Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 532 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika untuk setiap bilangan asli $ n , \, L_n \, $ merupakan luas daratan yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola yang melalui titik $ ( 0, 4^{1-n}), \, (-2^{1-n}, 0 ) \, $ dan $ (2^{1-n},0) \, $ , maka $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n = ..... $
$\spadesuit \, $ Gambar parabola dan daerah arsirannya
sbmptn_3_mat_ipa_k532_2014.png
Untuk menentukan luas daerah arsirannya sebenarnya menggunakan perhitungan integral. Akan tetapi kita harus menentukan fungsi parabolanya dulu. Nah disini perhitungan luasnya tidak perlu menggunakan integral, tapi langsung dari luas persegi panjangnya.
$\spadesuit \, $ Menentukan luas daerah arsiran dari luas persegi panjang
Perbandingan luas daerah yang diarsir dan tidak diarsir pada persegi panjang ABCD adalah 2 : 1. artinya, luas arsir = $ \frac{2}{3} \, $ Luas ABCD dan Luas bersih = $ \frac{1}{3} \, $ Luas ABCD.
catatan : Perbandingan ini hanya berlaku pada parabola yang melalu puncaknya.
$\spadesuit \, $ Menentukan luas arsiran, panjang $ AB = 2\times 2^{1-n} \, $ dan $ BC = 4^{1-n} $
$\begin{align} \text{ Luas arsiran } & = \frac{2}{3} . \text{ Luas ABCD } \\ L_n & = \frac{2}{3} . AB . BC \\ L_n & = \frac{2}{3} . 2\times 2^{1-n} . 4^{1-n} = \frac{4}{3} . 2^{1-n} . 4^{1-n} \\ n= 1 \rightarrow L_1 & = \frac{4}{3} . 2^{1-1} . 4^{1-1} \\ L_1 & = \frac{4}{3} . 2^{0} . 4^{0} = \frac{4}{3} \\ n= 2 \rightarrow L_2 & = \frac{4}{3} . 2^{1-2} . 4^{1-2} \\ L_1 & = \frac{4}{3} . 2^{-1} . 4^{-1} = \frac{4}{3} . \frac{1}{8} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n $
deret tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\begin{align} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n & = L_1 + L_2 + .... \\ & = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} . \frac{1}{8} + .... \\ & = s_\infty = \frac{a}{1-r} \\ & = \frac{ \frac{4}{3} }{1- \frac{1}{8} } \\ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n & = \frac{32}{21} \end{align}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n = \frac{32}{21} . \heartsuit $
Nomor 7
Diberikan barisan geometri $ a, \, a+b, \, 4a + b + 9 . \, $ Jika $ a, \, a+b, \, $ dan $ 4a + b \, $ merupakan suatu barisan aritmetika, maka $ b = .... $
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ a, \, a+b, \, $ dan $ 4a + b \, $
Selisih sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ 2(u_2) & = u_1 + u_3 \\ 2(a+b) & = a + ( 4a + b ) \\ b & = 3a \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ a, \, a+b, \, 4a + b + 9 $
Rasio sama dan nilai $ a \neq 0 \, $ :
$\begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1.u_3 \\ (a+b)^2 & = (a) . (4a+b+9) \, \, \, \text{ (subst. } \, b = 3a ) \\ (a+3a)^2 & = (a) . (4a+3a+9) \\ (4a)^2 & = (a) . (7a+9) \\ 16a^2 & = 7a^2 + 9a \\ 9a^2 - 9a & = 0 \\ 9a(a-1) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 1 \\ \text{ dari pers(i) , } & \text{ diperoleh } \\ a = 0 \rightarrow b & = 3a = 3.0 = 0 \, \text{(tidak memenuhi)} \\ a = 1 \rightarrow b & = 3a = 3.1 = 3 \, \text{(memenuhi)} \end{align}$
Jadi, nilai $ b = 3 . \heartsuit$
Nomor 8
Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik (2,-1) dan menyinggung sumbu X dan sumbu Y adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
sbmptn_4_mat_ipa_k532_2014.png
*). Suatu lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka pusat dan jari-jarinya sama seperti gambar di atas ( gambar (1) ) dengan pusat $ (a,b) = (p,p) \, $ dan $ r = p $
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ \, (a , b) \, $ dan jari - jari $ \, r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Persamaan garis yang melalui perpotongan dua lingkaran caranya langsung dikurangkan kedua persamaan.
$\clubsuit \, $ Menentukan pusat lingkaran yang melalui titik (2,-1) dengan pusat $ (a,b) = (p,-p) \, $ dan jari-jari $ r = p $

$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-p)^2 + (y-(-p))^2 & = p^2 \\ (2,-1) \rightarrow (x-p)^2 + (y+p)^2 & = p^2 \\ (2-p)^2 + (-1+p)^2 & = p^2 \\ 4 - 4p + p^2 + 1 - 2p + p^2 & = p^2 \\ p^2 - 6p + 5 & = 0 \\ (p-1)(p-5) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 5 \end{align}$
Sehingga pusat lingkaran yang mungkin : (1,-1) dan (5,-5) seperti gambar di atas ( gambar (2) )
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan lingkarannya
Pusat $(a,b) = (1,-1) \, $ dengan jari - jari $ r = 1 $
$\begin{align} (x-1)^2 + (y-(-1))^2 & = 1^2 \\ (x-1)^2 + (y+1)^2 & = 1^2 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 & = 1 \\ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 & = 0 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Pusat $(a,b) = (5,-5) \, $ dengan jari - jari $ r = 5 $
$\begin{align} (x-5)^2 + (y-(-5))^2 & = 5^2 \\ (x-5)^2 + (y+5)^2 & = 5^2 \\ x^2 - 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 & = 25 \\ x^2 + y^2 - 10x + 10y + 25 & = 0 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 10x + 10y + 25 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0 & - \\ \hline -8x+8y+24 = 0 & \\ -x + y + 3 = 0 & \\ x - y - 3 = 0 & \end{array} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - y - 3 = 0 . \heartsuit $
Nomor 9
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\clubsuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor 10
Jika $ u \, $ dan $ v \, $ adalah vektor-vektor sehingga $ ||u|| = 5, ||v|| = 3, \, $ dan $ u.v = -1 , \, $ maka $ ||u - v || = ..... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ |u - v | \, $
Rumus dasar : $ |u-v| = \sqrt{|u|^2 + |v|^2 - 2(u.v)} $
$\begin{align} |u-v| & = \sqrt{|u|^2 + |v|^2 - 2(u.v)} \\ & = \sqrt{5^2 + 3^2 - 2(-1)} \\ & = \sqrt{25 + 9 + 2 } \\ & = \sqrt{36 } \\ |u-v| & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ |u-v| = 6 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar