Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $f(n) = 2^{n+2}6^{n-4} \, \, $ dan $g(n) = 12^{n-1} \, \, $ , $n \, $ bilangan asli, maka $\frac{f(n)}{g(n)} = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen (perpangkatan)
$a^{m+n} = a^m.a^m , \, \, \, a^n.b^n = (a.b)^n , \, \, \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$\spadesuit \, $ Mederhanakan pecahannya
$\begin{align} \frac{f(n)}{g(n)} & = \frac{2^{n+2}6^{n-4}}{12^{n-1}} \\ & = \frac{2^n.2^2.6^n.6^{-4}}{12^n.12^{-1}} \\ & = \frac{(2.6)^n.4.\frac{1}{6^{4}}}{12^n.\frac{1}{12^{1}}} = \frac{12^n. \frac{4}{6^4}}{12^n.\frac{1}{12}} = \frac{4}{6^4} . 12 \\ \frac{f(n)}{g(n)} & = \frac{1}{27} \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{1}{27} .\heartsuit $
Nomor 17
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $ \frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} = 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat eksponen (perpangkatan)
$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}, \, \, \, (a^n)^m = a^{a.m}, \, \, \, a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} & = 1 \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ \sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (0,008)^{\frac{7-2x}{3}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (([0,2]^3)^{\frac{7-2x}{3}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (0,2)^{7-2x} & = (0,2)^{-4x+5} \\ 7-2x & = -4x+5 \\ 2x & = -2 \rightarrow x =-1 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -1. \heartsuit $
Nomor 18
Garis $x+y=4 \, $ memotong parabola $y=4x-x^2 \, $ di titik A dan B. Panjang ruas AB adalah ....
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x+ (4x-x^2) & =4 \\ x+ (4x-x^2) & =4 \\ x^2-5x+4 & = 0 \\ (x-1)(x-4) & = 0 \\ x=1 \vee x=4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $x\, $ ke garis
$x=1 \rightarrow x+y=4 \rightarrow 1 + y = 4 \rightarrow y=3 $
sehingga titik A(1,3)
$x=4 \rightarrow x+y=4 \rightarrow 4 + y = 4 \rightarrow y=0 $
sehingga titik B(4,0)
$\spadesuit \, $ Jarak AB :
$|AB| = \sqrt{(4-1)^2+(0-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
Jadi, Panjang ruas AB adalah $ 3\sqrt{2}. \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x+ (4x-x^2) & =4 \\ x+ (4x-x^2) & =4 \\ x^2-5x+4 & = 0 \end{align}$
$D=b^2-4ac = (-5)^2-4.1.4 = 9 \, \, \, $ dan nilai $ a =1 $
Garis : $ x + y = 4 \rightarrow y=-x+4 \, \, $ gradiennya $m = -1 $
$\spadesuit \, $ Jarak perpotongan kedua titik : $|AB| = \left| \frac{m}{a} \sqrt{2D} \right| $
sehingga : jarak $|AB| = \left| \frac{-1}{1} \sqrt{2.9} \right| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
Jadi, Panjang ruas AB adalah $ 3\sqrt{2}. \heartsuit $
Nomor 19
Parabola $y=ax^2+bx+c \, $ melalui titik (0,1) , (1,0) , dan (3,0). Jika titik minimum parabola tersebut adalah ($p, \, q $ ) , maka $q = ....$
$\clubsuit \,$ Substitusi semua titik ke parabola
$(0,1) \rightarrow 1 = a.0^2+b.0+c \rightarrow c = 1 $
sehingga fungsi parabola menjadi : $y=ax^2+bx+1 $
$(1,0) \rightarrow 0 = a.1^2+b.1+1 \rightarrow a+b = -1 \, \, \, $ ...pers(i)
$(3,0) \rightarrow 0 = a.3^2+b.3+1 \rightarrow 9a+3b = -1 \, \, \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 9a+3b = -1 & \text{kali 1 } & 9a+3b = -1 & \\ a+b = -1 & \text{kali 3 } & 3a+3b = -3 & - \\ \hline & & 6a = 2 \rightarrow a = \frac{1}{3} & \end{array} $
$a+b = -1 \rightarrow \frac{1}{3} + b = -1 \rightarrow b = -\frac{4}{3} $
sehingga fungsi parabola menjadi : $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan titik puncak ($x_p , \, y_p $ )
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{\frac{4}{3}}{2.\frac{1}{3}} = 2 $
$y_p = f(x_p) = f(2) = \frac{1}{3}.2^2-\frac{4}{3}.2+1 = -\frac{1}{3} $
titik puncaknya : ($p, \, q ) = (2, \, -\frac{1}{3} ) $
Jadi, nilai $q = -\frac{1}{3}. \heartsuit $
Nomor 20
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+5x+k=0 \, $ adalah $x_1 \, $ dan $x_2 \, $. Jika $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} = -\frac{73}{24} \, \, $ , maka nilai $k \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{1} \rightarrow x_1+x_2 = -5 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} \rightarrow x_1.x_2 = k $
$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (-5)^2-2(k) \rightarrow x_1^2+x_2^2 = 25-2k $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$
$\begin{align} \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} & = -\frac{73}{24} \\ \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} & = -\frac{73}{24} \\ \frac{25-2k}{k} & = -\frac{73}{24} \\ 24.(25-2k) & = -73k \\ 600 - 48k & = -73k \\ 73k-48k & = -600 \\ 25k & = -600 \rightarrow k = -24 \end{align}$
Jadi, nilai $k = -24. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar