Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Berdasarkan penelitian, diketahui bahwa populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya tiap 10 tahun. Pada tahun 2000 populasinya tinggal 1 juta ekor. Ini berarti pada tahun 1960 jumlah populasi hewan A adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Populasi berkurang menjadi setengah, artinya rasio = $ \frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Dari tahun 1960 sampai tahun 2000 ada 5 suku (perubahan setiap 10 tahun) yaitu 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 . Sehingga $U_5 = 1 \, $ juta (suku kelima)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ a $ (populasi tahun 1960)
$\begin{align} U_5 & = 1 \\ ar^{5-1} & = 1 \\ a.\left( \frac{1}{2} \right)^4 & = 1 \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, populasi pada tahun 1960 adalah 16 juta. $ \heartsuit $
Nomor 22
Jumlah 5 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 20. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-3 maka hasil kali suku ke-1, suku ke-2, suku ke-4, dan suku ke-5 adalah 324. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ U_n = a+ (n-1)b \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Jumlah 5 suku = 20
$S_5 = 20 \rightarrow \frac{5}{2}(2a+4b) = 20 \rightarrow a+2b = 4 \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Setiap suku dikurangi $ U_3 $ , barisannya menjadi :
$U_1-U_3, \, U_2 - U_3, \, U_3 - U_3 , \, U_4-U_3 , \, U_5-U_3 $
$a-(a+2b), (a+b)-(a+2b), 0, (a+3b)-(a+2b), (a+4b)-(a+2b) $
$-2b, \, -b, \, 0, \, b, \, 2b $
Perkaliannya = 324 $ \, \rightarrow (-2b).(-b).b.2b = 324 \rightarrow 4b^4 = 324 \rightarrow b = 3 \vee b= -3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dari pers(i)
$b=3 \rightarrow a+2b = 4 \rightarrow a+2.3 = 4 \rightarrow a = -2 $
$b=-3 \rightarrow a+2b = 4 \rightarrow a+2.(-3) = 4 \rightarrow a = 10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ S_8 $
Untuk $ a= -2 , \, b = 3 $
$\begin{align} S_8 & = \frac{8}{2}(2.(-2)+7.3) \\ & = 4(-4+21) \\ & = 4.(17) = 68 \end{align}$
Untuk $ a= 10 , \, b = -3 $
$\begin{align} S_8 & = \frac{8}{2}(2.10+7.(-3)) \\ & = 4(20+(-21)) \\ & = 4.(-1) = -4 \end{align}$
Jadi, jumlah 8 suku pertamanya adalah -4 dan 68. $ \heartsuit $
Nomor 23
Diketahui matriks-matriks :
$A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right), \, B = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right), \, C = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $
Jika determinan dari matriks - matriks $ \, 2A - B + C \, $ adalah 13, maka nilai $ \, a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ \, 2A - B + C $
$\begin{align} 2A - B + C & = 2\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 6 & 8 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4+1+a & 2-2-1 \\ 6-5+2 & 8-6+3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5+a & -1 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, a \, $ dari determinan
$\begin{align} \left| 2A - B + C \right| & = 13 \\ \left| \begin{matrix} 5+a & -1 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| & = 13 \\ 5(5+a) - 3.(-1) & = 13 \\ 25+5a+3 & = 13 \\ 5a & = -15 \rightarrow a = -3 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = -3 . \heartsuit $
Nomor 24
Kelas A terdiri dari 45 siswa dan kelas B 40 siswa. Nilai rata-rata kelas A 5 lebih tinggi rata-rata kelas B. Apabila kedua kelas digabungkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 58. Nilai rata-rata kelas A adalah ....
$\clubsuit \,$ Data dibagi 2 kelompok
$n_A = 45, \, \overline{x}_A = a , \, n_B = 40, \, \overline{x}_B = a-5, \, \overline{x}_{gb} = 58 $
$\clubsuit \,$ Rata - rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A + n_B.\overline{x}_B}{n_A + n_B} \\ 58 & = \frac{45.a + 40.(a-5)}{45+40} \\ 58 & = \frac{45a + 40a-200}{85} \\ 58. 85 & = 85a - 200 \\ 4930 & = 85a - 200 85a & = 5130 \\ a & = \frac{5130}{85} = 60\frac{6}{17} \end{align}$
Jadi, nilai rata-rata kelas A adalah $ 60\frac{6}{17} . \heartsuit $
Nomor 25
Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right), \, $ maka nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left| A - x\lambda \right| = 0 \, $ dengan $ I \, $ matriks satuan dan $ \left| A - x\lambda \right| $ determinan dari $ A - x\lambda \, \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ A - xI $
$\begin{align} A - xI & = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) - x \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x & 0 \\ 0 & x \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1-x & 4 \\ 2 & 3-x \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, x \, $ dari determinan
$\begin{align} \left| A - xI \right| & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 1-x & 4 \\ 2 & 3-x \end{matrix} \right| & = 0 \\ (1-x)(3-x) - 2.4 & = 0 \\ 3-4x+x^2 - 8 & = 0 \\ x^2-4x-5 & = 0 \\ (x-5)(x+1) & = 0 \\ x=5 & \vee x = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ \, x \, $ adalah $ x=5 \vee x = -1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Tidak ada komentar:

Posting Komentar