Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2002 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
$ f(x) = 1 + \cos x + \cos ^2 x + \cos ^3 x + ..... \, $ untuk $ 0 < x < \pi $
A. merupakan fungsi naik
B. merupakan fungsi turun
C. mempunyai maksimum saja
D. mempunyai minimum saja
E. mempunyai maksimum dan minimum
$\clubsuit \, $ Geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$s_\infty = 1 + \cos x + \cos ^2 x + \cos ^3 x + ..... \, $
dengan $ \, a = 1, r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\cos x }{1} = \cos x $
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\cos x} $
sehingga : $ f(x) = 1 + \cos x + \cos ^2 x + \cos ^3 x + ..... $
$ f(x) = \frac{1}{1-\cos x} = (1 - \cos x )^{-1}$
$\clubsuit \, $ Konsep turunan
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}.f^\prime (x) $
$ y = \cos x \rightarrow y^\prime = - \sin x $
untuk $ f^\prime (x) < 0 , \, $ artinya fungsi $ f(x) \, $ selalu turun.
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = (1 - \cos x )^{-1} \\ f^\prime (x) & = (-1). (1 - \cos x )^{-2} . -(-\sin x) \\ f^\prime (x) & = \frac{-\sin x}{(1 - \cos x )^{2} } \end{align}$
untuk interval $ 0 < x < \pi , \, $ maka nilai $ f^\prime (x) \, $ selalu negatif $ (f^\prime (x) < 0 ), \, $ artinya fungsi $ f(x) \, $ selalu turun pada interval tersebut.
Jadi, pada interval $ 0 < x < \pi , \, $ fungsi $ f(x) \, $ merupakan fungsi turun. $ \heartsuit $
Nomor 12
Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh $ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 6t + 3, \, $ satuan jarak $ s(t) $ dinyatakan dalam meter dan satuan waktu $ t $ dinyatakan dalam detik. Apabila pada saat percepatan menjadi 0, maka kecepatan benda tersebut pada saat itu adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar , diketahui fungsi jarak : $ s(t) $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) \, $ (turunan jaraknya)
Percepatan : $ a(t) = v^\prime (t) \, $ (turunan kecepatannya)
$\spadesuit \, $ mementukan kecepatan dan percepatan
$ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 6t + 3 $
$v(t) = s^\prime (t) \rightarrow v(t) = t^2 - 4t + 6 $
$ a(t) = v^\prime (t) \rightarrow a(t) = 2t-4 $
$\spadesuit \, $ mementukan $ t $ saat percepatan = 0
$ a(t) = 0 \rightarrow 2t-4 = 0 \rightarrow t = 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan kecepatan saat $ t = 2 $
$\begin{align} t=2 \rightarrow v(t) & = t^2 - 4t + 6 \\ v(2) & = 2^2 - 4.2 + 6 \\ v(2) & = 2 \end{align}$
Jadi, kecepatannya adalah 2 m/detik . $ \heartsuit $
Nomor 13
O adalah titik awal, jika
$ \vec{a} \, $ adalah vektor posisi A
$ \vec{b} \, $ adalah vektor posisi B
$ \vec{c} \, $ adalah vektor posisi C
$ \vec{CD} = \vec{b} , \, \vec{BE} = \vec{a} , \, \vec{DP} = \vec{OE} $
Maka vektor posisi titik P adalah .....
$\spadesuit \, $ konsep dasar
*). Vektor posisi adalah vektor yang pusat/pangkalnya pada pusat koordinat
*). Vektor posisi titik A ditulis $ \vec{OA} \, $ atau $ \vec{a} $
*). Konsep vektor titik A ke B ($\vec{AB}$) :
$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor posisi $ \vec{d} \, $ dan $ \vec{e} $
$\vec{CD} = \vec{b} \rightarrow \vec{d} - \vec{c} = \vec{b} \rightarrow \vec{d} = \vec{b} + \vec{c} $
$\vec{BE} = \vec{a} \rightarrow \vec{e} - \vec{b} = \vec{a} \rightarrow \vec{e} = \vec{a} + \vec{b} $
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor posisi $ \vec{p} \, $
$\begin{align} \vec{DP} & = \vec{OE} \\ \vec{p} - \vec{d} & = \vec{e} \\ \vec{p} & = \vec{d} + \vec{e} \\ \vec{p} & = (\vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a} + \vec{b}) \\ \vec{p} & = \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} . \heartsuit $
Nomor 14
Dari 10 orang siswa yang terdiri 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 7 putra dan 3 putri akan dibentuk tim beranggotakan 5 orang. Pada kasus ini urutan tidak diperhatikan sehingga menggunakan kmbinasi
$\spadesuit \, $ Banyaknya cara penyusunan tim dengan paling banyak 2 putri, dibagi menjadi beberapa kemungkinan :
1). 2 putri dan 3 putra
Cara I = $ C_2^3.C_3^7 = 3.35 = 105 $
2). 1 putri dan 4 putra
Cara II = $ C_1^3.C_4^7 = 3.35 = 105 $
3). 0 putri dan 5 putra
Cara III = $ C_0^3.C_5^7 = 1.21 = 21 $
Sehingga total caranya :
$\begin{align} \text{Total} \, & = \text{cara I} \, + \text{cara II} \, + \text{cara III} \\ & = 105 + 105 + 21 \\ & = 231 \, \, \text{cara } \end{align}$
Jadi, banyak tim yang dapat dibentuk ada 231 tim. $ \heartsuit $
Nomor 15
Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 \, $ dan menyinggung garis $ 3x-4y + 7 = 0 \, $ mempunyai persamaan .....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar :
*). Jarak titik ($m,n$) ke garis $ px+qy+c=0 \, $ adalah
Jarak = $ \left| \frac{p.m+q.n+c}{\sqrt{p^2+q^2}} \right| $
*). Persamaan lingkaran $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $ memiliki pusat ($a,b$) dengan $ a = \frac{-A}{2} \, $ dan $ b=\frac{-B}{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan pusat lingkaran
$ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 \, $ dengan $ A = -4, B = 6 $
$ a = \frac{-(-4)}{2} = 2\, $ dan $ b=\frac{-6}{2} = -3$
sehingga pusatnya ($a,b$) = ( 2, -3 )
Karena lingkaran yang akan dicari persamaannya sepusat, maka pusatnya juga sama yaitu ($a,b$) = ( 2, -3 )
$\clubsuit \, $ Menentukan jari-jari lingkaran
spmb_mat_ipa_9_2002.png
jari - jari lingkaran sama dengan jarak pusat lingkaran ke garis $ 3x-4y+7=0 $
$ r $ = jarak = $ \left| \frac{3.2-4.(-3)+7}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right| = \left| \frac{6 + 12 + 7}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{25}{5} \right| = 5 $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan lingkaran
$\begin{align} (x-a)^2+(y-b)^2 & = r^2 \\ (x-2)^2+(y-(-3))^2 & = 5^2 \\ (x-2)^2+(y+3)^2 & = 25 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-2)^2+(y+3)^2 = 25 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar