Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 654 tahun 2014 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $cosx=2sinx$ , maka nilai $sinxcosx$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $tanx$ dengan $tanx=\frac{sinx}{cosx}$ :
$cosx=2sinx \Leftrightarrow \frac{sinx}{cosx}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow tanx=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Buat segitiga dari nilai $tanx=\frac{1}{2}$ :
sbmptn_matdas_2_2014.png
sehingga $sinxcosx=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai $ sinxcosx=\frac{2}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 12
Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku barisan itu adalah ...
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika :
$u_n=a+(n-1)b$ dan suku tengah $u_t=\frac{a+u_n}{2}$
$\clubsuit \, $ Diketahui $u_3=13,u_t=23, u_n=43$
$u_t=\frac{a+u_n}{2} \Rightarrow 23=\frac{a+43}{2} \Rightarrow a=3$
$u_3=a+2b \Rightarrow 13=3+2b \Rightarrow b=5$
$u_n=a+(n-1)b \Rightarrow 43=3+(n-1).5 \Rightarrow n=9$
Jadi, banyaknya suku ada 9 suku.$ \heartsuit $
Nomor 13
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Kendala: $x+2y \leq 20 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 20 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $

Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Nomor 14
Jika $2a+1<0$ dan grafik $y=x^2-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^2+2x$, maka $a^2+1=...$
$\clubsuit \,$ Syarat nilai $a$ : $ 2a+1<0 \Rightarrow a < - \frac{1}{2} $
$\clubsuit \, $ Grafik bersinggungan, syaratnya : $D=0$
$\begin{align*} y_1&=y_2 \\ 2x^2+2x&=x^2-4ax+a \\ x^2+2(2a+1)x-a&=0 \\ D=0 \Leftrightarrow b^2-4ac&=0 \\ [2(2a+1)]^2-4.1.(-a)&=0 \\ 4(4a^2+4a+1)+4a&=0 \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4a^2+5a+1&=0 \\ (4a+1)(a+1)&=0 \\ a=-\frac{1}{4} \, & \text{atau} \, a=-1 \end{align*} $
$\clubsuit \, $ karena syarat $ a < - \frac{1}{2} $ , maka yang memenuhi adalah nilai $a=-1$
sehingga $a^2+1=(-1)^2+1=2$
Jadi, nilai $a^2+1=2 \, \heartsuit $
Nomor 15
Agar sistem persamaan linear $\left\{ \begin{array}{c} ax+by-3z=-3 \\ -2x-by+cz=-1 \\ ax+3y-cz=-3 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian $x=1, \, y=-1$, dan $z=2$, maka nilai $a+b+c$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $x=1,y=-1,z=2$ ke SPL :
$a-b-6=-3 \Rightarrow a-b=3 \, \, \text{...pers(i)} $
$-2+b+2c=-1 \Rightarrow b+2c=1 \, \, \text{...pers(ii)} $
$a-3-2c=-3 \Rightarrow a-2c=0 \, \, \text{...pers(iii)} $
$\spadesuit \, $ Jumlahkan pers(i) , pers(ii) dan pers(iii) , diperoleh $2a=4 \Rightarrow a=2$
$\spadesuit \, $ Substitusi $a=2$ ke pers(i) dan pers(iii), diperoleh $b=-1, c=1$
sehingga $a+b+c=2+(-1)+1=2$
Jadi, nilai $a+b+c=2. \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

2 komentar:

  1. Balasan
    1. Hallow @Yoga,

      Silahkan di save untuk dibaca secara offline ya.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa ini.

      Semoga terus bisa membantu.

      Hapus