Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 618 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ a & 9 \end{matrix} \right] \, $ merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A) = det \left( A^{-1} \right) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan : $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ a & 9 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 1.9 - a.2a = 9-2a^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = det \left( A^{-1} \right) \\ |A| & = | A^{-1} | \\ |A| & = \frac{1}{|A|} \\ |A|^2 & = 1 \\ |A| & = \pm 1 \\ \text{pertama : } \, |A| & = 1 \\ (9-2a^2) & = 1 \\ 2a^2 & = 8 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm 2 \\ a_1 = 2 \vee a_2 & = -2 \\ \text{kedua : } \, |A| & = -1 \\ (9-2a^2) & = -1 \\ 2a^2 & = 10 \\ a^2 & = 5 \rightarrow a = \pm \sqrt{5} \\ a_3 = \sqrt{5} \vee a_4 & = -\sqrt{5} \end{align}$
hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah
hasil kali = $ 2.(-2).\sqrt{5}.(-\sqrt{5}) = 4.5 = 20 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 20. $ \heartsuit $

Cara II : Operasi akar-akar persamaan polinomial
$\spadesuit \, $ Suku banyak (polinomial) : $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $
Hasil kali semua akar-akarnya : $ x_1.x_2.x_3.x_4 = \frac{e}{a} $
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan : $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ a & 9 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 1.9 - a.2a = 9-2a^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = det \left( A^{-1} \right) \\ |A| & = | A^{-1} | \\ |A| & = \frac{1}{|A|} \\ |A|^2 & = 1 \\ (9-2a^2)^2 & = 1 \\ (9-2a^2)^2 & = 1 \\ 81 - 36a^2 + 4a^4 & = 1 \\ 4a^4 - 36a^2 + 81 & = 0 \\ a_1.a_2.a_3.a_4 & = \frac{80}{4} = 20 \end{align}$
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 20. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 - 99x + p = 0 \, $ merupakan bilangan prima, maka nilai $ p \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 - 99x + p = 0 $
$ a = 1, \, b = -99 , \, $ dan $ c = p $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-99)}{1} = 99 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{1} = p \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Analisa (Akar-akarnya bilangan prima)
Jumlah kedua akarnya ganjil (99), agar penjumlahannya ganjil maka dua bilangan tersebut haruslah genap dan ganjil. Sementara bilangan prima yang genap hanyalah 2, sehingga salah satu akarnya adalah 2 (misal $ x _1 = 2 \, $ ).
$ x_1 + x_2 = 99 \rightarrow 2 + x_2 = 99 \rightarrow x_2 = 97 $
dimana 97 juga bilangan prima.
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 97 $
$ x_1.x_2 = p \rightarrow p = 2. 97 \rightarrow p = 194 $
Jadi, nilai $ p = 194. \heartsuit $
Nomor 13
Jika grafik parabola $ y = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2 satuan sehingga melalui titik (0,0), maka nilai $ a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Teknik Menggeser
Jika grafik $ y = f(x) \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh $ b , \, $ maka grafik barunya adalah $ y = f(x+b) $
$\spadesuit \, $ Grafik $ y = f(x) = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2, grafik barunya : $ y = f(x+2) $
$\begin{align} \text{grafik awal : } y & = x^2 - 3x + a \\ \text{grafik baru : } y & = f(x+2) \\ y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $

Cara II : Menggunakan transformasi geometri
$\spadesuit \, $ Konsep transformasi, khususnya translasi(pergeseran)
*). Grafik digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh b, artinya matriks translasinya $ T = \left( \begin{matrix} -b \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). pada soal ini, nilai $ b = 2 , \, $ sehingga $ T = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangannya
$ \begin{align} \text{byangannya } & = \text{ Matriks } + \text{ awalnya} \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 + x \\ y \end{matrix} \right) \\ x & = x^\prime + 2 \\ y & = y^\prime \end{align}$
*). awalnya : $ y = x^2 - 3x + a $
*). bayangannya : $ y^\prime = (x^\prime + 2)^2 - 3(x^\prime + 2) + a $
artinya setelah digeser terbentuk grafik yang baru yaitu : $ y = (x + 2)^2 - 3(x + 2) + a $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
Nomor 14
Suatu perusahaan memproduksi dua jenis produk. Penjualan produk tersebut dilakukan oleh agen yang telah ditunjuk. Untuk penjualan produk A terdapat 20 agen, sedangkan untuk penjualan produk B ada 40 agen. Total keuntungan semua agen dalam satu bulan terakhir sebesar 360 juta rupiah. Jika rata-rata keuntungan agen yang menjual produk A adalah sebesar dua kali rata-rata keuntungan agen yang menjual produk B, maka rata-rata keuntungan agen yang menjual produk A adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata
*). Rata-rata $(\overline{X}) \, = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
Diketahui : keuntungan total = 360 juta, ada total 60 agen
sehingga rata-ratanya : $ \overline{X} = \frac{360}{60} $
*). Rata-rata gabungan : $ \overline{X}_{gb} = \frac{n_A . \overline{X}_A + n_B.\overline{X}_B}{n_A + n_B} $
Rata-rata gabungan adalah rata-rata keseluruhan, sehingga $ \overline{X}_{gb} = \frac{360}{60} $
Diketahui : $ n_A = 20, \, n_B = 40 $
$ \overline{X}_A = 2\overline{X}_B \rightarrow \overline{X}_B = \frac{1}{2} \overline{X}_A $
$\clubsuit \,$ Menentukan rata-rata A $(\overline{X}_A)$
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_A . \overline{X}_A + n_B.\overline{X}_B}{n_A + n_B} \\ \frac{360}{60} & = \frac{20 . \overline{X}_A + 40.(\frac{1}{2}\overline{X}_A)}{20 + 40} \\ \frac{360}{\not{60}} & = \frac{20 \overline{X}_A + 20\overline{X}_A}{\not{60}} \\ 360 & = 40\overline{X}_A \\ \overline{X}_A & = \frac{360}{40} = 9 \end{align} $
Jadi, keuntungan rata-rata produk A adalah 9 juta rupiah. $ \heartsuit $
Nomor 15
Seorang siswa sedang melakukan percobaan statistika dengan cara menggunakan 6 bola bilyar berturut-turut bernomor 3, 4, 5, 6, 6, dan 7. Semua bola tersebut dimasukkan ke dalam kotak. Selanjutnya, diambil tiga bola secara acak dan dicatat angka yang muncul sehingga membentuk bilangan. Angka pada bola yang muncul pertama dicatata sebagai ratusan, angka pada bola kedua sebagai puluhan, dan angka pada bola ketiga sebagai satuan. Jika bilangan yang sama dianggap sebagai satu ejadian dan peluang setiap kejadian adalah sama, maka peluang untuk mendapatkan bilangan yang lebih kecil daripada 700 adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen
*). $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $ dan $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$ P(A^C) \, $ adalah peluang komplemen(lawan/kebalikan) dari $ P(A) $
Pada soal ini kita misalkan :
$ A \, $ = kejadian bilangan lebih besar sama dengan 700
$ A^c \, $ = kejadian bilangan lebih kecil daripada 700
$\spadesuit \, $ ada 6 angka yaitu 3, 4, 5, 6, 6, dan 7.
Menentukan semua tiga angka yang terbentuk [$n(S)$] dengan membagi menjadi dua kasus :
*). Kemungkinan I : Ratusan memuat angka 6
sbmptn_matdas_3_k618_2015.png
ratusannnya angka 6 sehingga ratusannya ada satu pilihan, dan sisanya angka 3, 4, 5, 6, 7 digunakan untuk mengisi angka puluhan dan satuannya. Puluhannya ada lima pilihan angka (3,4,5,6,7), dan satuannya ada empat pilihan angka tersisa.
sehingga KI = $ 1 \times 5 \times 4 = 20 $
*). Kemungkinan II : Ratusan tidak memuat angka 6
Misal ratusannya angka 3, untuk puluhannya dibagi menjadi dua kasus yaitu memuat angka 6 atau tidak
sbmptn_matdas_3a_k618_2015.png
puluhan memuat angka 6 : ratusannya angka 3 ada 1 pilihan, puluhannya angka 6 ada 1 pilihan dan satuannya ada 4 pilihan (4,5,6,7)
puluhan tidak memuat angka 6 : ratusannya angka 3 ada 1 pilihan, puluhannya ada 3 pilihan (4,5,7) dan satuannya ada 3 pilihan (angka 6 dan sisanya)
sehingga untuk ratusannya angka 3 ada $ 1 \times 1 \times 4 + 1 \times 3 \times 3 = 4 + 9 = 13 $
Sementara untuk ratusannya selain angka 3 bisa juga angka lain seperti 4,5,7 , artinya ada 4 kemungkinan ratusan yang tidak memuat angka 6.
KII = $ 4 \times 13 = 52 $
Diperoleh : $ n(S) = KI + KII = 20 + 52 = 72 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $ [bilangan $ \geq 700 $ ]
Agar bilangannya lebih besar sama dengan 700, maka ratusannya harus angka 7, kemudian angka puluhannya dibagi menjadi dua kasus yaitu memuat angka 6 atau tidak.
sbmptn_matdas_3b_k618_2015.png
ratusan angka 7 ada 1 pilihan, puluhan angka 6 ada 1 pilihan, satuan ada 4 pilihan (3,4,5,6).
ratusan angka 7 ada 1 pilihan, puluhan tidak memuat angka 6 ada 3 pilihan (3,4,5), satuan ada 3 pilihan sisanya.
Sehingga $ n(A) = 1.1.4 + 1.3.3 = 4 + 9 = 13 $
Peluang kejadian A :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{72} $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ P(A^c) \, $ [peluang bilangan kurang 700]
$ \begin{align} P(A^c) & = 1 - P(A) \\ & = 1 - \frac{13}{72} \\ & = \frac{72}{72} - \frac{13}{72} \\ & = \frac{59}{72} \end{align} $
Jadi, peluang terbentuknya bilangan lebih kecil daripada 700 adalah $ \frac{59}{72} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

1 komentar: