Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diberikan matriks $ P = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ \, Q = \left( \begin{matrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{matrix} \right) \, $ dengan $ r \neq 0 \, $ dan $ p \neq 0 $ . Matriks $PQ \, $ tidak mempunyai invers apabila nilai $ p = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Matriks
*). Determinan matriks A disimbolkan |A|
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = a.d - b.c $
*). Sifat determinan : $ |AB| = |A|.|B| $
*). Matriks tidak mempunyai invers, syaratnya : determiannya = 0 .
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$ P = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |P| = 2.3 - 4.(-1) = 6 + 4 = 10 $
$ Q = \left( \begin{matrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{matrix} \right) \rightarrow |Q| = 2r.(p+1) - r.1 = r(2p+1) $
Matriks PQ tidak punya invers, maka $ |PQ| = 0 $.
$\begin{align} PQ & = 0 \\ |PQ| & = 0 \\ |P|.|Q| & = 0 \\ 10. r(2p+1) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 10)} \\ r(2p+1) & = 0 \\ r = 0 \vee (2p+1) & = 0 \\ r = 0 \vee p & = -\frac{1}{2} \end{align}$
Karena $ r \neq 0 \, $ , maka yang memenuhi adalah $ p = -\frac{1}{2} $.
Jadi, nilai $ p = -\frac{1}{2}. \, \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ \sin \theta = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \, $ dan $ \sin \theta = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \, $ , dengan $ a,b \neq 0 , \, $ maka $ a^2 + b^2 = .... $
$\clubsuit \, $ Identitas trigonometri : $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $
$\clubsuit \, $ Kuadratkan semua persamaan :
Persamaan pertama :
$\begin{align} \sin \theta & = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \\ (\sin \theta )^2 & = \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)^2 = \left( \frac{b - a}{ab} \right)^2 \\ \sin ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2b^2} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \\ (\cos \theta )^2 & = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^2 = \left( \frac{b + a}{ab} \right)^2 \\ \cos ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a^2b^2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Jumlahkan kedua persamaan dan gunakan identitas trigonometri
$\begin{align} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2b^2} + \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a^2b^2} \\ 1 & = \frac{2a^2 + 2b^2 }{a^2b^2} \\ 2(a^2 + b^2 ) & = a^2 b^2 \\ a^2 + b^2 & = \frac{a^2 b^2}{2} \end{align}$
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{a^2 b^2}{2} . \, \heartsuit $
Nomor 13
Dari 10 siswa terbaik, salah satunya Ayu, akan dipilih 3 siswa untuk mewakili sekolah. Peluang Ayu terpilih mewakili sekolah adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang kejadian A [P(A)] :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ n(A) = \, $ kejadian yang diharapkan,
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel).
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $ dan $ n(S) $ ,
*). Ada 10 orang, akan dipilih 3 orang sebagai tim, artinya tidak memperhatikan urutan (ABC = BCA) sehingga menggukanan kombinasi.
$ n(S) = C_3^{10} = \frac{10!}{(10-3)!.3!} = \frac{10.9.8.7!}{7!.3.2.1} = 120 $
*). Harapannya : Ayu harus terpilih, artinya kita tinggal memilih dua orang saja dari 9 orang yang ada.
$ n(A) = C_2^{9} = \frac{9!}{(9-2)!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.2.1} = 36 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S) } = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{10}. \, \heartsuit $
Nomor 14
Lima siswa pria dan tiga wanita akan duduk berdampingan dalam satu baris. Jika disyaratkan kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada 2 wanita duduk berdampingan, maka banyak cara duduk 8 siswa tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Susunan yang mungkin :
*). Kemungkinan pertama,
um_ugm_matdas_2015_4a.png
Cara I $ = (5.4).3!.3! = 720 $
*). Kemungkinan kedua,
um_ugm_matdas_2015_4b.png
Cara II $ = (5.4).3!.3! = 720 $
$\clubsuit \, $ Total susunan yang mungkin :
Total = cara I $ + $ cara II = $ 720 + 720 = 1440 $.
Jadi, banyak cara duduk 8 siswa adalah 1.440 cara. $ \, \heartsuit $

Keterangan gambar :
*). Pada kasus duduk, "URUTAN" duduk diperhatikan artinya AB $ \neq $ BA.
um_ugm_matdas_2015_4a.png
*). Dari gambar ini, kita tempatkan dua orang pria untuk mengisi ujung-ujung. Ujung sebelah kiri ada 5 pilihan pria dan ujung sebelah kanan ada 4 pilihan pria karena satu pria sudah duduk di ujung kiri, sehingga penempatan ujung-ujung ada $ 5. 4 \, $ cara .
*). Sisanya ada 3 pria (3P) dan 3 wanita (3W) untuk mengisi 6 tempat kosong ditengah dengan selang-seling yaitu PWPWPW, sehingga penempatannya kita pisah yaitu 3P sendiri dengan 3! cara dan 3W sendiri dengan 3! cara.
Total cara gambar I = $ 5.4.3!.3! $.

Untuk gambar kedua, penempatan 3P dan 3W ditengah dengan cara WPWPWP, dan penghitungannya sama dengan gambar I.
Nomor 15
Jika $ f(x) = \sqrt{x+1}, \, x \geq -1 \, $ dan $ g(x) = \frac{x+1}{x}, \, x \neq 0, \, $ maka $ (g \circ f)^{-1}(2) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Invers fungsi komposisi : $ (g \circ f)^{-1} (x) = (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) $
*). Invers fungsi : $ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d } \rightarrow f^{-1} = \frac{dx - b}{-cx + a } $
$\spadesuit \, $ Menentukan invers masing-masing fungsi :
*). invers fungsi $ g(x) $ :
$ \begin{align} g(x) & = \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x + 0 } \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{-1}{-x + 1 } \end{align} $
*). invers fungsi $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) = \sqrt{x+1} \rightarrow y & = \sqrt{x+1} \\ x + 1 & = y^2 \\ x & = y^2 -1 \\ f^{-1} (x) & = x^2 - 1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1}(x) & = (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) \\ & = f^{-1} (g^{-1}(x)) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-1}{-x + 1 } \right) \\ (g \circ f)^{-1}(x) & = \left( \frac{-1}{-x + 1 } \right)^2 - 1 \\ (g \circ f)^{-1}(2) & = \left( \frac{-1}{-2 + 1 } \right)^2 - 1 \\ & = \left( \frac{-1}{-1 } \right)^2 - 1 \\ & = 1 - 1 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ (g \circ f)^{-1}(2) = 0 . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

2 komentar:

  1. Min itu no. 14 hrsnya ada dua kondisi lagi.
    PWPPWPWP dan sebaliknya, jadi total caranya 4.720=2880

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Lord_Az,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa ini.

      Terimakasih untuk koreksinya, ini sangat membantu untuk meningkatkan ketelitian pembahasannya. Jika ada koreksi yang lainnya, mohon untuk share di kolom komentar ya.

      Semoga blog ini terus bisa membantu.

      Hapus