Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002


Nomor 1
Parabola $y=x^2+ax+6 \, \, $ dan garis $ \, y=2mx+c \, $ berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis $\, \overline{AB} \, $ menjadi dua sama panjang. Maka ordinat titik C adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar : Misal titik A($x_1, \, y_1$) dan B($x_2,\,y_2$) . Jika titik C ada ditengah AB, maka koordinat titik C adalah C$\left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$ . Sehingga ordinatnya adalah $ \frac{y_1+y_2}{2}$
$\clubsuit \, $ Titik potong kedua kurva
$\begin{align} \text{persamaan parabola} \, & = \, \text{persamaan garis} \\ x^2+ax+6 & = 2mx+c \\ x^2 + (a-2m)x + (6-c) & = 0 \\ x_1+x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(a-2m)}{1} \\ x_1+x_2 & = 2m - a \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan $y_1 \, $ dan $y_2 \, $ dari persamaan garis
$y=2mx+c \rightarrow y_1=2mx_1+c \, \, $ dan $ \, y_2=2mx_2+c $
Jumlahkan kedua persamaan :
$\begin{align} y_1+y_2 & = (2mx_1+c) + (2mx_2+c) \\ & = 2m(x_1+x_2) + 2c \\ & = 2m(2m - a) + 2c \\ y_1+y_2 & = 4m^2-2am+2c \end{align}$
Sehingga ordinat titik C : $ \, \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{4m^2-2am+2c}{2} = 2m^2-am+c $
Jadi, ordinat titik C adalah $ 2m^2-am+c. \heartsuit $

Cara II
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar : Misal titik A($x_1, \, y_1$) dan B($x_2,\,y_2$) . Jika titik C ada ditengah AB, maka koordinat titik C adalah C$\left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$ . Sehingga ordinatnya adalah $ \frac{y_1+y_2}{2}$
$\clubsuit \, $ Substitusi garis ke parabola
$y=2mx+c \rightarrow x = \frac{y-c}{2m} $
$\begin{align} y & = \left( \frac{y-c}{2m} \right)^2+a.\left( \frac{y-c}{2m} \right)+6 \\ y & = \frac{y^2-2cy+c^2}{4m^2} + \frac{ay-ac}{2m} + 6 \\ 4m^2y & = y^2-2cy+c^2 + 2amy - 2amc + 64m^2 \\ y^2 & + (2am-2c-4m^2)y - 2amc + 24m^2 = 0 \\ y_1+y_2 & = \frac{-b}{a} \\ y_1+y_2 & = \frac{-(2am-2c-4m^2)}{1} \\ y_1+y_2 & = 4m^2-2am+2c \end{align}$
Sehingga ordinat titik C : $ \, \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{4m^2-2am+2c}{2} = 2m^2-am+c $
Jadi, ordinat titik C adalah $ 2m^2-am+c. \heartsuit $
Nomor 2
Nilai maksimum dari $ \, x+y-6 \, $ yang memenuhi syarat : $ \, x \geq 0, \, y\geq 0, \, 3x+8y \leq 340 \, $ dan $ \, 7x+4y \leq 280 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_2_2002.png
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua garis
$\begin{array}{c|c|cc} 7x+4y = 280 & \times 2 & 14x+8y = 560 & \\ 3x+8y = 340 & \times 1 & 3x+8y = 340 & - \\ \hline & & 11x = 220 \rightarrow x = 20 & \end{array} $
$7x+4y = 280 \rightarrow 7.20+4y = 280 \rightarrow y = 35 $
sehingga titik B(20,35)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = x+y-6 $
A(40,0) $ \rightarrow z = 40+0-6 = 34 $
B(20,35) $ \rightarrow z = 20+35-6 = 49 $
C(0, $42\frac{1}{2}$ ) $ \rightarrow z = 0+42\frac{1}{2}-6 = 36\frac{1}{2} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 49. $ \heartsuit $
Nomor 3
Jika $ a = 2 + \sqrt{7} \, \, $ dan $ \, b= 2 - \sqrt{7} \, \, $ , maka $ a^2 + b^2 - 4ab = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasil jumlah dan kali
$a+b = (2 + \sqrt{7}) + (2 - \sqrt{7}) = 4 $
$a.b = (2 + \sqrt{7}) . (2 - \sqrt{7}) = 4 - 7 = -3 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align*} a^2 + b^2 - 4ab & = (a+b)^2 - 2ab - 4ab \\ & = (a+b)^2 - 6ab \\ & = (4)^2 - 6.(-3) \\ a^2 + b^2 - 4ab & = 16 + 18 = 34 \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah 34. $ \heartsuit $
Nomor 4
Apabila $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \, $ dirasionalkan penyebutnya, maka bentuk tersebut menjadi ....
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebut
$\begin{align} \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \\ & = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} \\ & = \frac{2(\sqrt{10}+\sqrt{6})}{2} \\ & = \sqrt{10}+\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, bentuknya adalah $ \sqrt{10}+\sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 5
Nilai $ x+y \, $ yang memenuhi persamaan : $\frac{2x+3y+4}{3x-y-10} = 3 \, \, $ dan $\, \frac{x-y+7}{-2x+y+5} = -3 \, \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{2x+3y+4}{3x-y-10} = 3 & \leftrightarrow 2x+3y+4=9x-3y-30 \\ & \leftrightarrow 7x-6y-34 = 0 \, \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{x-y+7}{-2x+y+5} = -3 & \leftrightarrow x-y+7 = 6x-3y-15 \\ & \leftrightarrow 5x-2y-22 = 0 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 7x-6y = 34 & \times 1 & 7x-6y = 34 & \\ 5x-2y = 22 & \times 3 & 15x-6y= 66 & - \\ \hline & & 8x=32 \rightarrow x = 4 & \end{array} $
pers(ii) : $5x-2y = 22 \rightarrow 5.4-2y = 22 \rightarrow y = -1 $
Sehingga : $ x+y = 4 + (-1) = 3 $
Jadi, nilai $ x+y = 3. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar