Pembahasan Soal Simak UI Matematika IPA KA2 tahun 2014 nomor 11 sampai 12


Nomor 11
Diberikan kubus PQRS.TUVW. Titik A terletak di tengah rusuk VW dan titik B terletak di rusuk RV sedemikian sehingga VB=2BR. Titik C terletak di perpanjangan rusuk UV sedemikian sehingga UV=2VC. Bidang $\Omega$ melalui A, B, dan C. Jika $\alpha$ adalah sudut terkecil yang terbentuk antara bidang $\Omega$ dan perpanjangan rusuk QU, maka $ \tan 2\alpha =...$
$\spadesuit \, $ Gambar
simak_ui_6_mat_ipa_ka2_2014.png
Sudut yang dientuk oleh QU dan ABC sama dengan sudut yang dibentuk oleh BV dan ABC yaitu sudut MBV. Misal panjang rusuk kubus 1, VB = 2BR artinya BR = $ \frac{1}{3} \, $ dan VB = $ \frac{2}{3} \, $ . UV = 2VC artinya VC = $ \frac{1}{2} \, $ dan UV = 1 .
Segitiga ABC sama kaki yaitu AB = BC .
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang VM pada segitiga AVC
$\begin{align} \text{Luas}_{\Delta AVC} & = \text{Luas}_{\Delta AVC} \\ \frac{1}{2}.VC.VA & = \frac{1}{2}.AC.VM \\ \frac{1}{2}.\frac{1}{2} & = \frac{1}{2}\sqrt{2}.VM \\ VM & = \frac{1}{4} \sqrt{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \tan \alpha \, $ segitiga MBV
$\tan \alpha = \frac{MV}{BV} = \frac{\frac{1}{4}\sqrt{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{8} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \tan 2\alpha $
$\begin{align} \tan 2\alpha & = \frac{ 2 \tan \alpha }{1- (\tan \alpha)^2} \\ \tan 2\alpha & = \frac{ 2 . \frac{3\sqrt{2}}{8} }{1- (\frac{3\sqrt{2}}{8})^2} \\ \tan 2\alpha & = \frac{24\sqrt{2}}{23} \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan 2\alpha = \frac{24\sqrt{2}}{23} . \heartsuit $
Nomor 12
Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 12.
Misalakan $x, y, \, $ dan $z$ memenuhi sistem persamaan
$\left\{ \begin{array}{c} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5 \\ 2x^2-z^2=4. \end{array} \right. $
Jika $x,y,z$ adalah suku-suku berurutan pada suatu deret aritmatika, maka $y=...$
1). $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} \, $ 2). $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{6}}{4} \, $ 3). $\frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4} \, $ 4). $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2} \, $
$\left\{ \begin{array}{c} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz=-5 \, \, \text{...pers(i)} \\ 2x^2-z^2=4 \, \, \text{...pers(ii)}. \end{array} \right. $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ x, \, y, \, z $
Selisih sama : $ y-x = z-y \rightarrow x+z = 2y \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iii) : $ x+z = 2y \, $ ke pers(i)
$\begin{align} (-x-2y-z)(x-y+z)+2xz & = -5 \\ [-(x+z)-2y)][(x+z)-y]+2xz & = -5 \\ [-(2y)-2y)][(2y)-y]+2xz & = -5 \\ -4y.y+2xz & = -5 \\ 4y^2 - 5 - 2xz & = 0 \, \, \text{ ...pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Kuadratkan pers(iii)
$(x+z)^2 = (2y)^2 \rightarrow x^2+z^2 + 2xz = 4y^2 \, \, $ ...pers(v)
$\clubsuit \, $ Jumlahkan pers(iv) dan pers(v)
$ \begin{array}{cc} 4y^2 - 5 - 2xz = 0 & \\ x^2+z^2 + 2xz = 4y^2 & + \\ \hline 4y^2 + x^2 + z^2 - 5 = 4y^2 & \\ x^2 + z^2 = 5 \, \, \text{...pers(vi)} & \end{array} $
$\clubsuit \, $ Jumlahkan pers(ii) dan pers(vi)
$ \begin{array}{cc} 2x^2-z^2=4 & \\ x^2 + z^2 = 5 & + \\ \hline 3x^2 = 9 \rightarrow x^2 = 3 & \\ x = \pm \sqrt{3} & \end{array} $
pers(vi): $ x^2 + z^2 = 5 \rightarrow 3 + z^2 = 5 \rightarrow z^2 = 2 \rightarrow z = \pm \sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ y \, $ dari pers(iii)
$ x+z = 2y \rightarrow y = \frac{x+z}{2} $
* untuk $ x = \sqrt{3} \, $ dan $ \, z = \sqrt{2} $
$ y = \frac{x+z}{2} \rightarrow y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} $
* untuk $ x = -\sqrt{3} \, $ dan $ \, z = -\sqrt{2} $
$ y = \frac{x+z}{2} \rightarrow y = \frac{-\sqrt{3}+-\sqrt{2}}{2} = \frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4} $
Jadi, nilai $ y \, $ adalah $ y = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{4} \vee y = \frac{-\sqrt{12}-\sqrt{8}}{4}. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-12

Tidak ada komentar:

Posting Komentar