Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014


Nomor 1
Jika $ f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} = 3 \, , $ maka $ f^\prime (0) = .... $
$\clubsuit \, $ Menghitung nilai limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \\ \frac{f(0)}{0} & = 3 \\ \infty & \neq 3 \end{align}$
Setelah disubstitusi $ x = 0 \, $ diperoleh nilai limitnya tidak sama dengan 3. Agar nilai limitnya sama dengan 3, maka bentuk limitnya harus bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) sehingga bisa diproses lagi salah satunya dengan turunan.
$\clubsuit \, $ Konsep penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f^ \prime (x)}{g^\prime (x)} $
sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limit dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \, \, \, \text{(pembilang dan penyebut diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 3 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f^\prime (x) & = 3 \\ f^\prime (0) & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ f^\prime (0) = 3 . \heartsuit $
Catatan : Bentuk fungsi $ f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \, $ tidak berpengaruh pada soal ini.
Nomor 2
Misalkan suatu lingkaran dan persegi masing-masing mempunyai luas $ L \, $ dan $ P \, . $ Jika keliling keduanya sama, maka $ L = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan jari-jari dan panjang sisi dari luasnya
Lingkaran , luas = $ L \, $
$\begin{align} \text{ Luas lingkaran } & = L \\ \pi r^2 & = L \\ r^2 & = \frac{L}{\pi} \\ r & = \sqrt{\frac{L}{\pi}} \end{align}$
Persegi, luas = $ P \, $
$\begin{align} \text{ Luas persegi } & = P \\ s^2 & = P \\ s & = \sqrt{P} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ L \, $ dan $ P $
$\begin{align} \text{ Keliling lingkaran } & = \text{ Keliling persegi } \\ 2\pi r & = 4 s \\ 2\pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 4 \sqrt{P} \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 2 \sqrt{P} \, \, \, \text{(kuadratkan kedua ruas)} \\ \pi ^2 . \frac{L}{\pi} & = 4 . P \\ \pi . L & = 4P \\ L & = \frac{4P}{\pi} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ L = \frac{4P}{\pi} . \heartsuit $
Nomor 3
Agar $ a, \, 4a^2 - 2, \, $ dan $ 8a^2 + 6 \, $ masing-masing merupakan suku ke-3, suku ke-5, dan suku ke-9 suatu barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika, misalkan suku pertamanya $ p \, $ (agar tidak rancu dengan $ a\, $ yang diketahui pada soal) dan bedanya $ b \, $ .
Rumus suku ke-$n\,$ : $ u_n = u_1 + (n-1) b \, \rightarrow u_n = p + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan dengan $ u_n = p + (n-1)b $
$ u_3 = a \rightarrow p + 2b = a \, $ ....pers(i)
$ u_5 = 4a^2 - 2 \rightarrow p + 4b = 4a^2 - 2 \, $ ....pers(ii)
$ u_9 = 8a^2 + 6 \rightarrow p + 8b = 8a^2 + 6 \, $ ....pers(iii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ p + 2b = a & - \\ \hline 2b = 4a^2 - a - 2 \end{array} $
diperoleh $ 2b = 4a^2 - a - 2 \rightarrow b = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \, $ ....pers(iv)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} p + 8b = 8a^2 + 6 & \\ p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ \hline 4b = 4a^2 + 8 \end{array} $
diperoleh $ 4b = 4a^2 + 8 \, $ ....pers(v)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke pers(v)
$\begin{align} 4b & = 4a^2 + 8 \\ 4. \left( \frac{4a^2 - a - 2}{2} \right) & = 4a^2 + 8 \\ 2 (4a^2 - a - 2) & = 4a^2 + 8 \\ 4a^2 -2a - 12 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a^2 - a - 6 & = 0 \\ (2a + 3) (a - 2) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = 2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $ a \, $ ke pers(iv)
$\begin{align} a = -\frac{3}{2} \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(\frac{9}{4}) + (\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{17}{4} \\ a = 2 \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(2)^2 - 2 - 2}{2} \\ b & = \frac{12}{2} \\ b & = 6 \end{align}$
Jadi, bedanya adalah $ b = \frac{17}{4} \vee b = 6 . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ f(x) = 2x + \sin 2x \, $ untuk $ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} , \, $ maka $ f^\prime (x) = .... $
(A) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( \tan x )^i $
(B) $ 4 ( 1 - \cos ^2 x ) $
(C) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} $
(D) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( - \sin x )^{2i} $
(E) $ 4 \cos 2x $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
turunan : $ y = \sin [g(x)] \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos [g(x)] $
Trigonometri : $ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 $
$ 1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x \, $ dan $ \cos x = \frac{1}{\sec x} $
Deret tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
sehingga , $ \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 + (-x^2) + x^4 + (-x^6) + .... $
Notasi sigma : $ \displaystyle \sum_{i=0}^\infty a^i = a^0 + a^1 + a^2 + a^3 + a^4 + ..... $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan dan memodifikasinya
$\begin{align} f(x) & = 2x + \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 2 + 2 \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2(1 + \cos 2x ) \\ & = 2(1 + 2\cos ^2 x \, - 1 ) \\ & = 4\cos ^2 x \\ & = 4. \frac{1}{\sec ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 + \tan ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 - (- \tan ^2 x) } \\ & = 4 ( 1 + (-\tan ^2 x) + (\tan ^4 x ) + (-\tan ^6 x ) + .... \\ & = 4 ( 1 -\tan ^2 x + \tan ^4 x -\tan ^6 x + .... \\ & = 4 ( (-1)^0(\tan x)^{2.0} + (-1)^1(\tan x)^{2.1} + (-1)^2(\tan x)^{2.2} + .... \\ & = 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} \end{align}$
Jadi, turunannya adalah $ f^\prime (x) = 4\displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} . \heartsuit $
Nomor 5
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\clubsuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\clubsuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar