Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika diketahui $ f(x-3) = \frac{x-6}{x+3}, \, $ maka $ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = .... $
$\spadesuit \, $ Definisi invers fungsi : $ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $
Misalkan hasil dari $ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = a \, $ maka
$ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = a \leftrightarrow f(a) = \frac{1}{2} $.
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk $ f(x-3) = \frac{x-6}{x+3} \, $ dan $ f(a) = \frac{1}{2} $
$\begin{align} f(x-3) & = \frac{x-6}{x+3} \\ f(a) & = \frac{1}{2} \end{align}$
diperoleh $ a = x - 3 \, $ dan $ \frac{x-6}{x+3} = \frac{1}{2} $.
$ \frac{x-6}{x+3} = \frac{1}{2} \rightarrow 2x - 12 = x + 3 \rightarrow x = 15 $.
Sehingga nilai $ a = x - 3 = 15 - 3 = 12 $.
Artinya nilai $ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = a = 12 $.
Jadi, nilai $ f^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = 12. \, \heartsuit$
Nomor 17
Jika garis $ h \, $ menyinggung kurva $ y = \cos x - \sin x \, $ di titik yang absisnya $ \frac{\pi}{4} , \, $ maka garis $ h \, $ memotong sumbu Y di titik ....
$\clubsuit \,$ Konsep garis singgung di titik ($x_1,y_1$) adalah :
$ y - y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
$\clubsuit \,$ Menentukan titik singgung dan gradien
*). Substitusi absisnya : $ x = \frac{\pi}{4} $
$\begin{align} x = \frac{\pi}{4} \rightarrow y & = \cos x - \sin x \\ y & = \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4} \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = 0 \end{align}$
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1 , y_1 ) = ( \frac{\pi}{4} , 0 ) $.
*). Menentukan turunan dan gradien saat $ x_1 = \frac{\pi}{4} $
$\begin{align} y & = \cos x - \sin x \\ f^\prime (x) & = -\sin x - \cos x \\ x_1 = \frac{\pi}{4} \rightarrow f^\prime (x) & = -\sin x - \cos x \\ m & = f^\prime (x_1) = -\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4} \\ & = -\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = -\sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menyusun PGS di titik $ (x_1 , y_1 ) = ( \frac{\pi}{4} , 0 ) \, $ dan $ m = -\sqrt{2} $
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 0 & = -\sqrt{2}(x- \frac{\pi}{4} ) \\ y & = -\sqrt{2}x + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = -\sqrt{2}x + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} \\ y & = -\sqrt{2} . 0 + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} \\ y & = \frac{\pi}{4} \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, titik potong sumbu Y adalah $ (0, \frac{\pi}{4} \sqrt{2}) . \, \heartsuit $
Nomor 18
Diketahui $ xy + ax^2 + bx + c = 0. \, $ Agar $ x+y \, $ memiliki nilai maksimum/minimum relatif, maka ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Fungsi $ f(x) \, $ mempunyai nilai maksimum/minimum relatif jika ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 \, $ atau dengan kata lain $ f^\prime (x) = 0 \, $ ada akar-akarnya.
*). Bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar syaratnya : $ D \geq 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Turunan fungsi bentuk pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime V - UV^\prime}{V^2} $
$\spadesuit \, $ Modifikasi persamaan :
$\begin{align} xy + ax^2 + bx + c & = 0 \\ xy & = - ax^2 - bx - c \\ y & = \frac{- ax^2 - bx - c}{x} \end{align}$
Sehingga bentuk $ x + y \, $ adalah
$\begin{align} x + y & = x + \frac{- ax^2 - bx - c}{x} \\ x + y & = \frac{x^2 - ax^2 - bx - c}{x} \\ f(x) & = \frac{(1 - a)x^2 - bx - c}{x} \\ \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = \frac{(1 - a)x^2 - bx - c}{x} \\ U & = (1 - a)x^2 - bx - c \rightarrow U^\prime = 2(1-a)x - b \\ V & = x \rightarrow V^\prime = 1 \\ f(x) & = \frac{U}{V} \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime V - UV^\prime}{V^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{(2(1-a)x - b).x - ((1 - a)x^2 - bx - c).1}{x^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{ (1-a)x^2 + c}{x^2} \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{ (1-a)x^2 + c}{x^2} & = 0 \\ (1-a)x^2 + c & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar $ f(x) \, $ mempunyai nilai maks/min, maka $ f^\prime (x) = 0 \, $ atau $ (1-a)x^2 + c = 0 \, $ mempunyai akar dengan syarat $ D \geq 0 $ .
Bentuk $ (1-a)x^2 + c = 0 \, $ , nilai $ a = (1 - a), b = 0, c = c $.
$\begin{align} D & \geq 0 \\ b^2 - 4ac & \geq 0 \\ 0^2 - 4(1-a)c & \geq 0 \\ - 4(1-a)c & \geq 0 \\ 4(a-1)c & \geq 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ (a-1)c & \geq 0 \end{align}$
Karena bentuk $ (a-1).c \, $ nilainya positif, maka pembagiannya juga bernilai positif, sehingga $ \frac{c}{a-1} > 0 $.
jadi, kita peroleh $ \frac{c}{a-1} > 0 . \, \heartsuit $
Nomor 19
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} U_1 & -U_2 \\ U_4 & U_3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ U_n \, $ adalah suku ke-$n$ barisan geometri. Jika $ U_1 + U_3 = \frac{1}{p} \, $ dan $ U_2 + U_4 = \frac{1}{q} \, $ dengan $ p,q \neq 0, \, $ maka determinan A sama dengan ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |a| = ad - bc $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan :
Persamaan pertama :
$\begin{align} U_1 + U_3 & = \frac{1}{p} \\ a + ar^2 & = \frac{1}{p} \\ a(1 + r^2) & = \frac{1}{p} \\ (1 + r^2) & = \frac{1}{pa} \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} U_2 + U_4 = \frac{1}{q} \\ ar + ar^3 & = \frac{1}{q} \\ ar(1 + r^2) & = \frac{1}{q} \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} ar(1 + r^2) & = \frac{1}{q} \\ ar. \frac{1}{pa} & = \frac{1}{q} \\ \frac{r}{p} & = \frac{1}{q} \\ r & = \frac{p}{q} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi bentuk $ r = \frac{p}{q} \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a(1 + r^2) & = \frac{1}{p} \\ a(1 + (\frac{p}{q})^2) & = \frac{1}{p} \\ a(1 + \frac{p^2}{q^2}) & = \frac{1}{p} \\ a(\frac{q^2 + p^2}{q^2}) & = \frac{1}{p} \\ a & = \frac{1}{p} . \frac{q^2}{q^2 + p^2} \\ a & = \frac{q^2}{p(q^2 + p^2)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan Determinan
$\begin{align} A & = \left( \begin{matrix} U_1 & -U_2 \\ U_4 & U_3 \end{matrix} \right) \\ |A| & = U_1.U_3 - (-U_2).U_4 \\ & = U_1.U_3 + U_2.U_4 \\ & = a.ar^2 + ar.ar^3 \\ & = a^2r^2(1 + r^2) \\ & = a^2r^2. \frac{1}{pa} \\ & = ar^2. \frac{1}{p} \\ & = \frac{q^2}{p(q^2 + p^2)} .(\frac{p}{q})^2. \frac{1}{p} \\ & = \frac{q^2}{p^2(q^2 + p^2)} .\frac{p^2}{q^2} \\ & = \frac{1}{q^2 + p^2} \end{align}$
Jadi, determinan matriksnya adalah $ \frac{1}{q^2 + p^2} . \, \heartsuit$
Nomor 20
Diketahui $ f(x) = mx + c \, $ dengan $ f^{-1}(2) = -3 \, $ dan $ f^{-1}(8) = 6 \, $ dengan $ f^{-1} \, $ menyatakan fungsi invers $ f. \, $
Nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{(3+h)f(3) - 3f(3+h)}{h} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Fungsi invers : $ f^{-1}(A) = B \leftrightarrow f(B) = A $
*). Turunan : $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . f^\prime [g(x)] $
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{h \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{h \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{h \to a } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
$\spadesuit \, $ Menyusun fungsi $ f(x) \, $ dengan $ f(x) = mx + c $
$\begin{align} f^{-1}(2) = -3 \rightarrow f(-3) & = 2 \\ m(-3) + c & = 2 \\ -3m + c & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ f^{-1}(8) = 6 \rightarrow f(6) & = 8 \\ m(6) + c & = 8 \\ 6m + c & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} 6m + c = 8 & \\ -3m + c = 2 & - \\ \hline 9m = 6 & \\ m = \frac{2}{3} & \end{array} $
Pers(i) : $ -3m + c = 2 \rightarrow -3. \frac{2}{3} + c = 2 \rightarrow c = 4 $.
Sehingga : $ f(x) = mx + c = \frac{2}{3}x + 4 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = \frac{2}{3} $.
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{(3+h)f(3) - 3f(3+h)}{h} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(3) - 3f^\prime (3+h)}{1} \\ & = \frac{f(3) - 3f^\prime (3+0)}{1} \\ & = f(3) - 3f^\prime (3) \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi ke fungsinya)} \\ & = (\frac{2}{3} . 3 + 4) - 3. \frac{2}{3} \\ & = (2 + 4) - 2 \\ & = 6 - 2 \\ & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 4. $ \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

2 komentar:

  1. Maaf sebelumnya, untuk nomor 20 turunan dari (3+h)f(3) apa tidak salah ya?
    Makasih atas karya nya

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow @Ericko,

      coba perhatikan bentuknya :

      $ (3+h)f(3) = 3f(3) + f(3).h $
      sehingga turunannya :
      $ f(3) $

      ingat : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $

      bentuk $ f(3) $ adalah angka/konstanta.

      seperti itu penjelasannya.

      semoga bisa membantu.

      Hapus