Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 26 sampai 30


Nomor 26
Disuatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 5 pria dan 4 wanita, akan dipilih 6 orang dengan sekurang-kurangnya terpilih 3 pria, sehingga dibagi menjadi beberapa kasus :
1. 3P3W $ \rightarrow C_3^5.C_3^4 = 10.4 = 40 $
2. 4P2W $ \rightarrow C_4^5.C_2^4 = 5.6 = 30 $
3. 5P1W $ \rightarrow C_5^5.C_1^4 = 1.4 = 4 $
sehingga total = 40 + 30 + 4 = 74.
Keterangan :
3P3W artinya terpilih 3 pria dan 3 wanita
4P2W artinya terpilih 4 pria dan 2 wanita
5P1W artinya terpilih 5 pria dan 1 wanita
Jadi, banyaknya susunan perwakilan ada 74. $ \heartsuit $
Nomor 27
Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah ....
$\clubsuit \, $ Pilihan angka ada 6 pilihan yaitu : angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9
$\clubsuit \, $ Bilangan tiga angka berlainan kurang dari 400, sebanyak
umptn_matdas_10_2001.png
total susunan = 2.5.4 = 40 bilangan
Keterangan :
* Karena berlainan, maka angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi.
* Ratusan (R) ada dua pilihan angka yaitu 2 atau 3 (agar kurang dari 400).
* Puluhan (P) ada lima pilihan karena satu angka sudah dipakai pada ratusan.
* Satuan (S) ada empat pilihan karena dua angka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, banyak bilangan ada 40 bilangan. $ \heartsuit $
Nomor 28
Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm per detik. Laju bertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya 15 cm adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : Laju suatu fungsi adalah turunan pertamanya
$\spadesuit \, $ Rusuk (S) bertambah panjang dengan laju 7,
artinya $ \, S^\prime = 7 \, $ ( $ \, S^\prime \, $ adalah turunan dari S)
$\spadesuit \, $ Laju bertambahnya volume saat rusuk S = 15
$\begin{align} V & = S^3 \, \, \text{(volume kubus)} \\ V^\prime & = 3.S^2.S^\prime \\ V^\prime & = 3.(15)^2.7 \\ V^\prime & = 4725 \end{align}$
Jadi, laju bertambahnya volume adalah 4725 cm$^3$/detik . $ \heartsuit $
Nomor 29
Pertidaksamaan $ \, \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x-1}}} \, $ mempunyai penyelesaian ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar : untuk $ a > 1 , \, a^{f(x)} > a^{g(x)} \rightarrow f(x) > g(x) $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} & > \sqrt{\frac{27}{3^{x-1}}} \\ (3^{-1})^{2x+1} & > \sqrt{\frac{3^3}{3^{x-1}}} \\ 3^{-2x-1} & > \sqrt{3^{3-(x-1)}} \\ 3^{-2x-1} & > \sqrt{3^{-x+4}} \\ 3^{-2x-1} & > 3^\frac{-x+4}{2} \\ -2x-1 & > \frac{-x+4}{2} \, \, \text{(kali 2)} \\ -4x-2 & > -x+4 \\ -3x & > 6 \, \, \text{(bagi -3, ketaksamaan dibalik)} \\ x & < -2 \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ x < -2 \} . \heartsuit $
Nomor 30
Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah $ \, {}^7 \log (4x-1) \, $ . Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen), maka nilai $x \, $ yang memenuhi adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri dengan rasio $ \, r = {}^7 \log (4x-1) $
$\spadesuit \, $ Syarat deret tak hingga konvergen (mempunyai jumlah) : $ -1 < r < 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, x $
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & {}^7 \log (4x-1) < 1 \\ {}^7 \log 7^{-1} < & {}^7 \log (4x-1) < {}^7 \log 7 \\ 7^{-1} < & 4x-1 < 7 \, \, \text{(jumlahkan 1)} \\ \frac{1}{7} + 1 < & (4x -1) + 1 < 7 + 1 \\ \frac{8}{7} < & 4x < 8 \, \, \text{(bagi 4)}\\ \frac{8}{7} : 4 < & 4x : 4 < 8:4 \\ \frac{2}{7} < & x < 2 \, \, \text{...(HP1)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat logaritma
$ r = {}^7 \log (4x-1) $
Syarat : $4x-1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{4} \, \, $ ....(HP2)
Sehingga solusinya : $ HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ \frac{2}{7} < x < 2 \} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ HP = \{ \frac{2}{7} < x < 2 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Tidak ada komentar:

Posting Komentar