangan pada barisan geometri tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Misalkan barisannya : $ x, y, z $
Barisan aritmatika, selisih sama
$ y-x = z-y \rightarrow x + z = 2y \, \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Perubahan barisan
Barisan geometri : $ x-2,y,z+6 $
Rasio sama : $ r = \frac{y}{x-2} = \frac{z+6}{y} \leftrightarrow 2 = \frac{y}{x-2} = \frac{z+6}{y} $
Bentuk persamaan dari persamaan pada barisan geometri
$ \frac{y}{x-2} = 2 \rightarrow y = 2x-4 \, \, $ ...pers(ii)
$ \frac{z+6}{y} = 2 \rightarrow z+6 = 2y \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} x + z = 2y & \\ z+6 = 2y & - \\ \hline x = 6 & \end{array}$
pers(ii): $ y = 2x-4 \rightarrow y = 2.6-4 = 12-4 = 8 $
pers(iii): $ z+6 = 2y \rightarrow z+6 = 2.8 \rightarrow z = 10 $
Sehingga barisan geometrinya menjadi :
$ x-2,y,z+6 \rightarrow 6-2,8,10+6 \rightarrow 4, 8, 16$
Hasil perkaliannya : 4$\times$8$\times$16 = 512
Jadi, hasil perkalian barisan geometrinya adalah 512. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2007 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui $ f(x) = \frac{1-x}{x} \, $ untuk setiap bilangan real $ x \neq 0 . \, $ Jika $ g: R \rightarrow R \, $ adalah suatu fungsi sehingga $ (g\circ f)(x) = 2x+1, \, $ maka fungsi invers $ g^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan komposisinya
$\begin{align} (g\circ f) (x) & = 2x + 1 \\ g(f(x)) & = 2x + 1 \\ g \left( \frac{1-x}{x} \right) & = 2x + 1 \\ \text{misal} \, y & = \frac{1-x}{x} \rightarrow x = \frac{1}{y+1} \\ g \left( \frac{1-x}{x} \right) & = 2x + 1 \\ g ( y ) & = 2 . \left( \frac{1}{y+1} \right) + 1 \\ g ( y ) & = \frac{y+3}{y+1} \\ g ( x ) & = \frac{x+3}{x+1} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan inversnya
konsep : $ g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{dx-b}{-cx+a} $
sehingga invernya :
$ g ( x ) = \frac{x+3}{x+1} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{x-3}{-x+1} = \frac{x-3}{1-x} $
Jadi, fungsi inversnya adalah $ g^{-1} (x) = \frac{x-3}{1-x} . \heartsuit $
Nomor 7
Jika garis singgung di titik (1,2) pada parabola $ y = ax^2 + bx + 4 \, $ memiliki persamaan $ y = -6x+8, \, $ maka nilai $ a \, $ dan $ b \, $ berturut-turut adalah ....
$\clubsuit \, $ Substitusi titik singgung ke parabolanya
$\begin{align} (1,2) \rightarrow y & = ax^2+bx+4 \\ 2 & = ax.1^2+b.1+4 \\ a+b & = -2 \, \, \text{...pesr(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan dan gradien garis singgung
$ y = ax^2 + bx + 4 \rightarrow y^\prime = 2ax + b $
$ y = -6x+8 \rightarrow m = -6 $
gradien garis singgung di titik (1,2)
$\begin{align} m & = f^\prime (1) \\ -6 & = 2a.1 + b \\ 2a+b & = -6 \, \, \text{...pesr(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2a+b = -6 & \\ a+b = -2 & - \\ \hline a = -4 & \end{array} $
pers(i) : $ a+b = -2 \rightarrow -4 + b = -2 \rightarrow b = 2 $
Jadi, nilai $ a = -4 \, $ dan $ \, b = 2 . \heartsuit$
Nomor 8
Luas daerah dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi $ y = \sin x , \, y = \cos x \, $ dan sumbu X untuk $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_mat_ipa_3_2007.png
$\spadesuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_\text{arsir} & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_0^{45^\circ} \sin x dx + \int \limits_{45^\circ}^{90^\circ} \cos x dx \\ & = -[\cos x ]_0^{45^\circ} + [\sin x]_{45^\circ}^{90^\circ} \\ & = -[\cos 45^\circ - \cos 0 ] + [\sin 90^\circ - \sin 45^\circ] \\ & = -[\frac{1}{2}\sqrt{2} - 1 ] + [1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}] \\ & = 2 - \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, luas daerahnya adalah $ 2 - \sqrt{2} . \heartsuit$
Nomor 9
Dalam suatu ujian, perbandingan banyaknya peserta pria dan wanita adalah 6:5. Diketahui 3 peserta pria dan 1 peserta wanita tidak lulus. Jika perbandingan jumlah peserta pria dan wanita yang lulus ujian adalah 9:8, maka jumlah peserta yang lulus adalah ....
$\clubsuit \, $ Misal : P = siswa pria, W = siswa wanita
Perbandingan 6 : 5
$ \frac{P}{W} = \frac{6}{5} \rightarrow P = \frac{6}{5} W \, \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ 3 pria dan 1 wanita tidak lulus
$ \frac{P-3}{W-1} = \frac{9}{8} \rightarrow 8P = 9W + 15 \, \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} 8P & = 9W + 15 \\ 8(\frac{6}{5} W) & = 9W + 15 \, \, \text{(kali 5)} \\ 48W & = 45W + 75 \\ 3W & = 75 \rightarrow W = 25 \end{align}$
pers(i): $ P = \frac{6}{5} W = \frac{6}{5} .25 = 30 $
Sehingga yang lulus = 30 + 25 - 4 = 51
Jadi, jumlah peserta yang lulus ada 51 orang. $ \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui $ 0 \leq a \leq \frac{\pi}{2} \, $ dan $ 0 \leq b \leq \frac{\pi}{2} \, $ . Jika $ \sin a - \sin b = \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos a + \cos b = \frac{4}{5}, \, $ maka $ \sin (a+b) = .... $
$\spadesuit \, $ Rumus dasar trigonometri
identitas : $ \sin ^2 a + \cos ^2 a = 1 \, $ dan $ \, \sin ^2 b + \cos ^2 b = 1 $
Jumlah sudut : $ \cos (a + b ) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua persamaan
$\begin{align} (\sin a - \sin b)^2 & = (\frac{3}{5})^2 \\ \sin ^2 a + \sin ^2 b - 2\sin a \sin b & = \frac{9}{25} \\ (\cos a + \cos b)^2 & = (\frac{4}{5})^2 \\ \cos ^2 a + \cos ^2 b + 2\cos a \cos b & = \frac{16}{25} \end{align}$
Jumlahkan kedua persamaan :
$\begin{array}{cc} \sin ^2 a + \sin ^2 b - 2\sin a \sin b & = \frac{9}{25} & \\ \cos ^2 a + \cos ^2 b + 2\cos a \cos b & = \frac{16}{25} & + \\ \hline & \end{array} $
$\begin{align} (\sin ^2 a + \cos ^2 a) + (\sin ^2 b + \cos ^2 b) & \\ + 2 (\cos a \cos b - \sin a \sin b) & = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} \\ 1 + 1 + 2 \cos (a+b) & = 1 \\ \cos (a+b) & = - \frac{1}{2} \end{align}$
Buat segitiga :
spmb_mat_ipa_4_2007.png
Sehingga, nilai $ \sin (a+b) = \frac{1}{2} \sqrt{3} $
Jadi, nilai $ \sin (a+b) = \frac{1}{2} \sqrt{3}. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15