Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Diketahui polinomial

$f(x) \,$ habis dibagi

$x - 1. \,$ Jika

$f^\prime (x) \,$ dibagi

$x - 1 \,$ bersisa

$a^2 \,$ dan

$\displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} = 2a-1 \,$ maka

$a = ....$

$\spadesuit \,$ Teorema sisa :

$\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi

$x=a\,$ ke

$f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai fungsi

$f(x) : (x-1), \,$ habis dibagi, sisa = 0 , artinya

$f(1) = 0$

$f^\prime (x) : (x-1), \,$ sisa =

$a^2$ , artinya

$f^\prime (1) = a^2$

$\spadesuit \,$ Penerapan turunan pada limit (L'Hospital)

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} , \,$ solusinya

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}$
diturunkan terus sampai hasil limitnya tidak

$\frac{0}{0}$

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a \,$ dengan

$f(1) = 0 \,$ dan

$f^\prime (1) = a^2$

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = \frac{f(1)}{1-1} = \frac{0}{0} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = 2a-1 \, \, \, \, \text{(limitnya diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2a-1 \\ \frac{f^\prime (1)}{1} & = 2a-1 \\ f^\prime (1) & = 2a-1 \\ a^2 & = 2a-1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai

$a = 1 . \heartsuit$

Nomor 12

Jika sudut lancip

$x \,$ memenuhi

$1 = {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) + {}^2 \log (\cos 2x) \,$
maka

$x = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar
Persamaan logaritma :

${}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x)$
Sifat logaritma :

${}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc)$
Trigonometri :

$\sin px . \cos px = \frac{1}{2}. \sin 2px$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) & + {}^2 \log (\cos 2x) = 1 \\ {}^2 \log (16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = {}^2 \log 2 \\ 16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = 2 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 8.(\sin x .\cos x) .\cos 2x) & = 1 \\ 8.(\frac{1}{2}.\sin 2 x ) .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\sin 2 x .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\frac{1}{2}.\sin 4 x ) & = 1 \\ 2\sin 4 x & = 1 \\ \sin 4 x & = \frac{1}{2} \\ \sin 4 x & = \sin 30^\circ \\ \sin 4 x & = \sin \frac{\pi}{6} \\ 4 x & = \frac{\pi}{6} \\ x & = \frac{\pi}{24} \end{align}$
Jadi, nilai

$x = \frac{\pi}{24} . \heartsuit$

Nomor 13

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } = .....$

$\clubsuit \,$ Konsep dasar
*). Trigonometri :

$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x \,$ dan

$\cos x = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x$
Penjabaran bentuk :

$1 - \cos ^3 x = 1 - \cos x (\cos ^2 x) = 1 - \cos x (1-\sin ^2 x)$

$= (1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x$
*). Limit trigonometri :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \,$ dan

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan limitnya

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-(1-2\sin ^2 \frac{1}{2} x )}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x . \sin x .\sin x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x }{x} . \frac{\sin \frac{1}{2} x }{\tan x } + \cos x . \frac{\sin x }{x} \frac{\sin x}{\tan x } \\ & = \frac{2. \frac{1}{2}}{1} . \frac{\frac{1}{2}}{1} + \cos 0 . \frac{1}{1} . \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{2} + 1 \\ & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah

$\frac{3}{2}. \heartsuit$

Cara II :

$\clubsuit \,$ Konsep dasar
*). Trigonometri pada limit :

$1 - \cos ^3 px = \frac{3}{2}(px)^2$
Sehingga :

$1 - cos ^3 x = \frac{3}{2} (1x)^2 = \frac{3}{2}x^2$
*). Limit trigonometri :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan limitnya

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x}{\tan x } \\ & = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah

$\frac{3}{2}. \heartsuit$

Nomor 14

Jika kurva

$f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \,$ mempunyai titik ekstrem (1, -5), maka kurva tersebut naik pada ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar
*). Titik ekstrim (titik balik) :
Titik ekstrim (titik balik) suatu fungsi

$f(x) \,$ diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol. Misalkan titik ekstrimnya

$(m,n) \,$ artinya nilai

$x = m \,$ diperoleh pada saat

$f^\prime (x) = 0 \,$ atau

$f^\prime (m) = 0$
*). Fungsi

$f(x) \,$ naik syaratnya :

$f^\prime (x) > 0$

$\spadesuit \,$ Fungsi

$f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \,$ mempunyai titik ekstrim (1,-5) , artinya

$f^\prime (1) = 0 \,$ dan

$f(1) = -5$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx$
Substitusi bentuk

$f^\prime (1) = 0$

$\begin{align} f^\prime (1) & = 0 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx \\ 3a.1^2 + 2b.1 & = 0 \\ 3a + 2b & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi titik ekstrimnya ke fungsi

$\begin{align} f(1) & = -5 \rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \\ a.1^3 + b.1^2 + 1 & = -5 \\ a+ b & = -6 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{c|c|cc} 3a + 2b = 0 & \times 1 & 3a + 2b = 0 & \\ a + b = -6 & \times 2 & 2a + 2b = -12 & - \\ \hline & & a = 12 & \end{array}$
pers(ii) :

$a + b = -6 \rightarrow 12 + b = -6 \rightarrow b = -18$
Sehingga fungsinya :

$f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f(x) = 12x^3 - 18x^2 + 1$
Turunannya :

$f^\prime (x) = 36x^2 - 36x$

$\spadesuit \,$ Menentukan syarat fungsi

$f(x) \,$ naik

$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 36x^2 - 36x & > 0 \\ 36x(x-1) & > 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align}$

Jadi,

$f(x) \,$ naik pada interval

$\{ x < 0 \vee x > 1 \} . \heartsuit$

Nomor 15

Dari 15 anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah ....

$\clubsuit \,$ Ada 15 anak laki-laki dan perempuan, akan diambil 2 anak bersamaan. Banyaknya kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, sehingga :

$\begin{align} C_1^p . C_1^l & = 26 \\ p.l & = 26 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Dimana banyaknya laki-laki (

$l$ ) dan perempuan (

$p$ ) adalah bilangan bulat. Banyaknya laki-laki dan perempuan yang memenuhi persamaan (i) dan jumlahnya 15 adalah

$p = 2 \,$ dan

$l = 13 \,$
Sehingga selisihnya : selisih = 13 - 2 = 11
Jadi, selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah 11.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

1 komentar:

Aezakmi14 Juni 2018 pukul 18.05
Yang nomor 13, untuk yang cara 2 itu didapat dari mana ya yang konsep dasar trigonometri?
BalasHapus
Balasan

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.

dunia informa

Pages - Menu

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 11 sampai 15

Artikel Terkait

1 komentar: