Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Hasil penjumlahan semua penyelesaian $ \sin ^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \, $ untuk $ 0 \leq x < 2\pi \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$ \sin ^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \rightarrow \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} $
Nilai $ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \, $ dibagi menjadi dua :
$\begin{align} \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} & = 45^\circ \rightarrow x = 75^\circ \\ x - \frac{\pi}{6} & = 135^\circ \rightarrow x = 165^\circ \\ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} & = 225^\circ \rightarrow x = 255^\circ \\ x - \frac{\pi}{6} & = 315^\circ \rightarrow x = 345^\circ \end{align}$
Sehingga jumlah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah
jumlah = $ 75^\circ + 165^\circ + 255^\circ + 345^\circ = 840^\circ = \frac{14}{3} \pi $
Jadi, jumlah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ \frac{14}{3} \pi . \heartsuit $
Nomor 7
Misalkan ada 2 jalan dari kota A ke kota B, 4 jalan dari kota A ke kota C, 2 jalan dari kota B ke kota C. Dari kota B dan C masing-masing ada 3 jalan ke kota D. Jika seseorang dari kota A pergi ke kota D melalui kota B atau C atau kota B dan C, maka banyaknya cara yang dapat ia tempuh adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar Rute perjalanannya
um_ugm_matdas_2_2013.png
Untuk menyelesaiakan soal ini, kita menggunakan kaidah pecacahan yaitu aturan perkalian.
$\clubsuit \, $ Rute Perjalanan yang ditempuh dari A ke D :
1). Melalui B saja : A - B - D = 2 $ \times \, $ 3 = 6 cara
2). Melalui C saja : A - C - D = 4 $ \times \, $ 3 = 12 cara
3). Melalui B dan C : $ \left\{ \begin{array}{cc} \text{A - B - C - D} & = 2 \times 2 \times 3 = 12 \, \text{cara} \\ \text{A - C - B - D} & = 4 \times 2 \times 3 = 24 \, \text{cara} \end{array} \right. $
Sehingga total cara rute yang ditempuh adalah
total = 6 + 12 + 12 + 24 = 54
Jadi, total cara yang ditempuh ada 54 rute perjalan. $ \heartsuit$
Nomor 8
Nilai rata-rata tes matematika di suatu kelas adalah 72. Nilai rata-rata siswa putra adalah 75 dan nilai rata-rata siswa putri adalah 70. Jika banyaknya siswa putri 6 lebih banyak dari siswa putra, maka banyaknya siswa di kelas tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Rata-rata gabungan :
$ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_p.\overline{X}_p + n_l . \overline{X}_l}{n_p + n_l} $
Keterangan :
$ \overline{X}_\text{gb} \, $ = Rata-rata gabungan = 72
$ \overline{X}_p \, $ = Rata-rata kelompok perempuan = 70
$ \overline{X}_l \, $ = Rata-rata kelompok laki-laki = 75
$ n_p \, $ = banyaknya anggota kelompok perempuan
$ n_l \, $ = banyaknya anggota kelompok laki-laki
Pada soal diketahui banyak siswa perempuan 6 lebih banyak siswa laki-laki, artinya $ n_p = n_l + 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak siswa laki-laki ($n_l$)
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & = \frac{n_p.\overline{X}_p + n_l . \overline{X}_l}{n_p + n_l} \\ 72 & = \frac{(n_l+6).70 + n_l . 75}{(n_l+6) + n_l} \\ 72 & = \frac{70n_l + 420 + 75n_l}{2n_l+6} \, \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ 72.(2n_l +6) & = 145n_l + 420 \\ 144n_l + 432 & = 145n_l + 420 \\ n_l & = 12 \end{align}$
Sehingga banyak siswa perempuan :
$ n_p = n_l + 6 = 12 + 6 = 18 $
Total siswa = $ n_p+n_l \, $ = 18 + 12 = 30 siswa
Jadi, total siswa ada 30 siswa. $ \heartsuit$
Nomor 9
$ \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar :
$ (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 \, $ dan $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
$\clubsuit \, $ Rasionalkan masing-masing pecahan
$\begin{align} & \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} . \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}-\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} . \frac{1 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} \\ & = \frac{ 18 - 2\sqrt{18}.\sqrt{12} + 12 }{18-12} + \frac{ 5(1 - \sqrt{6}) }{1 - 6} \\ & = \frac{ 30 - 2\sqrt{18.12} }{6} + \frac{ 5(1 - \sqrt{6}) }{-5} \\ & = \frac{ 30 - 2\sqrt{216} }{6} + [ -(1 - \sqrt{6}) ] \\ & = \frac{ 30 - 2 . 6 . \sqrt{6} }{6} + \sqrt{6} - 1 \\ & = 5 - 2 \sqrt{6} + \sqrt{6} - 1 \\ & = 4 - \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ 4 - \sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 10
Nilai $ 1-x \, $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{8^{3-x}} = 4.2^{1-2x} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar eksponen
Persamaan : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
Sifat-sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, \, ; \, \, (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \sqrt{8^{3-x}} & = 4.2^{1-2x} \\ (2^3)^\frac{3-x}{2} & = 2^2.2^{1-2x} \\ 2^{3.\frac{3-x}{2}} & = 2^{2+(1-2x)} \\ 2^{\frac{9-3x}{2}} & = 2^{3-2x} \\ \frac{9-3x}{2} & = 3-2x \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 9-3x & = 6 - 4x \\ x & = -3 \end{align}$
Sehingga nilai $ 1 - x = 1 - (-3) = 4 $
Jadi, nilai $ 1 - x = 4 . \heartsuit $  
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Posting Komentar