Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 16 sampai nomor 20.

16. Misalkan $ g(x) = 4 - x^2 \, $ dan $ f(g(x)) = \frac{2-x^2}{4x^2} , \, x \neq 0 \, $ maka ....
(1). $ f(\frac{1}{4}) . f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{80} $
(2). $ f(\frac{1}{4}) + f(\frac{1}{2}) = \frac{-47}{210} $
(3). $ f(\frac{1}{4}) - f(\frac{1}{2}) = \frac{-1}{105} $
(4). $ \frac{f(\frac{1}{2})}{f(\frac{1}{4})} = \frac{45}{49} $
Cara I : Kita tidak perlu mencari fungsi $ f(x) $ dulu.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai masing-masing dengan $ g(x) = 4 - x^2 $
*). Untuk $ g(x) = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{1}{2} \\ 4 - x^2 & = \frac{1}{2} \\ x^2 & = 4 - \frac{1}{2} \\ x^2 & = \frac{7}{2} \end{align} $
Bentuk komposisinya : substitusi $ g(x) = \frac{1}{2} \, $ dan $ x^2 = \frac{7}{2} $
$ \begin{align} f(g(x)) & = \frac{2-x^2}{4x^2} \\ f( \frac{1}{2} ) & = \frac{2- \frac{7}{2} }{4 \frac{7}{2} } \\ f( \frac{1}{2} ) & = \frac{- \frac{3}{2} }{ \frac{28}{2} } \\ f( \frac{1}{2} ) & = - \frac{3}{28} \end{align} $
*). Untuk $ g(x) = \frac{1}{4} $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{1}{4} \\ 4 - x^2 & = \frac{1}{4} \\ x^2 & = 4 - \frac{1}{4} \\ x^2 & = \frac{15}{4} \end{align} $
Bentuk komposisinya : substitusi $ g(x) = \frac{1}{4} \, $ dan $ x^2 = \frac{15}{4} $
$ \begin{align} f(g(x)) & = \frac{2-x^2}{4x^2} \\ f( \frac{1}{4} ) & = \frac{2- \frac{15}{4} }{4 \frac{15}{4} } \\ f( \frac{1}{4} ) & = \frac{- \frac{7}{4} }{ \frac{60}{4} } \\ f( \frac{1}{4} ) & = - \frac{7}{60} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Cek masing-masing pernyataan :
(1). $ f(\frac{1}{4}) . f(\frac{1}{2}) = - \frac{7}{60} . - \frac{3}{28} = \frac{1}{80} $
(2). $ f(\frac{1}{4}) + f(\frac{1}{2}) = - \frac{7}{60} + (- \frac{3}{28} ) = - \frac{47}{210} $
(3). $ f(\frac{1}{4}) - f(\frac{1}{2}) = - \frac{7}{60} - (- \frac{3}{28} ) = - \frac{1}{105} $
(4). $ \frac{f(\frac{1}{2})}{f(\frac{1}{4})} = \frac{- \frac{3}{28}}{- \frac{7}{60}} = \frac{45}{49} $
Jadi, semua pernyataan benar, sehingga jawabannya E. $ \heartsuit$

Cara II: Menentukan fungsi $ f(x) $ terlebih dahulu.
$\spadesuit \, $ Misalkan $ y = 4 - x^2 \rightarrow x^2 = 4 - y $
$\spadesuit \, $ Substitusi permisalan di atas ke fungsi komposisinya
$ \begin{align} f(g(x) ) & = \frac{2-x^2}{4x^2} \\ f(4 - x^2 ) & = \frac{2-x^2}{4x^2} \\ f(y ) & = \frac{2-(4-y)}{4(4 - y} \\ f(y ) & = \frac{ y - 2}{ 16 - 4y} \end{align} $
Sehingga fungsi $ f(x) = \frac{ x - 2}{ 16 - 4x} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ f(\frac{1}{2}) \, $ dan $ f(\frac{1}{4}) $
$ \begin{align} f(x ) & = \frac{ x - 2}{ 16 - 4x} \\ f( \frac{1}{2} ) & = \frac{ \frac{1}{2} - 2}{ 16 - 4.\frac{1}{2}} \\ & = \frac{ -\frac{3}{2} }{ 16 - 2} \\ & = \frac{ -\frac{3}{2} }{ 14} \\ & = -\frac{3}{28} \\ f( \frac{1}{4} ) & = \frac{ \frac{1}{4} - 2}{ 16 - 4.\frac{1}{4}} \\ & = \frac{ -\frac{7}{4} }{ 16 - 1} \\ & = \frac{ -\frac{7}{4} }{ 15} \\ & = -\frac{7}{60} \end{align} $
Langkah selanjutnya sama dengan cara I.
Nomor 17
Misalkan $ f(x) = 2x , \, 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \, $ dan $ f(x) = 2 - 2x , \, \frac{1}{2} < x \leq 1 . \, $ $ f^{(2)} (x) = f(f(x)) \, $ dan $ f^{(n+1)} (x) = f^{(n)} (f(x)) \, $ maka pernyataan berikut yang BENAR ....
(1). $ f^{(n)} (0) = 0 $
(2). $ f^{(n)} (1) = 0 , \, n > 1 $
(3). $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = 0 , \, n > 2 $
(4). $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = 0 , \, n > 3 $
$\clubsuit \,$ Fungsi $ f(x) \, $ dibagi dua berdasarkan nilai $ x $.
i). Untuk $ 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \, $, maka fungsi $ f(x) = 2x $
ii). Untuk $ \frac{1}{2} < x \leq 1 \, $, maka fungsi $ f(x) = 2 - 2x $
Sehingga nilai untuk beberapa $ x \, $ yaitu :
untuk $ x = 1 \rightarrow f(x) = 2-2x \rightarrow f(1) = 2 - 2.1 = 2- 2 = 0 $
untuk $ x = 0 \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(0) = 2 .0 = 0 $
untuk $ x = \frac{1}{2} \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(\frac{1}{2}) = 2 .\frac{1}{2} = 1 $
untuk $ x = \frac{1}{4} \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(\frac{1}{4}) = 2 .\frac{1}{4} = \frac{1}{2} $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (0) = ... $
$\begin{align} f(0) & = 2.0 = 0 \\ f^{(2)} (0) & = f(f(0)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (0) & = f(f^{(2)}(0)) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (0) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (1) benar.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (1) = ... $
$\begin{align} f(1) & = 2 - 2.1 = 0 \\ f^{(2)} (1) & = f(f(1)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (1) & = f(f^{(2)}(1)) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (1) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (2) benar untuk $ n > 1 $.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = ... $
$\begin{align} f(\frac{1}{2}) & = 2.\frac{1}{2} = 1 \\ f^{(2)} (\frac{1}{2}) & = f(f(1)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (\frac{1}{2}) & = f(f^{(2)}(\frac{1}{2})) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (3) benar untuk $ n > 2 $.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = ... $
$\begin{align} f(\frac{1}{4}) & = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \\ f^{(2)} (\frac{1}{4}) & = f(f(\frac{1}{4})) = f(\frac{1}{2}) = 1 \\ f^{(3)} (\frac{1}{4}) & = f(f^{(2)}(\frac{1}{4})) = f(1) = 0 \\ f^{(4)} (\frac{1}{4}) & = f(f^{(3)}(\frac{1}{4})) = f(0) = 0 \\ \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (4) benar untuk $ n > 3 $.
Jadi, semua pernyataan benar sehingga jawabannga E. $\heartsuit $
Nomor 18
Misalkan turunan kedua dari $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \, $ di titik (1,2) adalah 0 dan garis singgung di titik (1,2) tegak lurus dengan garis $ 2y-x = 3, \, $ maka pernyataan berikut yang BENAR adalah ....
(1). nilai dari $ 2a^2 + 3b + c = 6 $
(2). $ f(x) \, $ naik pada interval $ \left( 1 - \frac{\sqrt{6}}{6} , 1 + \frac{\sqrt{6}}{6} \right) $
(3). Jumlah semua nilai $ a, \, b \, $ dan $ c \, $ adalah 2.
(4). $ f(x) \, $ turun pada interval $ x < 1 - \frac{\sqrt{6}}{6} \, $ atau $ x > 1 + \frac{\sqrt{6}}{6} $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar gradien garis singgung
Gradien garis singgung di titi ($x_1,y_1$) pada fungsi $ f(x) \, $ adalah $ m = f^\prime (x_1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = ax^3 + bx^2 + cx \\ f^\prime (x) & = 3ax^2 + 2bx + c \\ f^{\prime \prime} (x) & = 6ax + 2b \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (1,2) pada fungsi $ f(x) $
$\begin{align} (x,y) = (1,2) \rightarrow f(x) & = ax^3 + bx^2 + cx \\ 2 & = a.1^3 + b.1^2 + c.1 \\ a + b + c & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Turunan kedua di titik (1,2) adalah 0, artinya substitusi $ x =1 \, $ dan hasilnya 0 ($ f^{\prime \prime} (1) = 0 $)
$\begin{align} f^{\prime \prime} (x) & = 6ax + 2b \\ f^{\prime \prime} (1) & = 0 \\ 6a.1 + 2b & = 0 \\ 3a + b & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Gradien garis $ 2y - x = 3 \rightarrow m_1 = \frac{-x}{y} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ garis singgung tegak lurus dengan garis $ 2y - x = 3 $
$\begin{align} m.m_1 & = -1 \rightarrow m. \frac{1}{2} = -1 \rightarrow m = -2 \end{align}$
Artinya gradien garis singgungnya adalah $ m = - 2 $.
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung di titik (1,2) adalah $ m = f^\prime (1) $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 3ax^2 + 2bx + c \\ m & = f^\prime (1) \\ -2 & = 3a.1^2 + 2b.1 + c \\ 3a + 2b + c & = -2 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} 3a + 2b + c = -2 & \\ a + b + c = 2 & - \\ \hline 2a + b = -4 & \end{array}$
kita peroleh pers(iv) : $ 2a + b = -4 $
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(ii) dan pers(iv)
$\begin{array}{cc} 2a + b = -4 & \\ 3a + b = 0 & - \\ \hline a = 4 & \end{array}$
Dari pers(ii) : $ 3a + b = 0 \rightarrow 3.4 + b = 0 \rightarrow b = -12 $
Dari pers(i) : $ a + b + c = 2 \rightarrow 4 + (-12) + c = 2 \rightarrow c = 10 $
$\spadesuit \, $ Cek semua pernyataan dengan nilai $ a = 4, \, b = -12, \, c = 10 $
*). Pernyataan (1)
$ 2a^2 + 3b + c = 2.4^2 + 3(-12) + 10 = 6 \, $ (benar)
*). Pernyataan (3)
$ a + b + c = 2 \, $ (benar)
$\spadesuit \, $ Fungsi Naik dan fungsi turun
Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 \, $ dengan $ f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx + c $
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 3ax^2 + 2bx + c & > 0 \\ 3.4.x^2 + 2.(-12).x + 10 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 6x^2 -12x + 5 & > 0 \\ 6x^2 -12x + 5 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(Rumus ABC)} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4.6.5}}{2.6} \\ x & = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{12} \\ x & = \frac{12 }{12} \pm \frac{ 2\sqrt{6}}{12} \\ x & = 1 \pm \frac{ \sqrt{6}}{6} \end{align}$
garis bilangannya dengan akar-akar : $ x = 1 - \frac{ \sqrt{6}}{6} \, $ atau $ x = 1 + \frac{ \sqrt{6}}{6} $
simak_ui_matdas_kd1_2_2015.png
*). Fungsi naik saat $ f^\prime (x) > 0 \, $ (daerah positif),
Sehingga fungsi naik pada interval $ 1 - \frac{ \sqrt{6}}{6} < x < 1 + \frac{ \sqrt{6}}{6} $.
Artinya pernyataan (2) benar.
*). Fungsi turun saat $ f^\prime (x) < 0 \, $ (daerah negatif),
Sehingga fungsi turun pada interval $ x < 1 - \frac{ \sqrt{6}}{6} \vee x > 1 + \frac{ \sqrt{6}}{6} $.
Artinya pernyataan (4) benar.
Jadi, semua pernyataan benar sehingga jawabannga E. $\heartsuit $
Nomor 19
Misalkan $ x, \, y \, $ dan $ \, z \, $ memenuhi sistem persamaan berikut :
$ \begin{align} \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} & = 0 \\ \frac{1}{x} - \frac{3}{y} + \frac{1}{z} & = 0 \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = 0 \end{align} $
Pernyataan berikut yang BENAR adalah ....
(1). Selisih nilai $ x $ dan $ y $ adalah $ \frac{1}{6} $
(2). Jumlah nilai-nilai $ x, \, y \, $ dan $ z $ adalah 1.
(3). $ \left| \begin{matrix} x & y & z \\ -x & y & z \\ -x & -y & z \end{matrix} \right| = \frac{2}{15} $
(4). $ \log _x y . \log _y z = \log _3 5 $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar determinan dan logaritma
*). Determinan matriks $ 3 \times 3 $.
simak_ui_matdas_kd1_3_2015.png
*). Sifat logaritma :
i). Penulisan : $ \log _a b = {}^a \log b $.
ii). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $.
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(iii)
$ \begin{array}{cc} \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 & \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} = 0 & + \\ \hline \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 9 & \end{array} $
Kita peroleh pers(iv) : $ \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 9 $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)
$ \begin{array}{cc} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} + \frac{1}{z} = 0 & \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} = 0 & + \\ \hline \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1 & \end{array} $
Kita peroleh pers(v) : $ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1 $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(iv) dan pers(v)
$ \begin{array}{cc} \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 9 & \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1 & + \\ \hline \frac{5}{x} = 10 & \\ x = \frac{1}{2} & \end{array} $
Dari pers(v) : $ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1 \rightarrow \frac{2}{\frac{1}{2} } - \frac{1}{y} = 1 \rightarrow y = \frac{1}{3} $.
Dari pers(i) : $ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \rightarrow \frac{2}{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{z} = 0 \rightarrow z = \frac{1}{5} $.
$\clubsuit \, $ Cek kebenaran setiap pernyataan
*). Pernyataan (1),
$ x - y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \, $ (benar)
*). Pernyataan (2),
$ x + y + z = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} \, $ (salah)
*). Pernyataan (3),
$\begin{align} \left| \begin{matrix} x & y & z \\ -x & y & z \\ -x & -y & z \end{matrix} \right| & = (xyz - xyz + xyz) - (-xyz - xyz - xyz) \\ & = 4xyz \\ & = 4. \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . \frac{1}{5} \\ & = \frac{2}{15} \end{align} $
sehingga pernyataan (3) benar.
*). Pernyataan (4),
$\begin{align} \log _x y . \log _y z & = {}^x \log y . {}^y \log z \\ & = {}^x \log z \\ & = {}^\frac{1}{2} \log \frac{1}{5} \\ & = {}^{2^{-1}} \log 5^{-1} \\ & = \frac{-1}{-1} . {}^2 \log 5 \\ & = {}^2 \log 5 \\ & = \log _2 5 \end{align} $
sehingga pernyataan (4) salah.
Jadi, jawabannya B karena yang benar adalah pernyataan (1) dan (3). $ \heartsuit$
Nomor 20
Jika $ a, b > 0 \, $ , maka pertidaksamaan berikut yang BENAR adalah ....
(1). $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 $
(2). $ 2(a^2 + b^2 ) \geq (a+b)^2 $
(3). $ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $
(4). $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Setiap sebarang bilangan dikuadratkan hasilnya positif
$ x^2 \geq 0 \, $ ....pert(i)
*). Rataan Aritmetika dan Geometri :
$ x + y \geq 2\sqrt{xy} \, $ ....pert(ii)
$\spadesuit \, $ Cek setiap pernyataan
*). Pernyataan (1) :
Misalkan $ x = \frac{a}{b} \, $ dan $ y = \frac{b}{a} $
Dari pert(ii) :
$\begin{align} x + y & \geq 2\sqrt{xy} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2\sqrt{\frac{a}{b}. \frac{b}{a}} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2\sqrt{1} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2 \end{align} $
sehingga pernyataan (1) benar.
*). Pernyataan (2) :
$\begin{align} 2(a^2 + b^2 ) & \geq (a+b)^2 \\ 2a^2 + 2b^2 & \geq a^2 + b^2 + 2ab \\ a^2 + b^2 - 2ab & \geq 0 \\ (a-b)^2 & \geq 0 \end{align} $
Bentuk $ (a-b)^2 \geq 0 \, $ benar berdasarkan pert(i).
sehingga pernyataan (2) benar.
*). Pernyataan (3) :
$\begin{align} \frac{a+b}{2} & \geq \sqrt{ab} \\ a+b & \geq 2\sqrt{ab} \end{align} $
benar berdasarkan pert(ii).
sehingga pernyataan (3) benar.
*). Pernyataan (4) :
$\begin{align} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & \geq \frac{4}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} & \geq \frac{4}{a+b} \\ (a+b)^2 & \geq 4ab \\ a^2 + b^2 + 2ab & \geq 4ab \\ a^2 + b^2 - 2ab & \geq 0 \\ (a-b)^2 & \geq 0 \end{align} $
benar berdasarkan pert(i).
sehingga pernyataan (4) benar.
Jadi, semua pernyataan benar sehingga jawabannga E. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

2 komentar: