Nomor 11
Diketahui polinomial $ f(x) \, $ habis dibagi $ x - 1. \, $ Jika $ f^\prime (x) \, $ dibagi $ x - 1 \, $ bersisa $ a^2 \, $ dan
$ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} = 2a-1 \, $ maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai fungsi
$ f(x) : (x-1), \, $ habis dibagi, sisa = 0 , artinya $ f(1) = 0 $
$ f^\prime (x) : (x-1), \, $ sisa = $ a^2 $ , artinya $ f^\prime (1) = a^2 $
$\spadesuit \, $ Penerapan turunan pada limit (L'Hospital)
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} , \, $ solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan terus sampai hasil limitnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan $ f(1) = 0 \, $ dan $ f^\prime (1) = a^2 $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = \frac{f(1)}{1-1} = \frac{0}{0} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = 2a-1 \, \, \, \, \text{(limitnya diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2a-1 \\ \frac{f^\prime (1)}{1} & = 2a-1 \\ f^\prime (1) & = 2a-1 \\ a^2 & = 2a-1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai fungsi
$ f(x) : (x-1), \, $ habis dibagi, sisa = 0 , artinya $ f(1) = 0 $
$ f^\prime (x) : (x-1), \, $ sisa = $ a^2 $ , artinya $ f^\prime (1) = a^2 $
$\spadesuit \, $ Penerapan turunan pada limit (L'Hospital)
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} , \, $ solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan terus sampai hasil limitnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan $ f(1) = 0 \, $ dan $ f^\prime (1) = a^2 $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = \frac{f(1)}{1-1} = \frac{0}{0} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = 2a-1 \, \, \, \, \text{(limitnya diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2a-1 \\ \frac{f^\prime (1)}{1} & = 2a-1 \\ f^\prime (1) & = 2a-1 \\ a^2 & = 2a-1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor 12
Jika sudut lancip $ x \, $ memenuhi
$ 1 = {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) + {}^2 \log (\cos 2x) \, $
maka $ x = .... $
$ 1 = {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) + {}^2 \log (\cos 2x) \, $
maka $ x = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) $
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
Trigonometri : $ \sin px . \cos px = \frac{1}{2}. \sin 2px $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) & + {}^2 \log (\cos 2x) = 1 \\ {}^2 \log (16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = {}^2 \log 2 \\ 16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = 2 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 8.(\sin x .\cos x) .\cos 2x) & = 1 \\ 8.(\frac{1}{2}.\sin 2 x ) .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\sin 2 x .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\frac{1}{2}.\sin 4 x ) & = 1 \\ 2\sin 4 x & = 1 \\ \sin 4 x & = \frac{1}{2} \\ \sin 4 x & = \sin 30^\circ \\ \sin 4 x & = \sin \frac{\pi}{6} \\ 4 x & = \frac{\pi}{6} \\ x & = \frac{\pi}{24} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{\pi}{24} . \heartsuit $
Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) $
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
Trigonometri : $ \sin px . \cos px = \frac{1}{2}. \sin 2px $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) & + {}^2 \log (\cos 2x) = 1 \\ {}^2 \log (16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = {}^2 \log 2 \\ 16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = 2 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 8.(\sin x .\cos x) .\cos 2x) & = 1 \\ 8.(\frac{1}{2}.\sin 2 x ) .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\sin 2 x .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\frac{1}{2}.\sin 4 x ) & = 1 \\ 2\sin 4 x & = 1 \\ \sin 4 x & = \frac{1}{2} \\ \sin 4 x & = \sin 30^\circ \\ \sin 4 x & = \sin \frac{\pi}{6} \\ 4 x & = \frac{\pi}{6} \\ x & = \frac{\pi}{24} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{\pi}{24} . \heartsuit $
Nomor 13
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } = ..... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Trigonometri :
$ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x \, $ dan $ \cos x = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x $
Penjabaran bentuk :
$ 1 - \cos ^3 x = 1 - \cos x (\cos ^2 x) = 1 - \cos x (1-\sin ^2 x) $
$ = (1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x $
*). Limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-(1-2\sin ^2 \frac{1}{2} x )}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x . \sin x .\sin x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x }{x} . \frac{\sin \frac{1}{2} x }{\tan x } + \cos x . \frac{\sin x }{x} \frac{\sin x}{\tan x } \\ & = \frac{2. \frac{1}{2}}{1} . \frac{\frac{1}{2}}{1} + \cos 0 . \frac{1}{1} . \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{2} + 1 \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2}. \heartsuit $
*). Trigonometri :
$ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x \, $ dan $ \cos x = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x $
Penjabaran bentuk :
$ 1 - \cos ^3 x = 1 - \cos x (\cos ^2 x) = 1 - \cos x (1-\sin ^2 x) $
$ = (1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x $
*). Limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-(1-2\sin ^2 \frac{1}{2} x )}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x . \sin x .\sin x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x }{x} . \frac{\sin \frac{1}{2} x }{\tan x } + \cos x . \frac{\sin x }{x} \frac{\sin x}{\tan x } \\ & = \frac{2. \frac{1}{2}}{1} . \frac{\frac{1}{2}}{1} + \cos 0 . \frac{1}{1} . \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{2} + 1 \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2}. \heartsuit $
Cara II :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Trigonometri pada limit : $ 1 - \cos ^3 px = \frac{3}{2}(px)^2 $
Sehingga : $ 1 - cos ^3 x = \frac{3}{2} (1x)^2 = \frac{3}{2}x^2 $
*). Limit trigonometri : $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x}{\tan x } \\ & = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2}. \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Trigonometri pada limit : $ 1 - \cos ^3 px = \frac{3}{2}(px)^2 $
Sehingga : $ 1 - cos ^3 x = \frac{3}{2} (1x)^2 = \frac{3}{2}x^2 $
*). Limit trigonometri : $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x}{\tan x } \\ & = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2}. \heartsuit $
Nomor 14
Jika kurva $ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \, $ mempunyai titik ekstrem (1, -5), maka kurva tersebut naik pada ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Titik ekstrim (titik balik) :
Titik ekstrim (titik balik) suatu fungsi $ f(x) \, $ diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol. Misalkan titik ekstrimnya $(m,n) \, $ artinya nilai $ x = m \, $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 \, $ atau $ f^\prime (m) = 0 $
*). Fungsi $ f(x) \, $ naik syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Fungsi $ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \, $ mempunyai titik ekstrim (1,-5) , artinya $ f^\prime (1) = 0 \, $ dan $ f(1) = -5 $
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx $
Substitusi bentuk $ f^\prime (1) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (1) & = 0 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx \\ 3a.1^2 + 2b.1 & = 0 \\ 3a + 2b & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ekstrimnya ke fungsi
$\begin{align} f(1) & = -5 \rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \\ a.1^3 + b.1^2 + 1 & = -5 \\ a+ b & = -6 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 3a + 2b = 0 & \times 1 & 3a + 2b = 0 & \\ a + b = -6 & \times 2 & 2a + 2b = -12 & - \\ \hline & & a = 12 & \end{array} $
pers(ii) : $ a + b = -6 \rightarrow 12 + b = -6 \rightarrow b = -18 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f(x) = 12x^3 - 18x^2 + 1 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 36x^2 - 36x $
$\spadesuit \, $ Menentukan syarat fungsi $ f(x) \, $ naik
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 36x^2 - 36x & > 0 \\ 36x(x-1) & > 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align}$
Jadi, $ f(x) \, $ naik pada interval $ \{ x < 0 \vee x > 1 \} . \heartsuit $
*). Titik ekstrim (titik balik) :
Titik ekstrim (titik balik) suatu fungsi $ f(x) \, $ diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol. Misalkan titik ekstrimnya $(m,n) \, $ artinya nilai $ x = m \, $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 \, $ atau $ f^\prime (m) = 0 $
*). Fungsi $ f(x) \, $ naik syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Fungsi $ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \, $ mempunyai titik ekstrim (1,-5) , artinya $ f^\prime (1) = 0 \, $ dan $ f(1) = -5 $
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx $
Substitusi bentuk $ f^\prime (1) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (1) & = 0 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx \\ 3a.1^2 + 2b.1 & = 0 \\ 3a + 2b & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ekstrimnya ke fungsi
$\begin{align} f(1) & = -5 \rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \\ a.1^3 + b.1^2 + 1 & = -5 \\ a+ b & = -6 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 3a + 2b = 0 & \times 1 & 3a + 2b = 0 & \\ a + b = -6 & \times 2 & 2a + 2b = -12 & - \\ \hline & & a = 12 & \end{array} $
pers(ii) : $ a + b = -6 \rightarrow 12 + b = -6 \rightarrow b = -18 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f(x) = 12x^3 - 18x^2 + 1 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 36x^2 - 36x $
$\spadesuit \, $ Menentukan syarat fungsi $ f(x) \, $ naik
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 36x^2 - 36x & > 0 \\ 36x(x-1) & > 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align}$
Jadi, $ f(x) \, $ naik pada interval $ \{ x < 0 \vee x > 1 \} . \heartsuit $
Nomor 15
Dari 15 anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki
dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah ....
$\clubsuit \, $ Ada 15 anak laki-laki dan perempuan, akan diambil 2 anak bersamaan. Banyaknya kemungkinan terambil
laki-laki dan perempuan adalah 26, sehingga :
$\begin{align} C_1^p . C_1^l & = 26 \\ p.l & = 26 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Dimana banyaknya laki-laki ($l$) dan perempuan ($p$) adalah bilangan bulat. Banyaknya laki-laki dan perempuan yang memenuhi persamaan (i) dan jumlahnya 15 adalah $ p = 2 \, $ dan $ l = 13 \, $
Sehingga selisihnya : selisih = 13 - 2 = 11
Jadi, selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah 11. $ \heartsuit $
$\begin{align} C_1^p . C_1^l & = 26 \\ p.l & = 26 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Dimana banyaknya laki-laki ($l$) dan perempuan ($p$) adalah bilangan bulat. Banyaknya laki-laki dan perempuan yang memenuhi persamaan (i) dan jumlahnya 15 adalah $ p = 2 \, $ dan $ l = 13 \, $
Sehingga selisihnya : selisih = 13 - 2 = 11
Jadi, selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah 11. $ \heartsuit $
Yang nomor 13, untuk yang cara 2 itu didapat dari mana ya yang konsep dasar trigonometri?
BalasHapus