Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2005

Nomor 1

Jika

$f(x) = \int \cos ^2 x \, dx \,$ dan

$\, g(x) = xf^\prime (x), \,$ maka

$\, g^\prime \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = ....$

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan

$f(x)$
Konsep :

$f(x) = \int f^\prime (x) \, dx$
sehingga untuk

$f(x) = \int \cos ^2 x \, dx \,$ , maka

$f^\prime (x) = \cos ^2 x$
Turunan perkalian :

$y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U.V^\prime$
Konsep dasar Trigonometri :

$\sin 2x = 2 \sin x . \cos x$

$\cos ( - x ) = \cos x , \, \sin (-x) = -\sin x$

$\cos ( x - \frac{\pi}{2}) = \cos -(\frac{\pi}{2} - x) = \cos (\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$

$\sin (2x - \pi ) = \sin -( \pi - 2x ) = - \sin ( \pi - 2x ) = -\sin 2x$

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan

$g(x) \,$ dan substitusi

$( x - \frac{\pi}{2})$

$\begin{align} g(x) & = x . f^\prime (x) \\ g(x) & = x . \cos ^2 x \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \cos ^2 x \rightarrow V^\prime = -2\sin x \cos x = -\sin 2x \\ g^\prime (x) & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ g^\prime (x) & = 1 . \cos ^2 x + ( x . -\sin 2x ) \\ g^\prime (x) & = \cos ^2 x - x \sin 2x \\ g^\prime ( x - \frac{\pi}{2} ) & = \cos ^2 ( x - \frac{\pi}{2} ) - (x - \frac{\pi}{2} ) . \sin 2(x - \frac{\pi}{2}) \\ g^\prime ( x - \frac{\pi}{2} ) & = \sin ^2 x - \left[ (x - \frac{\pi}{2} ) . -\sin 2x \right] \\ g^\prime ( x - \frac{\pi}{2} ) & = \sin ^2 x + (x - \frac{\pi}{2} ) \sin 2x \end{align}$
Jadi, nilai

$g^\prime ( x - \frac{\pi}{2} ) = \sin ^2 x + (x - \frac{\pi}{2} ) \sin 2x . \heartsuit$

Nomor 2

Laju pertumbuhan penduduk suatu kota untuk

$t$ tahun yang akan datang dinyatakan sebagai berikut :

$N(t) = 400t+600\sqrt{t} , \, 0 \leq t \leq 9 .$
Jika penduduk saat ini adalah 5.000 jiwa, maka banyak penduduk 9 tahun yang akan datang adalah ....

$\spadesuit \,$ Misalkan fungsi pertumbuhannya

$P(t)$
Laju pertumbuhan :

$P^\prime (t) = N(t) = 400t+600\sqrt{t}$

$\spadesuit \,$ Menentukan

$P(t) \,$ dengan integral

$\begin{align} P(t) & = \int P^\prime (t) \, dt \\ P(t) & = \int 400t+600\sqrt{t} \, dt \\ P(t) & = 200t^2 + 600 . \frac{2}{3} t^\frac{3}{2} + c \\ P(t) & = 200t^2 + 400t \sqrt{t} + c \end{align}$

$\spadesuit \,$ Saat ini (

$t = 0$ ) jumlah penduduk 5.000, artinya

$P(0)=5.000$

$\begin{align} t= 0 \rightarrow P(t) & = 200t^2 + 400t \sqrt{t} + c \\ P(0) & = 200.(0)^2 + 400.0. \sqrt{0} + c \\ 5000 & = c \end{align}$
Sehingga :

$P(t) = 200t^2 + 400t \sqrt{t} + 5000$

$\spadesuit \,$ Menentukan jumlah penduduk saat

$t = 9$

$\begin{align} t= 9 \rightarrow P(t) & = 200t^2 + 400t \sqrt{t} + 5000 \\ P(9) & = 200.9^2 + 400.9 \sqrt{9} + 5000 \\ P(9) & = 16200 + 10800 + 5000 \\ P(9) & = 32.000 \end{align}$
Jadi, banyak penduduk 9 tahun yang akan datang adalah 32.000 jiwa.

$\heartsuit$

Nomor 3

Suatu delegasi terdiri dari 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi tersebut boleh mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari kalangan pria. Dengan persyaratan tersebut, banyaknya cara menyusun keanggotaan delegasi adalah ....

$\clubsuit \,$ Total cara pemilihan delegasi
Total =

$C_3^5. C_3^5 = 10. 10 = 100$

$\clubsuit \,$ Banyaknya cara pemilihan untuk setiap anggota termuda wanita dan pria
Cara I =

$C_2^4 . C_2^4 = 6 . 6 = 36$

$\clubsuit \,$ Banyaknya cara paling banyak satu anggota termuda wanita atau pria yang ikut :
Cara = total - cara I = 100 - 36 = 64
Jadi, banyak cara menyusun delegasi ada 64 susunan.

$\heartsuit$

Nomor 4

Diberikan suku banyak

$f(x) = x^3 + 3x^2 + a . \,$ Jika

$f^{\prime \prime } (2) , \, f^\prime (2), \,$ dan

$f(2) \,$ membentuk barisan aritmetika, maka

$f^{\prime \prime } (2) + f^\prime (2) + f(2) = ....$

$\spadesuit \,$ Menentukan turunan fungsi

$f(x) = x^3 + 3x^2 + a \rightarrow f(2) = 2^3 + 3.2^2 + a = 20 + a$

$f^\prime (x) = 3x^2 + 6x \rightarrow f^\prime (x) = 3.2^2 + 6.2 = 24$

$f^{\prime \prime } (x) = 6x + 6 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 6.2 + 6 = 18$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a$ dari barisan aritmetika
barisannya :

$f^{\prime \prime } (2) , \, f^\prime (2), \,$ dan

$f(2) \,$
barisannya :

$18 , \, 24, \,$ dan

$20 + a \,$
Selisih sama untuk barisan aritmetika

$\begin{align} U_2 - U_1 & = U_3 - U_2 \\ 24 - 18 & = (20+a) - 24 \\ 6 & = a- 4 \\ a & = 10 \end{align}$
untuk

$a = 10 \rightarrow f(2) = 20 + a = 20 + 10 = 30$
Sehingga :

$f^{\prime \prime } (2) + f^\prime (2) + f(2) = 18 + 24 + 30 = 72$
Jadi, nilai

$f^{\prime \prime } (2) + f^\prime (2) + f(2) = 72 . \heartsuit$

Nomor 5

Parabola

$y = x^2 - 6x + 8 \,$ digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu-X dan digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu-X di

$x_1 \,$ dan

$x_2, \,$ maka

$x_1 + x_2 = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar
Suatu fungsi

$y = f(x) \,$ digeser ke kanan sejauh

$a$ dan ke bawah sejauh

$b$ akan menjadi :

$y = f(x - a) - b$

$\clubsuit \,$ Fungsi

$y = f(x) = x^2 - 6x + 8 \,$ digeser ke kanan sejauh 2 (

$a = 2$ ) dan ke bawah sejauh 3 (

$b = 3$ ) , sehingga fungsinya menjadi :