Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \, \, $ dan $B = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \, \, $ , maka $(A+B)(A-B)-(A-B)(A+B) \, \, $ adalah matriks ....
$\spadesuit \, $ Menentukan operasi matriks
$A + B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$A - B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & (A+B)(A-B)-(A-B)(A+B) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) = 4\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilainya adalah $ 4\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right). \heartsuit $
Nomor 12
Nilai rata-rata suatu ulangan adalah 5,9. Empat anak dari kelas lain mempunyai nilai rata-rata 7. Jika nilai rata-rata mereka setelah digabung menjadi 6, maka banyaknya anak sebelum digabung dengan empat anak tadi adalah ....
$\clubsuit \, $ Misalkan banyak orang pada kelas yang rata-ratanya 5,9 sebanyak $n$
Kelas dibagi menjadi dua kelompok :
Kelompok I : $n_1= n \, $ dan $\overline{x}_1=5,9 $
Kelompok II : $n_2= 4 \, $ dan $\overline{x}_2=7 $
Rata-rata gabungannya : $\overline{x}_{gb} = 6 $
$\clubsuit \, $ Menentukan $n \, $ dengan rata-rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2}{n_1+n_2} \\ 6 & = \frac{n.(5,9)+4.7}{n+4} \\ 6n+24 & = 5,9n + 28 \\ 0,1n & = 4 \\ n & = \frac{4}{0,1} = 40 \end{align}$
Jadi, banyaknya anak sebelum digabung adalah 40 orang. $ \heartsuit $
Nomor 13
Nilai rata-rata ulangan kelas A adalah $\overline{X}_A \, \, $ dan kelas B adalah $\overline{X}_B $ . Setelah kedua kelas digabung, nilai rata-ratanya adalah $\overline{X} $ . Jika $\overline{X}_A : \overline{X}_B = 10 : 9 \, \, $ dan $\overline{X} : \overline{X}_B = 85:81 \, \, $ maka perbandingan banyaknya siswa dikelas A dan B adalah ....
$\spadesuit \, $ Mengubah persamaan
$\frac{\overline{x}_A}{\overline{x}_B} = \frac{10}{9} \rightarrow \overline{x}_A = \frac{10}{9}\overline{x}_B $
$\frac{\overline{x}}{\overline{x}_B} = \frac{85}{81} \rightarrow \overline{x} = \frac{85}{81}\overline{x}_B = \overline{x}_{gb} $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan dengan rata-rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A+n_B.\overline{x}_B}{n_A+n_B} \\ \frac{85}{81}\overline{x}_B & = \frac{n_A. \frac{10}{9}\overline{x}_B +n_B.\overline{x}_B}{n_A+n_B} \, \, \, \text{(coret } \, \overline{x}_B ) \\ \frac{85}{81} & = \frac{n_A. \frac{10}{9} +n_B}{n_A+n_B} \\ \frac{85}{81}n_A + \frac{85}{81}n_B & = \frac{10}{9}n_A + n_B \\ \frac{85}{81}n_B - n_B & = \frac{10}{9}n_A - \frac{85}{81}n_A \\ \frac{4}{81}n_B & = \frac{5}{81}n_A \, \, \, \text{(coret 81)} \\ 4n_B & = 5n_A \\ \frac{n_A}{n_B} & = \frac{4}{5} \end{align}$
Jadi, perbandingan siswa kelas A dan Kelas B adalah 4 : 5. $ \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $y=kx^2-\frac{4}{9}x+1 \, \, $ memotong sumbu Y di titik (0, $p$ ), serta memotong sumbu X di titik ($q$ , 0) dan ($r$ , 0). Jika $p, \, q, \, \, $ dan $r \, \, $ membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13, maka $k = ....$
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0, $p$ ) ke fungsi parabola
$y=kx^2-\frac{4}{9}x+1 \rightarrow p=k.0^2-\frac{4}{9}.0+1 \rightarrow p =1 $
$\clubsuit \,$ Parabola memotong titik ($q$ , 0) dan ($r$ , 0) artinya $q\, $ dan $r \, $ adalah akar-akar dari persamaan $ kx^2-\frac{4}{9}x+1 = 0 $
Sehingga : $q.r = \frac{c}{a} \rightarrow q.r = \frac{1}{k} \rightarrow k = \frac{1}{q.r} \, \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan geometri : $p,q,r \, \, $ atau $\, 1, q,r $
Rasio sama : $\frac{q}{1} = \frac{r}{q} \rightarrow r = q^2 \, \, $ ...pers(ii)
Jumlahnya : $1+q+r=13 \rightarrow q+r = 12 \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(ii) ke pers(iii)
$\begin{align} q+r & = 12 \\ q+q^2 & = 12 \\ q^2+q-12 & = 0 \\ (q-3)(q+4) & = 0 \\ q=3 \rightarrow r & =q^2 = 3^2 = 9 \\ k & = \frac{1}{q.r} = \frac{1}{3.9} = \frac{1}{27} \\ q=-4 \rightarrow r & =q^2 = (-4)^2 = 16 \\ k & = \frac{1}{q.r} = \frac{1}{(-4).16} = -\frac{1}{64} \end{align}$
Jadi, nilai $k \, $ yang memenuhi adalah $\frac{1}{27} \, $ atau $ \, -\frac{1}{64}. \heartsuit $
Nomor 15
Garis $g \, $ melalui titik (4,3) memotong sumbu X positif di A dan sumbu Y positif di B. Agar luas $\Delta$AOB minimum, maka panjang ruas garis AB adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_2_2005.png
Persamaan garis AB : $tx+ay=at $
Substitusi titik (4,3) ke persamaan garis, diperoleh:
$tx+ay=at \rightarrow 4t+3a=at \rightarrow at-3a = 4t $
$ a(t-3) = 4t \rightarrow a=\frac{4t}{t-3} $
$\spadesuit \, $ Luas segitiga AOB
$L_\Delta = \frac{1}{2}a.t = \frac{1}{2}\frac{4t}{t-3}.t \rightarrow L_\Delta = 2\frac{t^2}{t-3} $
$L^\prime = 2.\frac{2t(t-3)-t^2}{(t-3)^2} = 2.\frac{t^2-6t}{(t-3)^2} $
$\spadesuit \, $ Luas segitiga minimum : $ L^\prime = 0 \, \, $ (turunannya)
$\begin{align} L^\prime & = 0 \\ 2.\frac{t^2-6t}{(t-3)^2} & = 0 \\ t^2-6t & = 0 \\ t(t-6) & = 0 \\ t = 0 & \vee t=6 \end{align}$
Yang memenuhi $t=6$
Sehinnga : $a=\frac{4t}{t-3} = \frac{4.6}{6-3} = 8 $
Panjang AB : $|AB| = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10 $
Jadi, panajang AB adalah 10. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_2a_2005.png
$\spadesuit \, $ Agar luas segitiga minimum, haruslah :
$a = 2\times p \, \, $ dan $ t= 2 \times l $
Sehingga : $a = 2\times 4 = 8 \, \, $ dan $t= 2\times 3 = 6 $
Panjang AB : $|AB| = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10 $
Jadi, panajang AB adalah 10. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar