Nomor 6
Diketahui segitiga $ ABC \, $ mempunyai panjang sisi $ AC = b \, $ cm, $ BC = a \, $ cm, dan $ a + b = 12 \, $ cm.
Jika sudut $ A \, $ sebesar $ 60^\circ \, $ dan sudut $ B \, $ sebesar $ 30^\circ \, $ , maka panjang sisi $ AB = .... $ cm .
$\spadesuit \, $ Gambar
Diketahui : $ a + b = 12 \, $ ....pers(i)
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} \tan 60^\circ & = \frac{BC }{CA} \\ \sqrt{3} & = \frac{a}{b} \\ a & = b \sqrt{3} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ a = b \sqrt{3} \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a + b & = 12 \\ b \sqrt{3} + b & = 12 \\ b (\sqrt{3} + 1) & = 12 \\ b & = \frac{12}{\sqrt{3} + 1} \\ b & = \frac{12}{\sqrt{3} + 1} . \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} \\ b & = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{3-1} \\ b & = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{2} \\ b & = 6(\sqrt{3} - 1) \\ b & = 6\sqrt{3} - 6 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang AB
$\begin{align} \sin 30^\circ & = \frac{AC }{AB} \\ \frac{1}{2} & = \frac{b}{AB} \\ AB & = 2b \\ AB & = 2(6\sqrt{3} - 6) \\ AB & = 12\sqrt{3} - 12 \end{align}$
Jadi, panjang $ AB = 12\sqrt{3} - 12 . \heartsuit $
Diketahui : $ a + b = 12 \, $ ....pers(i)
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} \tan 60^\circ & = \frac{BC }{CA} \\ \sqrt{3} & = \frac{a}{b} \\ a & = b \sqrt{3} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ a = b \sqrt{3} \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a + b & = 12 \\ b \sqrt{3} + b & = 12 \\ b (\sqrt{3} + 1) & = 12 \\ b & = \frac{12}{\sqrt{3} + 1} \\ b & = \frac{12}{\sqrt{3} + 1} . \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} \\ b & = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{3-1} \\ b & = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{2} \\ b & = 6(\sqrt{3} - 1) \\ b & = 6\sqrt{3} - 6 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang AB
$\begin{align} \sin 30^\circ & = \frac{AC }{AB} \\ \frac{1}{2} & = \frac{b}{AB} \\ AB & = 2b \\ AB & = 2(6\sqrt{3} - 6) \\ AB & = 12\sqrt{3} - 12 \end{align}$
Jadi, panjang $ AB = 12\sqrt{3} - 12 . \heartsuit $
Nomor 7
Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} -2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{matrix} \right) \, $ dan
$ C = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{matrix} \right) \, $ memenuhi $ A + B = C^t \, $ dengan $ C^t \, $
transpose matriks $ C , \, $ maka $ 2x + 3y = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan $ C^t $
konsep transpose : baris jadi kolom atau kolom jadi baris
$ C = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow C^t = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{matrix} \right) \rightarrow C^t = \left( \begin{matrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{matrix} \right) $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaan
$\begin{align} A + B & = C^t \\ \left( \begin{matrix} -2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -2x+9 & 3x-2 \\ x+8 & 3y-2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Diperoleh persamaan :
$ x + 8 = 6 \rightarrow x = 6 -8 = -2 $
$ 3y-2 = 7 \rightarrow 3y = 9 \rightarrow y = 3 $
Sehingga nilai : $ 2x + 3y = 2.(-2) + 3.3 = -4 + 9 = 5 $
Jadi, nilai $ 2x + 3y = 5 . \heartsuit$
konsep transpose : baris jadi kolom atau kolom jadi baris
$ C = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow C^t = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{matrix} \right) \rightarrow C^t = \left( \begin{matrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{matrix} \right) $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaan
$\begin{align} A + B & = C^t \\ \left( \begin{matrix} -2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -2x+9 & 3x-2 \\ x+8 & 3y-2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Diperoleh persamaan :
$ x + 8 = 6 \rightarrow x = 6 -8 = -2 $
$ 3y-2 = 7 \rightarrow 3y = 9 \rightarrow y = 3 $
Sehingga nilai : $ 2x + 3y = 2.(-2) + 3.3 = -4 + 9 = 5 $
Jadi, nilai $ 2x + 3y = 5 . \heartsuit$
Nomor 8
Suatu SMA unggulan akan menyusun tim cerdas cermat yang beranggotakan 2 siswa IPS dan 3 siswa IPA. Jika di SMA tersebut terdapat 4 siswa IPS
dan 5 siswa IPA yang berprestasi, maka komposisi tim cerdas cermat dapat dibentuk dengan .... cara.
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini pemilihan tim, artinya urutan orang tidak berpengaruh (misal timnya ABC sama dengan BCA),
sehingga menggunakan kombinasi.
Rumus Kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)! \times r!} $
$\spadesuit \, $ Ada 4 IPS dan 5 IPA, akan dipilih 2 IPS dan 3 IPA :
Total cara = $ C_2^4 \times C_3^5 = 6 \times 10 = 60 $ .
Jadi, semua komposisi tim cerdas cermat ada 60 tim. $ \heartsuit $
Rumus Kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)! \times r!} $
$\spadesuit \, $ Ada 4 IPS dan 5 IPA, akan dipilih 2 IPS dan 3 IPA :
Total cara = $ C_2^4 \times C_3^5 = 6 \times 10 = 60 $ .
Jadi, semua komposisi tim cerdas cermat ada 60 tim. $ \heartsuit $
Nomor 9
Jika $ g(x) = 2x+4 \, $ dan $ (g\circ f)(x) = 2x^2 + 4x + 6 , \, $ maka $ (f\circ g)(1) \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan $ f(x) \, $ dari komposisinya
$\begin{align} (g\circ f)(x) & = 2x^2 + 4x + 6 \\ g \left( f(x) \right) & = 2x^2 + 4x + 6 \\ 2. \left( f(x) \right) + 4 & = 2x^2 + 4x + 6 \\ 2. \left( f(x) \right) & = 2x^2 + 4x + 2 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f(x) & = x^2 + 2x + 1 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ (f\circ g)(1) $
$\begin{align} (f\circ g)(1) & = f (g(1)) \\ & = f ( 2.1 + 4 ) \\ & = f(6) \\ & = 6^2 + 2.6 + 1 \\ & = 36 + 12 + 1 \\ & = 49 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f\circ g)(1) = 49 . \heartsuit $
$\begin{align} (g\circ f)(x) & = 2x^2 + 4x + 6 \\ g \left( f(x) \right) & = 2x^2 + 4x + 6 \\ 2. \left( f(x) \right) + 4 & = 2x^2 + 4x + 6 \\ 2. \left( f(x) \right) & = 2x^2 + 4x + 2 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f(x) & = x^2 + 2x + 1 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ (f\circ g)(1) $
$\begin{align} (f\circ g)(1) & = f (g(1)) \\ & = f ( 2.1 + 4 ) \\ & = f(6) \\ & = 6^2 + 2.6 + 1 \\ & = 36 + 12 + 1 \\ & = 49 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f\circ g)(1) = 49 . \heartsuit $
Nomor 10
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan
1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian
yang mungkin dapat dibuat adalah ....
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $
NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 40 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $
NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 40 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.