Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 283 tahun 2009 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui matriks-matriks berikut $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right], \, B = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right], \, C= \left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right]$
Serta $B^T $ dan $C^{-1} $ berturut-turut menyatakan transpose matriks $B $ dan invers matriks $C$ . Jika det$(AB^T)$ = $k$ det$(C^{-1})$ , dengan det$(A)$ menyatakan determinan matriks $A$ , maka nilai $k$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Sifat determinan : $|C^{-1}| = \frac{1}{|C|} $
$B^T = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] $
$A.B^T = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right] $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$
$\begin{align*} |AB^T| & = k.|C^{-1}| \\ \left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right| & = k. \frac{1}{|C|} \\ k & = |AB^T| . |C| \\ k & = \left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right| . \left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ k & = (2 \times 0 - (-2) \times 1 ) . (2 \times 3 - 1 \times 2) \\ k & = (0 + 2 ) . ( 6 - 2) = 2 \times 4 = 8 \end{align*}$
Jadi, nilai $k=8 . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui bilangan $a \geq b $ yang memenuhi persamaan $a^2+b^2 = 31 $ dan $ab = 3$ . Nilai $a-b $ adalah ...
$\begin{align} (a-b)^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \\ a-b & = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab} \\ & = \sqrt{31 - 2.3} \\ & = \sqrt{31 - 6} \\ & = \sqrt{25} \\ a-b & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $a-b= 5. \heartsuit$
Nomor 8
Kelas XIIA terdiri dari 10 murid laki-laki dan 20 murid perempuan. Setengah dari jumlah murid laki-laki dan setengah dari jumlah murid perempuan berambut keriting. Apabila seorang murid dipilih secara acak untuk mengerjakan soal, maka peluang bahwa murid yang terpilih itu laki-laki atau berambut keriting adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 10L dan 20P , sehingga $n(S) = 10 + 20 = 30 $
$\spadesuit \, $ Setengah berambut keriting :
Laki-laki keriting $L_k = 5$ orang dan perempuan keriting $P_k = 10$ orang
Total keriting , $K= 5 + 10 = 15$ orang
Laki-laki sekaligus keriting , $L\cap K = 5$ orang
$\spadesuit \, $ Harapannya : laki-laki atau keriting ($L\cup K$)
$\begin{align*} n(L\cup K ) & = n(L) + n(K) - n(L\cap K) \\ & = 10 + 15 - 5 \\ & = 20 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang :
$\begin{align*} P(L\cup K ) & = \frac{n(L\cup K)}{n(S)} \\ & = \frac{20}{30} \end{align*}$
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{20}{30}. \heartsuit$
Nomor 9
Rata-rata sekelompok bilangan adalah 40. Ada bilangan yang sebenarnya adalah 60, tetapi terbaca 30. Setelah dihitung kembali, ternyata rata-rata yang benar adalah 41. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah ...
$\clubsuit \, $ Permisalan :
Banyak bilangan ada $n$ bilangan dan total jumlah ($n-1$) bilangan ($x_1+x_2+...+x_{(n-1)} = A $ ) adalah $A$
penyelesaian dibagi menjadi dua kasus :
$\clubsuit \, $ Kasus salah
nilai salah = 30 dan rata-rata salah = 40 .
$\overline{x} = \frac{\text{Jumlah total nilai}}{\text{banyak bilangan}} \rightarrow 40 = \frac{A+30}{n} \rightarrow 40n=A+30$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Kasus benar
nilai benar = 60 dan rata-rata benar = 41 .
$\overline{x} = \frac{\text{Jumlah total nilai}}{\text{banyak bilangan}} \rightarrow 41 = \frac{A+60}{n} \rightarrow 41n=A+60$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 41n=A+60 & \\ 40n=A+30 & - \\ \hline n = 30 & \end{array}$
Jadi, banyak bilangan ada 30 bilangan. $\heartsuit $

Cara II
$\clubsuit \, $ Untuk kasus seperti ini, berlaku rumus :
$n=\frac{x_b-x_s}{\overline{x_b}-\overline{x_s}} \, $ atau $ \, n=\frac{x_s-x_b}{\overline{x_s}-\overline{x_b}} $
Jika hasilnya negatif, beri tanda mutlak agar hasilnya selalu positif.
Keterangan :
$n \rightarrow $ banyak bilangan atau orang (data)
$\overline{x_b} \rightarrow $ rata-rata benar
$\overline{x_s} \rightarrow $ rata-rata salah
$x_b \rightarrow $ nilai benar
$x_s \rightarrow $ nilai salah
$\clubsuit \, $ Menentukan banyak bilangan
$n=\frac{x_b-x_s}{\overline{x_b}-\overline{x_s}} = \frac{60-30}{41-40} = \frac{30}{1}=30$
Jadi, banyak bilangan ada 30 bilangan. $\heartsuit $
Nomor 10
Jika $x$ adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai $x$ yang memenuhi agar pernyataan "Jika $x^2-2x-3=0 , $ maka $x^2-x < 5 $ " bernilai SALAH adalah ...
$\spadesuit \, $ Bentuk implikasi $P_1 \Rightarrow P_2 $ akan bernilai SALAH jika memenuhi $B \Rightarrow S $ .
Artinya : $P_1$ harus Benar dan $P_2$ harus Salah.
$\spadesuit \, $ Cek kebenaran $P_1 : x^2-2x-3=0 $
$\begin{align} x^2-2x-3 & =0 \\ (x+1)(x-3) & = 0 \\ x=-1 \, & \vee \, x =3 \end{align}$
$P_1$ Benar untuk $x=-1 \, \vee \, x =3 $
$\spadesuit \, $ Cek kebenaran $P_2 : x^2-x < 5 \, $ dengan substitusi nilai $\, x=-1 \, \vee \, x =3 $
$\begin{align} x=-1 \rightarrow (-1)^2-(-1) & < 5 \\ 2 & < 5 \, \, \text{(Benar)} \\ x=3 \rightarrow (3)^2-(3) & < 5 \\ 6 & < 5 \, \, \text{(Salah)} \end{align}$
$P_2$ Salah untuk $x=3$
Jadi, pernyataan di atas salah saat $x=3. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar