Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 532 tahun 2014


Nomor 1
Jika $ A(x) = \frac{1}{2}\left( p^x - p^{-x} \right) \, $ dan $ B(x) = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \, $ denga $ p > 1 \, $ , maka $ B(nx) = .... $
(A) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( \frac{x}{n} \right) $
(B) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( nx \right) $
(C) $ \left( B(x) - A(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(D) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(E) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( \frac{x}{n} \right) $
$\clubsuit \, $ Menentukan $ B(nx) \, $
$\begin{align} B(x) & = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} + p^{-nx} \right) \, \, \, \text{ ...pers(i)} \end{align}$
Karena pada pilihannya dalam bentuk $ A(nx) \, $ atau $ A(\frac{x}{n}) \, $ , maka pers(i) harus diubah atau dimodifikasi menjadi bentuk $ A(nx) \, $ atau $ A(\frac{x}{n}) \, $ .
$\clubsuit \, $ Memodifikasi pers(i)
$\begin{align} B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} + p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} \right) + \frac{1}{2}\left( p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} \right) + p^{-nx} - \frac{1}{2}\left( p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = p^{-nx} + \frac{1}{2}\left( p^{nx} - p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \, \, \, \text{ ...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Memodifikasi bentuk $ p^{-nx} $
$\begin{align} p^{-nx} & = (p^{-x})^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{-x} )^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{x} - \frac{1}{2} . p^{x} )^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{x} + \frac{1}{2} . p^{-x} - \frac{1}{2} . p^{x} + \frac{1}{2} . p^{-x} )^n \\ & = \left( \frac{1}{2} (p^{x} + p^{-x}) - \frac{1}{2} (p^{x} - p^{-x} ) \right)^n \\ p^{-nx} & = \left( B(x) - A(x) \right)^n \, \, \, \text{ ...pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iii) ke pers(ii)
$\begin{align} B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \\ B(nx) & = \left( B(x) - A(x) \right)^n + A(nx) \end{align}$
Jadi, diperoleh bentuk $ B(nx) = \left( B(x) - A(x) \right)^n + A(nx) . \heartsuit $
Nomor 2
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 3p . \, $ Titik-titik P, Q, dan R masing-masing pada FB, FG, dan AD sehingga BP = GQ = DR = $ p \, $ . Jika S adalah titik potong bidang yang melalui P, Q, dan R dengan rusuk DH, maka jarak dari S ke P adalah .....
$\spadesuit \, $ Gambar bidang irisannya
sbmptn_1_mat_ipa_k532_2014.png
Perpotongan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan rusuk DH adalah Bidang irisan (bidang VPQZSR) dengan rusuk DH yaitu di titik S.
Ternyata jarak DS sama dengan BP , sehingga jarak SP sama saja dengan jarak BD yaitu panjang diagonal sisi.
Misal panjang rusuknya adalah $ s \, $ dengan $ s = 3p $
$\spadesuit \, $ Menentukan jarak S ke P
$\begin{align} \text{jarak S ke P } & = \text{ Panjang BD (Diagonal sisi) } \\ & = s\sqrt{2} \\ & = 3p\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak S ke P adalah $ 3p\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\spadesuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 4
Tujuh anak laki-laki dan tiga perempuan akan duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan adalah .....
$\spadesuit \, $ Ada 7L dan 3P duduk berdampingan, sehingga $ n(S) = 10!$
Pada kasus orang duduk, urutan atau letak diperhatikan sehingga menggunakan permutasi. Rumus : $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
$\spadesuit \, $ Susunan agar kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan, ada dua kemungkinan :
sbmptn_2_mat_ipa_k532_2014.png
Keterangan Kasus I :
*). dua anak laki-laki dipilih dari 7 anak laki-laki untuk menempati kedua ujung , ada $ P_2^7 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7.6 \, $ cara
*). agar tidak ada anak perempuan berdampingan, maka 8 posisi yang ditengah harus dikelompokkan seperti gambar kasus I menjadi lima kelompok dengan tiga kelompok berpasangan (ada anak laki dan perempuan dengan perempuan didepan dan laki-laki dibelakangnya).
*). lima kelompok yang ada bisa diacak urutannya , ada $ 5! \, $ cara.
*). karena lima kelompok sudah diacak, maka tinggal menentukan tiga anak laki-laki dari 5 anak laki-laki untuk berpasangan dengan tiga anak perempuan, ada $ P_3^5 = \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!} = 5.4.3 $
total cara I = $ P_2^7 . 5!. P_3^5 $
Keterangan kasus II :
*). kasus II mirip dengan kasus I, hanya saja untuk kelompok yang berpasangan urutannya dibalik yaitu laki-laki dulu baru perempuan.
total cara II = $ P_2^7 . 5!. P_3^5 $
$\spadesuit \, $ Sehingga total cara :
$ n(A) = \, $ total cara I + total cara II
$ n(A) = \, $ = $ 2. ( P_2^7 . 5!. P_3^5 ) \, $ = 2.7.6.5!.5.4.3
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang $ P(A) $
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} \\ & = \frac{2.7.6.5!.5.4.3}{10!} \\ & = \frac{2.7.6.5!.5.4.3}{10.9.8.7.6.5!} \\ & = \frac{1}{6} \\ \end{align}$
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{6} . \heartsuit $
Nomor 5
Nilai maksimum $ f(x) = 2x + \sqrt{p-4x} \, $ adalah $ \frac{13}{2} . \, $ Nilai $ f(2) + f^\prime (2) \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep turunan bentuk akar
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = 2x + \sqrt{p-4x} \\ f^\prime (x) & = 2 + \frac{-4}{2\sqrt{p-4x}} \\ f^\prime (x) & = 2 - \frac{2}{\sqrt{p-4x}} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) \, $ maksimum, syaratnya : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2 - \frac{2}{\sqrt{p-4x}} & = 0 \\ \frac{2}{\sqrt{p-4x}} & = 2 \\ 2\sqrt{p-4x} & = 2 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sqrt{p-4x} & = 1 \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \left( \sqrt{p-4x} \right)^2 & = 1^2 \\ p-4x & = 1 \\ x & = \frac{p-1}{4} \end{align}$
artinya fungsi $ f(x) \, $ maksimum pada saat $ x = \frac{p-1}{4} \, $
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x = \frac{p-1}{4} \, $ ke fungsi $ f(x) \, $ diperoleh nilai maksimum
$\begin{align} x = \frac{p-1}{4} \rightarrow f(x) & = 2x + \sqrt{p-4x} \\ f_\text{maks} \left( \frac{p-1}{4} \right) & = \frac{13}{2} \\ 2.\left( \frac{p-1}{4} \right) + \sqrt{p-4.\left( \frac{p-1}{4} \right)} & = \frac{13}{2} \\ \frac{p-1}{2} + 1 & = \frac{13}{2} \, \, \, \text{(kali 2)} \\ p-1 + 2 & = 13 \\ p & = 12 \end{align}$
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 2x + \sqrt{12-4x} $
dan turunannya : $ f^\prime (x) = 2 - \frac{2}{\sqrt{12-4x}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(2) + f^\prime (2) & = \left( 2.2 + \sqrt{12-4.2} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{12-4.2}} \right) \\ & = \left( 4 + \sqrt{12-8} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{12-8}} \right) \\ & = \left( 4 + \sqrt{4} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{4}} \right) \\ & = \left( 4 + 2 \right) + \left( 2 - \frac{2}{2} \right) \\ & = 6 + \left( 2 - 1 \right) \\ f(2) + f^\prime (2) & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(2) + f^\prime (2) = 7 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar