Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 326 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks $AB$ adalah 0, maka nilai $3a^2-20a$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $3a^2 - 20a$ :
$\begin{align*} \text{Det}(AB) & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right| & = 0 \\ (3a+3)(a+7)-11(4a+1) & = 0 \\ (3a^2+24a+21) - (44a+11) & = 0 \\ 3a^2-20a+10 & = 0 \\ 3a^2 - 20a & = -10 \end{align*} $
Jadi, nilai $ 3a^2 - 20a = -10. \, \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a+b+c=b^2-4$ , maka nilai $b$ adalah ...
$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a+b+c=b^2-4 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a+b+c &=b^2-4 \\ (a+c)+b &=b^2-4 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b + b &= b^2-4 \\ b^2-3b-4 & = 0 \\ (b-4)(b+1) & = 0 \\ b=4 \, & \vee \, b=-1 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=4$ .
Jadi, nilai $b=4. \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_2+u_4+u_6...=4$ , dan $u_2+u_4=3$ , maka nilai $r^2$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : $S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} $
Suku ke-n : $U_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4+u_6...=4$
$\begin{align*} u_2+u_4+u_6... & = 4 \\ S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\ \frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\ ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4=3$
$\begin{align*} u_2+u_4 & = 3 \\ ar + ar^3 & = 3 \\ ar(1+r^2) & = 3 \\ ar & = \frac{3}{1+r^2} \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{3}{1+r^2} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\ 3 & = 4 (1-r^2)(1+r^2) \\ 3 & = 4 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\ 3 & = 4 - 4(r^2)^2 \\ 4(r^2)^2 & = 4 - 3 \\ 4(r^2)^2 & = 1 \\ (r^2)^2 & = \frac{1}{4} \\ r^2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r^2 = \pm \frac{1}{2} \end{align*}$
$r^2 = -\frac{1}{2} \, $ (tidak memenuhi karena bentuk kuadrat selalu positif).
$r^2 = \frac{1}{2} \, $ (memenuhi).
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $y=x^2-(2k+1)x+3k $ memotong sumbu-Y di (0,$c$) dan memotong sumbu-X di ($a$,0) dan ($b$,0). Jika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai $k$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0,c) ke parabola : $y=x^2-(2k+1)x+3k $
$y=x^2-(2k+1)x+3k \Rightarrow c=0^2-(2k+1).0+3k \Rightarrow c = 3k. $
$\clubsuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari $x^2-(2k+1)x+3k = 0 \, $ , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :
$a+b = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(2k+1))}{1} \Leftrightarrow a+b = 2k + 1 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ , selisihnya sama :
$\begin{align*} (2c-4) - 3a & = (3b+1) - (2c-4) \\ (2c-4) + (2c-4) & = (3b+1) + 3a \\ 4c-8 & = 3(a+b) + 1 \, \, \text{(gunakan pers(i) dan } \, c = 3k ) \\ 4(3k)-8 & = 3 (2k+1) + 1 \\ 12k - 8 & = 6k + 3 + 1 \\ 6k & = 4 + 8 \\ k & = \frac{12}{6} = 2 \end{align*} $
Jadi, nilai $k=2 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 2, 2, 6, 8. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode lebih besar daripada 62000 sebanyak ...
$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 2, 2, 6, 8
kode lebih besar daripada 62000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :
sbmptn_matdas_k326_4_2013.png
Total cara = 6 + 3 + 12 = 21 cara.
$\spadesuit \, $ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 6 dan ribuannya angka 2 dan sisanya (Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 1, 2, 8 yaitu permutasinya sebanyak 3! = 6 susunan.
contohnya : 62128, 62182, 62218, 62281, 62812, dan 62821.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 21 kupon yang lebih besar dari 62000. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar