Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui fungsi $ f \, $ dengan $ f(1) = 2 \, $ dan $ f^\prime (1) = 1 . \, $ Jika $ g(x) = \frac{\sqrt{1 + x + f(x)}}{f^2(x)} \, $ , dengan $ f^2 (x) = f(x).f(x) , \, $ maka nilai $ g^\prime (1) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Turunan
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime.V - U.V^\prime}{V^2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align} g(x) & = \frac{\sqrt{1 + x + f(x)}}{f^2(x)} = \frac{U}{V} \\ U & = \sqrt{1 + x + f(x)} \rightarrow U^\prime = \frac{ 1 + f^\prime (x) }{2\sqrt{1 + x + f(x)}} \\ V & = f^2(x) = [f(x)]^2 \rightarrow V^\prime = 2[f(x)].f^\prime (x) \\ g(x) & = \frac{U}{V} \\ g^\prime (x) & = \frac{U^\prime.V - U.V^\prime}{V^2} \\ g^\prime (x) & = \frac{ \frac{ 1 + f^\prime (x) }{2\sqrt{1 + x + f(x)}} . [f(x)]^2 - \sqrt{1 + x + f(x)}. 2[f(x)].f^\prime (x)}{[f(x)]^4} \\ g^\prime (1) & = \frac{ \frac{ 1 + f^\prime (1) }{2\sqrt{1 + 1 + f(1)}} . [f(1)]^2 - \sqrt{1 + 1 + f(1)}. 2[f(1)].f^\prime (1)}{[f(1)]^4} \\ & = \frac{ \frac{ 1 + 1 }{2\sqrt{1 + 1 + 2}} . [2]^2 - \sqrt{1 + 1 + 2}. 2[2].1}{[2]^4} \\ & = \frac{ \frac{ 2 }{4} . 4 - 2. 4}{16} \\ & = \frac{ 2 - 8}{16} \\ & = \frac{ -6}{16} \\ & = \frac{ -3}{8} \end{align}$
Jadi, Nilai $ g^\prime (1) = \frac{ -3}{8} . \, \heartsuit $
Nomor 12
Fungsi $ f(x) = x - 2\sqrt{x+a} \, $ mempunyai nilai minimum $ b $ did titik $ x = -4 $ . Nilai $ a + b \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Turunan : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
*). Syarat minimum : $ f^\prime (x) = 0 $.
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan dan syarat minimum :
$\begin{align} f(x) & = x - 2\sqrt{x+a} \\ f^\prime (x) & = 1 - 2. \frac{1}{2\sqrt{x+a}} \\ f^\prime (x) & = 1 - \frac{1}{\sqrt{x+a}} \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat minimum)} \\ 1 - \frac{1}{\sqrt{x+a}} & = 0 \\ \sqrt{x+a} & = 1 \\ x+a & = 1 \\ x & = 1 - a \end{align}$
Artinya $ f(x) \, $ minimum saat $ x = 1 - a \, $ dengan $ x = -4 $
Sehingga : $ 1 - a = -4 \rightarrow a = 5 $.
Fungsinya : $ f(x) = x - 2\sqrt{x+a} \rightarrow f(x) = x - 2\sqrt{x+5} $ .
$\clubsuit \, $ Nilai minimum $ f(x) = b \, $ pada saat $ x = -4 \, $ artinya $ f(-4) = b $
$\begin{align} f(x) & = \\ b & = f(-4) \\ b & = -4 - 2\sqrt{-4+5} \\ b & = -4 - 2\sqrt{1} \\ b & = -4 - 2 \\ b & = -6 \end{align}$
Jadi, nilai $ a + b = 5 + (-6) = -1. \, \heartsuit $
Nomor 13
Di dalam kotak terdapat tiga buah bola yang masing-masing berwarna merah, biru, dan hijau. Jika lima siswa bergiliran mengambil satu bola dan setelah bola terambil dikembalikan lagi ke kotak, maka banyak kombinasi warna yang mungkin adalah ....
Cara I : mendaftar langsung
$\clubsuit \, $ Misalkan : M = bola merah, B = bola biru, dan H = bola hijau.
$\clubsuit \, $ Susunan kombinasi warna yang mungkin :
*). kelimanya sama artinya bisa semuanya merah atau kelimanya biru atau kelimanya hijau. Ada 3 cara.
*). empat sama dan satu beda :
Susunannya : 4M1B, 4M1H, 4B1M,4B1H, 4H1M, 4H1B. Ada 6 cara.
*). tiga sama dan dua beda :
Susunannya : 3M1B1H, 3B1M1H, 3H1B1M. Ada 3 cara.
*). 3 sama dan dua sama :
Susunannya : 3M2B, 3M2H, 3B2M,3B2H, 3H2M, 3H2B. Ada 6 cara.
*). dua sama, dua sama dan satu beda :
Susunannya : 2M2B1H, 2M1B2H, 1M2B2H. Ada 3 cara.
Sehingga total cara $ = 3 + 6 + 3 + 6 + 3 = 21 \, $ cara.
Jadi, ada 21 kombinasi warna yang mungkin. $\heartsuit $

Cara II : menggunakan rumus kombinasi berulang
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Kombinasi dengan unsur yang sama :
Misalkan ada unsur $ x_1, \, x_2, \, x_3, \, ... x_k \, $ yang masing-masing jumlahnya tak terbatas. Banyak solusi dari persamaan $ x_1 + x_2 + ... + x_k = n \, $ dengan $ x_1 \geq 0, \, x_2 \geq 0 , \, ... , \, x_k \geq 0 \, $ adalah kombinasi dari $(k-1) \, $ dari $(n+k - 1) \, $ atau $ C_{k-1}^{n+k-1} $.
*). Pada kasus ini, kita misalkan
M = banyak bola merah terambil,
B = banyak bola biru terambil,
H = banyak bola hijau terambil,
yang masing-masing bisa bernilai $ M \geq 0, \, B \geq 0, \, H \geq 0 \, $ .
*). Jumlah bola yang terambil harus berjumlah 5, artinya kita akan menentukan banyaknya solusi dari persamaan $ M + B + H = 5 \, $ yang artinya nilai $ k = 3 \, $ , dan $ n = 5$.
Misalkan terambil 3M, 1B, dan 1H yang jumlahnya ada 5 bola, dan lainnya.
$\clubsuit \, $ Menghitung total kemungkinan cara.
total cara $ \, = C_{k-1}^{n+k-1} = C_{3-1}^{5+3-1} = C_{2}^{7} = \frac{7!}{5!.2!} = 21 $
Jadi, ada 21 kombinasi warna yang mungkin. $\heartsuit $
Nomor 14
Tiga buah bilangan berbeda yang hasil kalinya 125 membentuk tiga suku berurutan barisan geometri. Ketiga bilangan tersebut masing-masing merupakan suku pertama, suku ketiga, dan suku keenam barisan aritmatika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar barisan
*). Barisan geometri : $ u_n = ar{n-1} $
*). Barisan aritmatika : $ u_n = a + (n-1)b $
$\spadesuit \, $ Misakan barisan geometrinya : $ a, ar, ar^2 $
agar ketiga bilangannya berbeda, maka nilai $ r \neq 1 $ .
$\begin{align} \text{hasil perkalian } & = 125 \\ a.ar.ar^2 & = 125 \\ (ar)^3 & = 125 \\ ar & = (125)^\frac{1}{3} \\ ar & = 5 \\ a & = \frac{5}{r} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Dari soal , barisan artimetikanya : $ u_1 = a, u_3 = ar, u_6 = ar^2 $
$ u_3 = ar \rightarrow a + 2b = ar $
$ u_6 = ar^2 \rightarrow a + 5b = ar^2 $
$\spadesuit \, $ Substitusi $ a = \frac{5}{r} \, $ ke barisan aritmetikanya :
Suku ketiga : $ u_3 = ar $
$\begin{align} a + 2b & = ar \\ \frac{5}{r} + 2b & = \frac{5}{r}. r \\ \frac{5}{r} + 2b & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kali } r) \\ 5 + 2br & = 5r \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
Suku keenam : $ u_6 = ar^2 $
$\begin{align} a + 5b & = ar^2 \\ \frac{5}{r} + 5b & = \frac{5}{r}. r^2 \\ \frac{5}{r} + 5b & = 5r \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ \frac{1}{r} + b & = r \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ b & = r - \frac{1}{r} \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(iii) ke (ii)
$\begin{align} 5 + 2br & = 5r \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ 5 + 2(r - \frac{1}{r}) r & = 5r \\ 5 + 2r^2 - 2 & = 5r \\ 2r^2 - 5r + 3 & = 0 \\ (2r - 3)(r - 1) & = 0 \\ r = \frac{3}{2} \vee r & = 1 \end{align}$
yang memenuhi $ r = \frac{3}{2} $
nilai $ a = \frac{5}{r} = \frac{5}{\frac{3}{2}} = \frac{10}{3} $
Barisan geometrinya menjadi :
$ a, ar, ar^2 \rightarrow \frac{10}{3} , \, 5, \, \frac{15}{2} $
$\spadesuit \, $ Jumlah ketiga bilangannya :
$\begin{align} \text{Jumlah } & = \frac{10}{3} + 5 + \frac{15}{2} \\ & = \frac{95}{6} \end{align}$
Jadi, jumlah ketiga bilangannya adalah $ \frac{95}{6} . \, \heartsuit $
Nomor 15
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada sumbu X dan melalui titik-titik potong parabola $ y = -x^2+6x \, $ dan garis $ 2x - y = 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
dengan $(a,b) \, $ adalah pusat dan jari-jari $ r $.
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1) \, $ dan $(x_2,y_2) $
Jarak $ \, = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
$\clubsuit \, $ Pusat lingkaran terletak pada sumbu X, misalkan titik pusatnya $(m,0)$ . Sehingga pusat lingkaran menjadi $(a,b) = (m,0) $ .
$\clubsuit \, $ Menentukan titik potong garis dan parabola
Substitusi parabola ke garis :
$\begin{align} 2x - y & = 0 \\ 2x - (-x^2+6x) & = 0 \\ x^2 - 4x & = 0 \\ x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align}$
untuk $ x = 0 \rightarrow 2x - y = 0 \rightarrow 2.0 - y = 0 \rightarrow y = 0 $
untuk $ x = 4 \rightarrow 2x - y = 0 \rightarrow 2.4 - y = 0 \rightarrow y = 8 $
sehingga titik potongnya : (0,0) dan (4,8)
$\clubsuit \, $ ilustrasi gambarnya :
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_15.png
Jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui oleh lingkaran.
*). Jarak titik $(m,0) \, $ ke (0,0) :
$ r = \sqrt{(m - 0)^2 + (0-0)^2 } = m $
*). Jarak titik $(m,0) \, $ ke (4,8) dan $ r = m $
$\begin{align} r & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ m & = \sqrt{(m - 4)^2 + (0-8)^2 } \\ m & = \sqrt{m^2 - 8m + 16 + 64 } \\ m & = \sqrt{m^2 - 8m + 80 } \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ m^2 & = m^2 - 8m + 80 \\ 8m & = 80 \\ m & = 10 \end{align}$
Sehingga pusat $(a,b) = (m,0) = (10,0) \, $ dan $ r = m = 10 $.
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-10)^2 + (y-0)^2 & = 10^2 \\ x^2 - 20x + 100 + y^2 & = 100 \\ x^2 + y^2 - 20x & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya $ x^2 + y^2 - 20x = 0. \, \heartsuit $ 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar