Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 436 tahun 2013


Nomor 1
Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis $3x-4y+12=0 \, $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k436_1_2013.png
Jari-jari ($r$) lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgungnya.
$r$ = Jarak = $\left| \frac{ 3(-1)-4(1)+12 }{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right| = \left| \frac{ 5 }{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{ 5 }{5} \right|= 1$
$\clubsuit \, $ Persamaan lingkaran dengan pusat ($a,b$) = (-1,1) dan jari-jari $r=1$ :
$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2+(y-1)^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2+(y-1)^2 & = 1 \\ x^2+2x+1+y^2-2y+1 & = 1 \\ x^2+y^2+2x-2y+1 & = 0 \end{align*}$
Jadi, Persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2+2x-2y+1 = 0.\heartsuit $
Nomor 2
$\cot 105^o \tan 15^o = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus Dasar :
$\tan (x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1+\tan x \tan y}$ dan $\cot (90^o+x) = -\tan x $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\tan 15^o$
$\begin{align} \tan 15^o & = \tan (45^o - 30^o) \\ & = \frac{\tan 45^o - \tan 30^o}{1+\tan 45^o \tan 30^o} \\ & = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1. \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ & = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \\ & = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} . \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}\\ & = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1 }{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3} }{2} = 2 - \sqrt{3} \end{align}$
$\spadesuit \, \cot 105^o = \cot (90^o + 15^o) = -\tan 15^o$
Sehingga :
$\begin{align} \cot 105^o \tan 15^o & = -\tan 15^o \tan 15^o \\ & = -(\tan 15^o)^2 \\ & = -(2 - \sqrt{3})^2 \\ & = -(4 - 4\sqrt{3} + 3) \\ & = -(7 - 4\sqrt{3} ) = -7 + 4\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai $\cot 105^o \tan 15^o = -7 + 4\sqrt{3} . \, \heartsuit $
Nomor 3
Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah ...
$\clubsuit \, $ 3L 3P duduk berjajar, banyak susunan yang mungkin adalah 6!, sehingga $n(S)=6!$ .
$\clubsuit \, $ Menghitung ($n(A)$), dengan 3P harus berdampingan.
$\spadesuit \, $ Agar 3P selalu berdampinga, kita blok 3 tempat untuk 3P dan dianggap satu orang, sehingga sekarang ada empat orang dengan 3L dan satu orang (3P diblok), banyak cara = 4!.
$\spadesuit \, $ Dari 3P yang diblok tadi, bisa disusun ulang sebanyak 3! cara.
sehingga $n(A)=4!.3!$
$\clubsuit \, $ Menghitung peluang :
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4!.3!}{6!} = \frac{4.3.2.1.3.2.1}{6.5.4.3.2.1} = \frac{1}{5} $
Jadi, Peluang 3P berdampingan adalah $\frac{1}{5} . \heartsuit $
Nomor 4
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right)\sin \left( \frac{A-B}{2} \right) $ dan $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk : $\cos x - \cos 3x $
$\begin{align} \cos x - \cos 3x & = -2 \sin \left( \frac{x+3x}{2} \right)\sin \left( \frac{x-3x}{2} \right) \\ & = -2 \sin \left( \frac{4x}{2} \right)\sin \left( \frac{-2x}{2} \right) \\ & = -2 \sin 2x \sin (-x) \\ & = -2 \sin 2x (-\sin x ) \\ & = 2 \sin 2x \sin x \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai limitnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{2 \sin 2x \sin x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} . \frac{x}{\sin x} . \frac{\sqrt{4-x}}{2} \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{\sqrt{4-0}}{2} \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{2}{2} \\ & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 5
Jika $x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$ , maka $a=...$
$x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6=f(x)(x-1)$ ...pers(i)
$\clubsuit \, f(x) \, $ habis dibagi $x-1$ , berdasarkan teorema sisa maka $f(1)=0$ .
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers(i)
$\begin{align} x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6 & = f(x)(x-1) \\ 1^4+a.1^3+(b-10).1^2+15.1-6 & = f(1)(1-1) \\ 1+a+b-10+15-6 & = 0 . 0 \\ a+ b & = 0 \Rightarrow b=-a \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Pers(i) diturunkan, diperoleh :
$4x^3+3ax^2+2(b-10)x+15 = f^\prime (x) . (x-1) + f(x) $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers(iii) dan gunakan pers(ii)
$\begin{align} 4x^3+3ax^2+2(b-10)x+15 & = f^\prime (x) . (x-1) + f(x) \\ 4.1^3+3a.1^2+2(b-10).1+15 & = f^\prime (1) . (1-1) + f(1) \\ 4+3a+2(b-19)+15 & = f^\prime (1) . 0 + 0 \\ 3a+2b - 1 & = 0 \, \, \text{gunakan pers(ii)} \\ 3a+2(-a)-1 & = 0 \\ a& = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

3 komentar:

  1. pak @putudarmayasa saya mau tanya kenapa nomor 5 persamaannya diturunkan ya?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Fathur,

      Terima kasih untuk pertanyaannya.

      Sebenarnya ada cara lain yaitu pembagian untuk mendapatkan persamaan kedua.
      Namun, dengan melihat bentuk
      $f (x)(x-1) $, maka dengan menurunkan kedua ruas ternyata akan lebih mudah.

      Seperti itu alasannya.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa ini.

      Semoga terus bisa bermanfaat.

      Hapus
    2. cara lainnya gimana ya pak?

      Hapus