Pembahasan Soal UMPTN Matematika IPA tahun 2001 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Garis $ g $ menghubungkan titik A(5,0) dan titik B($10 \cos \theta, 10 \sin \theta $). Titik P terletak pada AB sehingga AP:PB = 2:3. Jika $ \theta \, $ berubah dai $ 0 \, $ sampai $ 2\pi $, maka titik P bergerak menelusuri kurva yang berupa .....
$\spadesuit \, $ Gambar
umptn_mat_ipa_2_2001.png
$\spadesuit \, $ Konsep Vektor
$AP:PB=m:n \rightarrow \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik $ P(x,y) $
$\begin{align} AP : PB & = 2:3 \\ P(x,y) & = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{2+3} \\ & = \frac{2(10 \cos \theta, 10 \sin \theta ) + 3(5,0)}{5} \\ & = \frac{(20 \cos \theta, 20 \sin \theta ) + (15,0)}{5} \, \, \text{(bagi 5)} \\ & = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta ) + (3,0) \\ P(x,y) & = (4 \cos \theta + 3, 4 \sin \theta ) \end{align}$
sehingga diperoleh :
$x = 4 \cos \theta + 3 \rightarrow \cos \theta = \frac{x-3}{4} $
$y = 4 \sin \theta \rightarrow \sin \theta = \frac{y}{4} $
$\spadesuit \, $ Konsep identitas trigonometri
$\begin{align} \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta & = 1 \\ \left( \frac{x-3}{4} \right)^2 + \left( \frac{y}{4} \right)^2 & = 1 \\ \frac{x^2-6x+9}{16} + \frac{y^2}{16} & = 1 \, \, \text{(kali 16)} \\ x^2-6x+9 + y^2 & = 16 \\ x^2 + y^2 -6x & = 7 \, \, \text{(berupa lingkaran)} \end{align}$
Jadi, kurvanya adalah $ x^2 + y^2 -6x = 7 . \heartsuit $
Nomor 7
Titik A dan B terletak pada elips $ 16x^2+9y^2+64x-72y+64 = 0 \, $. Jarak terbesar yang mungkin dari A ke B adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar elips
$ \frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1 $
jika $ a > b, \, $ maka jarak terbesar = $ 2a$
jika $ a < b, \, $ maka jarak terbesar = $ 2b$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan bentuk elipsnya
$\begin{align} 16x^2+9y^2+64x-72y+64 & = 0 \\ 16(x^2 + 4x) + 9(y^2-8y) + 64 & = 0 \\ 16(x^2 + 4x + 4 - 4) + 9(y^2-8y+ 16 - 16) + 64 & = 0 \\ 16(x^2 + 4x + 4) - 16 . 4 + 9(y^2-8y+ 16 ) - 9 . 16 + 64 & = 0 \\ 16(x+2)^2 - 64 + 9(y-4)^2 - 144 + 64 & = 0 \\ 16(x+2)^2 + 9(y-4)^2 & = 144 \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-4)^2}{16} & = 1 \\ \frac{(x+2)^2}{3^2} + \frac{(y-4)^2}{4^2} & = 1 \end{align}$
Diperoleh : $ a = 3 , \, $ dan $ \, b = 4 $
Titik A dan B terletak pada elips, sehingga
jarak terjauhnya adalah 2 $ \times b $ = 2 $ \times 4 $ = 8
Jadi, jarak A dan B terjauhnya adalah 8. $ \heartsuit$
Nomor 8
Dari barisan empat buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama sama dengan nol dan kuadrat bilangan pertama sama dengan $ - \frac{2}{3} \, $ kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan yang berdekatan sama selisihnya, maka bilangan keempat adalah .....
$\spadesuit \, $ Dua bilangan berdekatan selisihnya sama, sehingga ini merupakan barisan aritmetika
Misal barisannya : $ a-b, \, a, \, a+b, \, a+2b $
$\spadesuit \, $ Jumlah tiga suku pertama = 0
$\begin{align} u_1 + u_2 + u_3 & = 0 \\ (a-b)+a+(a+b) & = 0 \\ 3a & = 0 \\ a & = 0 \end{align}$
Sehingga barisannya : $ -b, \, 0, \, b, \, 2b $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ b $
$\begin{align} u_1^2 & = -\frac{2}{3} (U_3) \\ (-b)^2 & = -\frac{2}{3} b \\ b^2 + \frac{2}{3}b & = 0 \\ b(b+\frac{2}{3}) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = -\frac{2}{3} \end{align}$
yang memenuhi $ b = -\frac{2}{3} \, $ karena selisihnya tidak sama dengan nol.
Sehingga $ u_4 = 2b = 2 \times (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3} $
Jadi, bilangan keempatnya adalah $ -\frac{4}{3} . \heartsuit$
Nomor 9
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $ a $ . Jarak A ke diagonal BH adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar
umptn_mat_ipa_3_2001.png
Jarak A ke BH adalah jarak A ke M (panjang AM)
AH = diagonal sisi = $ a\sqrt{2} \, $ dan BH = diagonal ruang = $ a\sqrt{3} $
$\clubsuit \, $ Menentukan AM
$\begin{align} Luas \, \Delta ABH \, \text{(alas AB)} \, & = Luas \, \Delta ABH \, \text{(alas BH)} \\ \frac{1}{2}. AB.AH & = \frac{1}{2}.BH.AM \\ a.a\sqrt{2} & = a\sqrt{3}.AM \\ AM & = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ AM & = \frac{1}{3}a\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{1}{3}a\sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 10
Kurva $ y = (x^2+2)^2 \, $ memotong sumbu Y di titik A. Persamaan garis singgung pada kurva tersebut di A adalah .....
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} y & = (x^2+2)^2 \\ y & = (0^2+2)^2 \\ y & = 4 \end{align}$
sehingga titik A(0,4)
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik A(0,4) : $ m = f^\prime (0) $
$\begin{align} y & = (x^2+2)^2 \\ y^\prime & = 2(x^2+2).2x \\ y^\prime & = 4x(x^2+2) \\ m & = f^\prime (0) \\ m & = 4.0.(0^2+2) \\ m & = 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan garis singgung di titik $ (x_1,y_1) = (0,4) \, $ dengan $ m = 0 $
$\begin{align} y - y_1 & = m (x-x_1) \\ y - 4 & = 0. (x-0) \\ y - 4 & = 0 \\ y & = 4 \end{align}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 4. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10

3 komentar:

  1. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Halo mas Darma, saya mau nanya mas untuk konsep vektor nomor 6 bagaimana ya asal rumusnya tsb? Saya taunya cuma konsep perbandingan vektor seperti AP = 2/5 . AB dan PB = 3/5 . AB. Tapi kalau dari soal itu, gak tau juga diapain hehe.

      Hapus
    2. Hallow, den.
      konsep tersebut ada pada materi perbandingan vektor.
      coba aja baca buku tentang vektor yang lengkap, pasti kita akan menemukan teori perbandingan vektor tersebut.

      Hapus