Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{x-1}{x+1} < 1 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{x-1}{x+1} & < 1 \\ \frac{x-1}{x+1} - 1 & < 0 \\ \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} & < 0 \\ \frac{(x-1)-(x+1)}{x+1} & < 0 \\ \frac{-2}{x+1} & < 0 \end{align}$
Agar $ \frac{-2}{x+1} < 0 \, $ (negatif) , maka penyebutnya harus bernilai positif :
diperoleh : $ x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 $
Jadi, solusinya $ HP = \{ x > -1 \} . \heartsuit $
$\begin{align} \frac{x-1}{x+1} & < 1 \\ \frac{x-1}{x+1} - 1 & < 0 \\ \frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} & < 0 \\ \frac{(x-1)-(x+1)}{x+1} & < 0 \\ \frac{-2}{x+1} & < 0 \end{align}$
Agar $ \frac{-2}{x+1} < 0 \, $ (negatif) , maka penyebutnya harus bernilai positif :
diperoleh : $ x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 $
Jadi, solusinya $ HP = \{ x > -1 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $
Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = .... $
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ....pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c}
\frac{2x+1}{3} - \frac{2-3y}{2}=3, \\
\frac{4x+y}{6} + \frac{x+y}{3}=2.
\end{array} \right. $
Nilai $ x + y \, $ adalah ....
Nilai $ x + y \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan sistem persamaan
$\begin{align} \frac{2x+1}{3} - \frac{2-3y}{2} & = 3 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2(2x+1) - 3(2-3y) & = 18 \\ 4x + 9y & = 22 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{4x+y}{6} + \frac{x+y}{3} & = 2 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (4x+y) + 2(x+y) & = 12 \\ 6x + 3y & = 12 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 4x + 9y = 22 & \times 1 & 4x + 9y = 22 & \\ 6x + 3y = 12 & \times 3 & 18x + 9y = 36 & - \\ \hline & & -14x = -14 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
pers(ii) : $ 6x + 3y = 12 \rightarrow 6.1 + 3y = 12 \rightarrow y = 2 $
Sehingga nilai $ x + y = 1 + 2 = 3 $
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \heartsuit$
$\begin{align} \frac{2x+1}{3} - \frac{2-3y}{2} & = 3 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2(2x+1) - 3(2-3y) & = 18 \\ 4x + 9y & = 22 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{4x+y}{6} + \frac{x+y}{3} & = 2 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (4x+y) + 2(x+y) & = 12 \\ 6x + 3y & = 12 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 4x + 9y = 22 & \times 1 & 4x + 9y = 22 & \\ 6x + 3y = 12 & \times 3 & 18x + 9y = 36 & - \\ \hline & & -14x = -14 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
pers(ii) : $ 6x + 3y = 12 \rightarrow 6.1 + 3y = 12 \rightarrow y = 2 $
Sehingga nilai $ x + y = 1 + 2 = 3 $
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \heartsuit$
Nomor 9
Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00.
Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama.
Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi
sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi
tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan
$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai D
$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00. $ \heartsuit $
$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan
$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai D
$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ f(x+2) = \frac{1}{5x+2} , \, $ maka $ f^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsinya
Misal : $ p = x + 2 \rightarrow x = p - 2 $
Substitusi bentuk $ p = x + 2 $
$\begin{align} f(x+2) & = \frac{1}{5x+2} \\ f(p) & = \frac{1}{5(p-2)+2} \\ f(p) & = \frac{1}{5p-8} \end{align}$
sehingga : $ f(x) = \frac{1}{5x-8} $
$\spadesuit \, $ Menentukan inversnya berdasarkan konsep invers
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{5x-8} \, \, \, \, \text{(modifikasi)} \\ f(x) & = \frac{0x+1}{5x-8} \, \, \, \, \text{(konsep invers)} \\ f^{-1}(x) & = \frac{8x+1}{5x-0} \\ f^{-1}(x) & = \frac{8x+1}{5x} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ f^{-1}(x) = \frac{8x+1}{5x} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsinya
Misal : $ p = x + 2 \rightarrow x = p - 2 $
Substitusi bentuk $ p = x + 2 $
$\begin{align} f(x+2) & = \frac{1}{5x+2} \\ f(p) & = \frac{1}{5(p-2)+2} \\ f(p) & = \frac{1}{5p-8} \end{align}$
sehingga : $ f(x) = \frac{1}{5x-8} $
$\spadesuit \, $ Menentukan inversnya berdasarkan konsep invers
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{5x-8} \, \, \, \, \text{(modifikasi)} \\ f(x) & = \frac{0x+1}{5x-8} \, \, \, \, \text{(konsep invers)} \\ f^{-1}(x) & = \frac{8x+1}{5x-0} \\ f^{-1}(x) & = \frac{8x+1}{5x} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ f^{-1}(x) = \frac{8x+1}{5x} . \heartsuit $
Terima kasih <3
BalasHapus