Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \left| \frac{2x-1}{x+5} \right| \geq 6 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $ |x|^2 = x^2 \, $ dan $ \, p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dengan pengkuadratan
$\begin{align} \left| \frac{2x-1}{x+5} \right|^2 & \geq 6^2 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} \right)^2 - 6^2 & \geq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - 6 \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + 6 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - \frac{6(x+5)}{x+5} \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + \frac{6(x+5)}{x+5} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-4x-31}{x+5} \right) \left( \frac{8x+29}{x+5} \right) & \geq 0 \\ x = \frac{-31}{4} , \vee \, x = \frac{-29}{8} , \vee \, x & = -5 \end{align}$
Jadi, Solusinya $ HP = \{ \frac{-31}{4} \leq x < -5 \vee -5 < x \leq \frac{-29}{8} \} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dengan pengkuadratan
$\begin{align} \left| \frac{2x-1}{x+5} \right|^2 & \geq 6^2 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} \right)^2 - 6^2 & \geq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - 6 \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + 6 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - \frac{6(x+5)}{x+5} \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + \frac{6(x+5)}{x+5} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-4x-31}{x+5} \right) \left( \frac{8x+29}{x+5} \right) & \geq 0 \\ x = \frac{-31}{4} , \vee \, x = \frac{-29}{8} , \vee \, x & = -5 \end{align}$
Jadi, Solusinya $ HP = \{ \frac{-31}{4} \leq x < -5 \vee -5 < x \leq \frac{-29}{8} \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ \, A = \left( \begin{matrix} px & x \\ x & q \end{matrix} \right) \, $ dan $ \, B = \left( \begin{matrix} x & q \\ q & p \end{matrix} \right) . \, $
Jika $ x_1 \, $ dan $ \, x_2 \, $ memenuhi persamaan det(A) = 3 det(B) , maka $ \, x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A)=|A| = a.d - b.c $
PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan kuadrat dari determinan
$\begin{align} det(A) & = 3 det(B) \\ px.q - x.x & = 3(x.p - q.q) \\ -x^2 + pqx & = 3px - 3q^2 \\ x^2 + 3px - pqx - 3q^2 & = 0 \\ x^2 + (3p-pq)x - 3q^2 & = 0 \end{align}$
PK : $ x^2 + (3p-pq)x - 3q^2 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ \, x_2 \, $
$ x_1+x_2 = \frac{-(3p-pq)}{1} = pq - 3p \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{-3q^2}{1} = -3q^2 $
Sehingga nilai :
$ \, x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = (x_1 + x_2) + (x_1.x_2) $
$ = pq - 3p -3q^2 $
Jadi, nilai $ x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = pq - 3p -3q^2 . \heartsuit$
Catatan : Tidak ada pilihan yang memenuhi.
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A)=|A| = a.d - b.c $
PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan kuadrat dari determinan
$\begin{align} det(A) & = 3 det(B) \\ px.q - x.x & = 3(x.p - q.q) \\ -x^2 + pqx & = 3px - 3q^2 \\ x^2 + 3px - pqx - 3q^2 & = 0 \\ x^2 + (3p-pq)x - 3q^2 & = 0 \end{align}$
PK : $ x^2 + (3p-pq)x - 3q^2 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ \, x_2 \, $
$ x_1+x_2 = \frac{-(3p-pq)}{1} = pq - 3p \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{-3q^2}{1} = -3q^2 $
Sehingga nilai :
$ \, x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = (x_1 + x_2) + (x_1.x_2) $
$ = pq - 3p -3q^2 $
Jadi, nilai $ x_1 + (x_1.x_2) + x_2 = pq - 3p -3q^2 . \heartsuit$
Catatan : Tidak ada pilihan yang memenuhi.
Nomor 8
Jika $ \, {}^{18} \log 2 = a \, $ dan $ \, {}^{10} \log 2 = b , \, $ maka $ \, {}^{18} \log 45 = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a}, \, {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a} $
$ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan logaritmanya
bentuk pertama :
$\begin{align} {}^{18} \log 2 = a \rightarrow {}^{2} \log 18 & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log (2.9) & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} \\ 1 + {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} - 1 \end{align}$
bentuk kedua :
$\begin{align} {}^{10} \log 2 = b \rightarrow {}^{2} \log 10 & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log (2.5) & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} \\ 1 + {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} - 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^{18} \log 45 & = \frac{{}^{2} \log 45}{{}^{2} \log 18} = \frac{{}^{2} \log (9.5)}{{}^{2} \log 18} = \frac{{}^{2} \log 9 + {}^{2} \log 5}{{}^{2} \log 18} \\ & = \frac{ \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 }{ \frac{1}{a} } \\ & = \frac{ \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 }{ \frac{1}{a} } . \frac{a}{a} \\ & = \frac{1-a+ \frac{a}{b} - a }{1} = 1-2a+ \frac{a}{b} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^{18} \log 45 = 1-2a+ \frac{a}{b} . \heartsuit$
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a}, \, {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a} $
$ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan logaritmanya
bentuk pertama :
$\begin{align} {}^{18} \log 2 = a \rightarrow {}^{2} \log 18 & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log (2.9) & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} \\ 1 + {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} \\ {}^{2} \log 9 & = \frac{1}{a} - 1 \end{align}$
bentuk kedua :
$\begin{align} {}^{10} \log 2 = b \rightarrow {}^{2} \log 10 & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log (2.5) & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} \\ 1 + {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} \\ {}^{2} \log 5 & = \frac{1}{b} - 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^{18} \log 45 & = \frac{{}^{2} \log 45}{{}^{2} \log 18} = \frac{{}^{2} \log (9.5)}{{}^{2} \log 18} = \frac{{}^{2} \log 9 + {}^{2} \log 5}{{}^{2} \log 18} \\ & = \frac{ \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 }{ \frac{1}{a} } \\ & = \frac{ \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 }{ \frac{1}{a} } . \frac{a}{a} \\ & = \frac{1-a+ \frac{a}{b} - a }{1} = 1-2a+ \frac{a}{b} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^{18} \log 45 = 1-2a+ \frac{a}{b} . \heartsuit$
Nomor 9
Fungsi $ f $ dan $ g $ yang memenuhi $ f \circ g = g \circ f = x \, $ adalah ....
(A) $ \, f(x) = 1 \, $ dan $ \, g(x) = x $
(B) $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} $
(C) $ \, f(x) = \frac{1}{x} \, $ dan $ \, g(x) = x^2 $
(D) $ \, f(x) = 3-x \, $ dan $ \, g(x) = x-3 $
(E) $ \, f(x) = 5-x \, $ dan $ \, g(x) = 5+x $
(A) $ \, f(x) = 1 \, $ dan $ \, g(x) = x $
(B) $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} $
(C) $ \, f(x) = \frac{1}{x} \, $ dan $ \, g(x) = x^2 $
(D) $ \, f(x) = 3-x \, $ dan $ \, g(x) = x-3 $
(E) $ \, f(x) = 5-x \, $ dan $ \, g(x) = 5+x $
$\clubsuit \, $ Suatu fungsi memenuhi $ f \circ g = g \circ f = x \, $ adalah fungsi yang saling invers karena
$ f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = x \, $
Sehingga dari pilihan, fungsi yang saling invers adalah opsi B yaitu $ x^2 \, $ dan $ \, \sqrt{x} $
Cek komposisinya :
$ f \circ g = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x $
$ g \circ f = g(f(x)) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = x $
sehingga terbukti : $ f \circ g = g \circ f = x \, $
Jadi, fungsi yang memenuhi adalah $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} .\heartsuit $
Sehingga dari pilihan, fungsi yang saling invers adalah opsi B yaitu $ x^2 \, $ dan $ \, \sqrt{x} $
Cek komposisinya :
$ f \circ g = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x $
$ g \circ f = g(f(x)) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = x $
sehingga terbukti : $ f \circ g = g \circ f = x \, $
Jadi, fungsi yang memenuhi adalah $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} .\heartsuit $
Nomor 10
Jika persamaan kuadrat $ \, 2x^2 + 5px + 50 = 0 \, $ mempunyai akar real kembar, maka salah satu nilai $ p \, $ yang mungkin adalah ....
$\spadesuit \, $ PK : $ \, 2x^2 + 5px + 50 = 0 \rightarrow a = 2, b = 5p, c = 50 $
Syarat akar-akar kembar adalah $ \, D = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan syarat $ D = 0 $
$\begin{align} D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac & = 0 \\ (5p)^2 - 4.2.50 & = 0 \\ 25p^2 - 8 . 50 & = 0 \, \, \text{(bagi 25)} \\ p^2 - 8. 2 & = 0 \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ p = -4 \vee p = 4 . \heartsuit $
Syarat akar-akar kembar adalah $ \, D = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan syarat $ D = 0 $
$\begin{align} D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac & = 0 \\ (5p)^2 - 4.2.50 & = 0 \\ 25p^2 - 8 . 50 & = 0 \, \, \text{(bagi 25)} \\ p^2 - 8. 2 & = 0 \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ p = -4 \vee p = 4 . \heartsuit $
Pak Putu menurut saya untuk no.9 itu option E juga benar deh Pak.
BalasHapusfog(x)=5-(5-x)=x
gof(x)=5-(5-x)=x
fog(x)=gof(x)=x
jadi jawabannya B dan E menurut saya Pak
Hallow @Bobbi,
HapusTerimakasih untuk koreksinya.
Setelah saya cek lagi soal aslinya, ternyata salah ketik. Dan sudah saya perbaiki.
Bagi Bobbi dan pembaca lainnya juga, jiga ada koreksi untuk pembahasannya, mohon untuk share di kolom komentar ya, sehingga bisa kita cek dan perbaiki lagi, agar isi pembahasan di blog dunia-informa ini semakin berkualitas.
Begitu juga kalau ada alternatif solusi yang lainnya.
Terimakasih juga untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.
semoga terus bisa membantu.