Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.
Pada pembahasan kali ini, soal simak ui matematika ipa ka1 tahun 2014 nomor 6 sampai 10, hampir semua soal sangat menantang kecuali untuk nomor 9 karena hanya penerapan turunan pada fungsi perkalian. Serta nomor 8 juga lebih mudah karena penerapan limit pada bentuk tak tentu, hanya saja butuh argumen atau analisa yang lebih mendalam untuk mengarahkan ke bentuk tak tentu tersebut. Pokonya kalai menurut kami, semudah-mudahnya soal simak ui, pasti butuh konsentrasi dan analisa yang lebih untuk bisa mengerjakan soal-soalnya. hehehehe....
Nah utuk ketiga soal lainnya, menurut saya sangat sulit karena melibatkan konsep trigonometri yang dipadukan dengan logaritma dan persamaan seperti pada nomor 6 dan nomor 7. Dan untuk nomor 10, soal ini lebih gila lagi, persamaan tetapi dalam bentuk integral sehingga salah satu cara penyelesaiaanya harus menggunakan permisalan terlebih dahulu, muantap pokoknya dehh... Mohon untuk koreksi jawabannya ya sobat, agar bisa jadi lebih baik. Terima kasih.
Untuk pembahasan lengkap soal simak ui matematika IPA KA1 tahun 2014, langsung saja bisa dilihat berikut ini untuk nomor 6 sampai nomor 10. selamat belajar.
Nomor 6
Banyaknya nilai $x$ dengan $ \, 0 \leq x \leq 2.014\pi \, $ yang memenuhi $\cos ^3x+\cos ^2x-4\cos ^2\left( \frac{x}{2} \right) = 0$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep : $ \cos ^2 px = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2px $
Sehingga : $ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x $
$\spadesuit \, $ Misal : $ p = \cos x $ dengan rentang $ -1 \leq p \leq 1 $
$\begin{align} \cos ^3x+\cos ^2x-4\cos ^2\left( \frac{x}{2} \right) & = 0 \\ \cos ^3x+\cos ^2x-4\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x \right) & = 0 \\ \cos ^3x+\cos ^2x- 2 \cos x - 2 & = 0 \\ p^3 + p^2 - 2p - 2 & = 0 \end{align}$
Horner :
$(p^2-2)(p+1)=0 $
Sehingga:
$p^2-2=0 \rightarrow p = \pm \sqrt{2} \, \, $ (tidak memenuhi)
$p+1 = 0 \rightarrow p = -1 \rightarrow \cos x = -1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyaknya solusi nilai $ x $
Konsep : $\cos f(x) = \cos \theta \Leftrightarrow f(x) = \pm \theta + k.2\pi $
Untuk $ \cos x = -1 \rightarrow \cos x = \cos \pi \, $ sehingga solusinya :
$ x = \pi + k.2\pi = (2k+1)\pi \, $ atau $ \, x = -\pi + k.2\pi = (2k-1)\pi $
Karena $ k $ bilangan bulat, maka $ x = (2k+1)\pi $ dan $ x = (2k-1)\pi $ hasilnya sama yang memenuhi $ 0 \leq x \leq 2.014\pi $ .
Misal yang dipakai $ \, x = (2k-1)\pi $
Syarat $ x $ : $ 0 \leq x \leq 2.014\pi $ , diperoleh :
$\begin{align} 0 \leq & x \leq 2.014\pi \\ 0 \leq & (2k-1)\pi \leq 2.014\pi \, \, \text{(bagi dengan } \, \pi ) \\ 0 \leq & 2k-1 \leq 2014 \, \, \text{(tambahkan 1 ) } \\ 1 \leq & 2k \leq 2015 \, \, \text{(bagi 2 ) } \\ 0,5 \leq & k \leq 1007,5 \end{align}$
Karena $ k $ bulat, maka nilai yang memenuhi adalah $ 1 \leq k \leq 1007 $ sebanyak 2007 bilangan.
$\spadesuit \, $ Alternatif lain :
Nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sin x = -1 \, $ adalah kelipatan dari $ \pi \, $, yaitu $ \sin k\pi = -1 \, $ dengan $ k \, $ bilangan bulat ganjil antara 0 sampai 2014 yaitu sebanyak 2007 bilangan.
Jadi, solusi $ x $ sebanyak $ k $ yaitu ada 1007 solusi. $ \heartsuit $
Sehingga : $ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x $
$\spadesuit \, $ Misal : $ p = \cos x $ dengan rentang $ -1 \leq p \leq 1 $
$\begin{align} \cos ^3x+\cos ^2x-4\cos ^2\left( \frac{x}{2} \right) & = 0 \\ \cos ^3x+\cos ^2x-4\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x \right) & = 0 \\ \cos ^3x+\cos ^2x- 2 \cos x - 2 & = 0 \\ p^3 + p^2 - 2p - 2 & = 0 \end{align}$
Horner :
$(p^2-2)(p+1)=0 $
Sehingga:
$p^2-2=0 \rightarrow p = \pm \sqrt{2} \, \, $ (tidak memenuhi)
$p+1 = 0 \rightarrow p = -1 \rightarrow \cos x = -1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyaknya solusi nilai $ x $
Konsep : $\cos f(x) = \cos \theta \Leftrightarrow f(x) = \pm \theta + k.2\pi $
Untuk $ \cos x = -1 \rightarrow \cos x = \cos \pi \, $ sehingga solusinya :
$ x = \pi + k.2\pi = (2k+1)\pi \, $ atau $ \, x = -\pi + k.2\pi = (2k-1)\pi $
Karena $ k $ bilangan bulat, maka $ x = (2k+1)\pi $ dan $ x = (2k-1)\pi $ hasilnya sama yang memenuhi $ 0 \leq x \leq 2.014\pi $ .
Misal yang dipakai $ \, x = (2k-1)\pi $
Syarat $ x $ : $ 0 \leq x \leq 2.014\pi $ , diperoleh :
$\begin{align} 0 \leq & x \leq 2.014\pi \\ 0 \leq & (2k-1)\pi \leq 2.014\pi \, \, \text{(bagi dengan } \, \pi ) \\ 0 \leq & 2k-1 \leq 2014 \, \, \text{(tambahkan 1 ) } \\ 1 \leq & 2k \leq 2015 \, \, \text{(bagi 2 ) } \\ 0,5 \leq & k \leq 1007,5 \end{align}$
Karena $ k $ bulat, maka nilai yang memenuhi adalah $ 1 \leq k \leq 1007 $ sebanyak 2007 bilangan.
$\spadesuit \, $ Alternatif lain :
Nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sin x = -1 \, $ adalah kelipatan dari $ \pi \, $, yaitu $ \sin k\pi = -1 \, $ dengan $ k \, $ bilangan bulat ganjil antara 0 sampai 2014 yaitu sebanyak 2007 bilangan.
Jadi, solusi $ x $ sebanyak $ k $ yaitu ada 1007 solusi. $ \heartsuit $
Nomor 7
Semua nilai $x$ yang memenuhi ${}^{\sin x} \log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right) =2 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
Logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c \, $ syarat : $ a > 0, a \neq 1, b > 0 $
Trigonometri : $ \sin 2x = 2\sin x . \cos x \, $ dan $ \, \cos x = \sin (90^\circ - x ) $
Persamaan trigonometri :
$ \sin f(x) = \sin \theta \rightarrow f(x) = \theta + k.2\pi \, $ dan $ \, f(x) = (180^\circ - \theta ) + k.2\pi $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \sin x $
$\begin{align} {}^{\sin x} \log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right) & = 2 \\ \frac{1}{2}\sin 2x & = (\sin x ) ^ 2 \\ \frac{1}{2}( 2\sin x . \cos x ) & = (\sin x ) ^ 2 \\ \sin x \cos x & = (\sin x ) ^ 2 \\ (\sin x ) ^ 2 - \sin x \cos x & = 0 \\ \sin x ( \sin x - \cos x ) & = 0 \end{align}$
Diperoleh :
i). $ \sin x = 0 \, $ , karena syarat basis positif, maka $ \sin x = 0 \, $ tidak memenuhi.
ii). $ \sin x - \cos x = 0 \rightarrow \sin x = \cos x \rightarrow \sin x = \sin (90^\circ - x ) $
Solusi dari $ \sin x = \sin (90^\circ - x ) \, $ yaitu :
$\begin{align} *) x & = \theta + k.2\pi \\ x & = (90^\circ - x ) + k.2\pi \\ 2x & = 90^\circ + k.2\pi \\ x & = 45^\circ + k\pi \end{align}$ $\begin{align} **) x & = (180^\circ - \theta ) + k.2\pi \\ x & = (180^\circ - ( 90^\circ - x ) ) + k.2\pi \\ x & = 90^\circ + x + k.2\pi \\ 0 & = 90^\circ + k.2\pi \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ x = 45^\circ + k\pi = \frac{\pi}{4} + k\pi . \heartsuit $
Logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c \, $ syarat : $ a > 0, a \neq 1, b > 0 $
Trigonometri : $ \sin 2x = 2\sin x . \cos x \, $ dan $ \, \cos x = \sin (90^\circ - x ) $
Persamaan trigonometri :
$ \sin f(x) = \sin \theta \rightarrow f(x) = \theta + k.2\pi \, $ dan $ \, f(x) = (180^\circ - \theta ) + k.2\pi $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \sin x $
$\begin{align} {}^{\sin x} \log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right) & = 2 \\ \frac{1}{2}\sin 2x & = (\sin x ) ^ 2 \\ \frac{1}{2}( 2\sin x . \cos x ) & = (\sin x ) ^ 2 \\ \sin x \cos x & = (\sin x ) ^ 2 \\ (\sin x ) ^ 2 - \sin x \cos x & = 0 \\ \sin x ( \sin x - \cos x ) & = 0 \end{align}$
Diperoleh :
i). $ \sin x = 0 \, $ , karena syarat basis positif, maka $ \sin x = 0 \, $ tidak memenuhi.
ii). $ \sin x - \cos x = 0 \rightarrow \sin x = \cos x \rightarrow \sin x = \sin (90^\circ - x ) $
Solusi dari $ \sin x = \sin (90^\circ - x ) \, $ yaitu :
$\begin{align} *) x & = \theta + k.2\pi \\ x & = (90^\circ - x ) + k.2\pi \\ 2x & = 90^\circ + k.2\pi \\ x & = 45^\circ + k\pi \end{align}$ $\begin{align} **) x & = (180^\circ - \theta ) + k.2\pi \\ x & = (180^\circ - ( 90^\circ - x ) ) + k.2\pi \\ x & = 90^\circ + x + k.2\pi \\ 0 & = 90^\circ + k.2\pi \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ x = 45^\circ + k\pi = \frac{\pi}{4} + k\pi . \heartsuit $
Nomor 8
Jika $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{3}Ax^3+\frac{1}{2}Bx^2-3x}{x^3-2x^2-8x+16}=-\frac{3}{10} $, maka nilai $20A+15B=...$
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{3}Ax^3+\frac{1}{2}Bx^2-3x}{x^3-2x^2-8x+16} & = \frac{\frac{1}{3}A.2^3+\frac{1}{2}B.2^2-3.2}{2^3-2.2^2-8.2+16} \\ & = \frac{\frac{8}{3}A + 2B - 6 }{0} \neq \frac{-3}{10} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar limitnya ada (terdefinisi), maka hasil limitnya harus $ \frac{0}{0} \, $ (bentuk tak tentu), sehingga
$\begin{align} \frac{\frac{8}{3}A + 2B - 6 }{0} & = \frac{0}{0} \\ \text{Haruslah } \, \frac{8}{3}A + 2B - 6 & = 0 \\ 8A + 6B & = 18 \, \, \text{(bagi 2)} \\ 4A + 3B & = 9 \, \, \text{(kali 5)} \\ 20A + 15B & = 45 \, \, \text{(sesuai yang ditanyakan)} \end{align}$
Jadi, nilai $ 20A + 15B = 45 . \heartsuit $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{3}Ax^3+\frac{1}{2}Bx^2-3x}{x^3-2x^2-8x+16} & = \frac{\frac{1}{3}A.2^3+\frac{1}{2}B.2^2-3.2}{2^3-2.2^2-8.2+16} \\ & = \frac{\frac{8}{3}A + 2B - 6 }{0} \neq \frac{-3}{10} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar limitnya ada (terdefinisi), maka hasil limitnya harus $ \frac{0}{0} \, $ (bentuk tak tentu), sehingga
$\begin{align} \frac{\frac{8}{3}A + 2B - 6 }{0} & = \frac{0}{0} \\ \text{Haruslah } \, \frac{8}{3}A + 2B - 6 & = 0 \\ 8A + 6B & = 18 \, \, \text{(bagi 2)} \\ 4A + 3B & = 9 \, \, \text{(kali 5)} \\ 20A + 15B & = 45 \, \, \text{(sesuai yang ditanyakan)} \end{align}$
Jadi, nilai $ 20A + 15B = 45 . \heartsuit $
Nomor 9
Misalkan $f(1)=2, f^\prime(1)=-1, g(1)=0 $ dan $g^\prime(1)=1$. Jika $F(x)=f(x) \cos (g(x))$ , maka $F^\prime(1)=...$
$\clubsuit \, $ Kosep turunan : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime $
$ y = \cos (g(x)) \rightarrow y^\prime = - g^\prime (x) .\sin (g(x)) $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align} F(x) & =f(x). \cos (g(x)) \\ U & = f(x) \rightarrow U^\prime = f^\prime (x) \\ V & = \cos (g(x)) \rightarrow V^\prime = - g^\prime (x). \sin (g(x)) \\ F^\prime (x) & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ F^\prime (x) & = f^\prime (x).\cos (g(x)) + f(x).[- g^\prime (x) .\sin (g(x))] \\ F^\prime (x) & = f^\prime (x).\cos (g(x)) - f(x).g^\prime (x). \sin (g(x)) \\ x = 1 \rightarrow F^\prime (1) & = f^\prime (1).\cos (g(1)) - f(1).g^\prime (1). \sin (g(1)) \\ F^\prime (1) & = -1.\cos (0) - 2.1. \sin (0) \\ F^\prime (1) & = -1.1 - 2.1. 0 \\ F^\prime (1) & = -1 - 0 = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ F^\prime (1) = -1 . \heartsuit $
$ y = \cos (g(x)) \rightarrow y^\prime = - g^\prime (x) .\sin (g(x)) $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align} F(x) & =f(x). \cos (g(x)) \\ U & = f(x) \rightarrow U^\prime = f^\prime (x) \\ V & = \cos (g(x)) \rightarrow V^\prime = - g^\prime (x). \sin (g(x)) \\ F^\prime (x) & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ F^\prime (x) & = f^\prime (x).\cos (g(x)) + f(x).[- g^\prime (x) .\sin (g(x))] \\ F^\prime (x) & = f^\prime (x).\cos (g(x)) - f(x).g^\prime (x). \sin (g(x)) \\ x = 1 \rightarrow F^\prime (1) & = f^\prime (1).\cos (g(1)) - f(1).g^\prime (1). \sin (g(1)) \\ F^\prime (1) & = -1.\cos (0) - 2.1. \sin (0) \\ F^\prime (1) & = -1.1 - 2.1. 0 \\ F^\prime (1) & = -1 - 0 = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ F^\prime (1) = -1 . \heartsuit $
Nomor 10
Diberikan fungsi $f$ dan $g$ yang memenuhi sistem
$\left\{ \begin{array}{c} \int \limits_0^1 f(x)dx+\left( \int \limits_0^2 g(x)dx \right)^2=3 \\ f(x)=3x^2+4x+\int \limits_0^2 g(x)dx \end{array} \right. $
dengan $\int \limits_0^2 g(x)dx \neq 0$. Nilai $f(1)=...$
$\left\{ \begin{array}{c} \int \limits_0^1 f(x)dx+\left( \int \limits_0^2 g(x)dx \right)^2=3 \\ f(x)=3x^2+4x+\int \limits_0^2 g(x)dx \end{array} \right. $
dengan $\int \limits_0^2 g(x)dx \neq 0$. Nilai $f(1)=...$
$\spadesuit \, $ Misalkan : $ a = \int \limits_0^1 f(x)dx \, $ dan $ \, b = \int \limits_0^2 g(x)dx $
Sistem persamaan menjadi :
$\left\{ \begin{array}{c} a+b^2=3 \\ f(x)=3x^2+4x+b \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Integralkan persamaan (ii)
$\begin{align} \int \limits_0^1 f(x)dx & = \int \limits_0^1 (3x^2+4x+b) dx \\ a & = (x^3+2x^2+bx)_0^1 \\ a & = b + 3 \end{align}$
Sistem persamaan baru menjadi :
$\left\{ \begin{array}{c} a+b^2=3 \\ a = b + 3 \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$ a+b^2=3 \rightarrow (b + 3)+b^2=3 $
$ \rightarrow b(b+1) = 0 \rightarrow b =0 \vee b = -1 $
Karena $ \int \limits_0^2 g(x)dx \neq 0 \, $ atau $ \, b \neq 0 \, $ maka nilai yang memenuhi adalah $ \, b =-1 $
Pers(ii) : $ f(x)=3x^2+4x+b \rightarrow f(x)=3x^2+4x-1 $
sehingga : $ f(1)=3.1^2+4.1-1 = 3 + 4 -1 = 6 $
Jadi, nilai $ f(1) = 6. \heartsuit $
Sistem persamaan menjadi :
$\left\{ \begin{array}{c} a+b^2=3 \\ f(x)=3x^2+4x+b \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Integralkan persamaan (ii)
$\begin{align} \int \limits_0^1 f(x)dx & = \int \limits_0^1 (3x^2+4x+b) dx \\ a & = (x^3+2x^2+bx)_0^1 \\ a & = b + 3 \end{align}$
Sistem persamaan baru menjadi :
$\left\{ \begin{array}{c} a+b^2=3 \\ a = b + 3 \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$ a+b^2=3 \rightarrow (b + 3)+b^2=3 $
$ \rightarrow b(b+1) = 0 \rightarrow b =0 \vee b = -1 $
Karena $ \int \limits_0^2 g(x)dx \neq 0 \, $ atau $ \, b \neq 0 \, $ maka nilai yang memenuhi adalah $ \, b =-1 $
Pers(ii) : $ f(x)=3x^2+4x+b \rightarrow f(x)=3x^2+4x-1 $
sehingga : $ f(1)=3.1^2+4.1-1 = 3 + 4 -1 = 6 $
Jadi, nilai $ f(1) = 6. \heartsuit $
Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
