Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015


Nomor 1
Jika A = {semua faktor dari 15} dan B = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}, maka pernyataan berikut yang benar adalah .....
A). $ A - B = A $
B). $ A - B = \{1,5\} $
C). $ B - A = A $
D). $ A \cap B \neq \{ \, \} $
E). $ A \cup B = \{ 1,3,4,5,8,12,15 \} $
$ \spadesuit \, $ Konsep dasar dari $ A - B $ dan $ B - A $ :
$ A - B = \{ x | x \in A \text{ dan } x \not \in A\cap B \} $
$ B - A = \{ x | x \in B \text{ dan } x \not \in A\cap B \} $
$ \spadesuit \, $ Menentukan anggota himpunan A dan B
A = { semua faktor dari 15 } = { 1, 3, 5, 15 }
B = {bilangan asli kelipatan 4 kurang dari 20}
B = { 4 , 8 , 12, 16 }
Sehingga :
Irisan keduanya : $ A \cap B = \{ \, \} \, $ (kosong).
Gabungan : $ A \cup B = \{ 1, 3, 4, 5, 8, 12, 15, 16 \} $.
$ \spadesuit \, $ Menentukan hasil $ A - B \, $ dan $ B - A $ :
karena hasil $ A \cap B = \{ \, \} \, $ adalah himpunan kosong, maka sesuai definisi dari $ A - B \, $ kita peroleh hasil : $ A - B = A \, $ dan $ B - A = B $ .
Jadi, yang benar adalah $ A - B = A \, $ sesuai pilihan A. $ \, \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b \, $ dengan $ f(0) = 10 \, $ dan $ f^\prime (2) = - 4. \, $ Nilai $ b - a = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi dan substitusi $ f^\prime (2) = -4 $
$\begin{align} f(x) &= 6x^2 - 5ax + 2b \\ f^\prime (x) & = 12x - 5a \\ f^\prime (2) & = -4 \\ 12. 2 - 5a & = -4 \\ 24 - 5a & = -4 \\ 5a & = 28 \\ a & =\frac{28}{5} \end{align}$
Sehingga fungsinya menjadi :
$ f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b $
$ f(x) = 6x^2 - 5. \frac{28}{5} x + 2b = 6x^2 - 28x + 2b $
$\clubsuit \, $ Susbstitusi $ f(0) = 10 \, $ ke $ f(x) = 6x^2 - 28x + 2b $
$\begin{align} f(x) & = 6x^2 - 28x + 2b \\ f(0) & = 10 \\ 6.0^2 - 28.0 + 2b & = 10 \\ 2b & = 10 \\ b & = 5 \end{align}$
Sehingga nilai $ b - a = 5 - \frac{28}{5} = -\frac{3}{5} $
Jadi nilai $ b - a = -\frac{3}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 3
Lima bilangan bulat positif $ a_1,a_2,a_3,a_4, \, $ dan $ a_5 \, $ yang berurutan jika dijumlahkan hasilnya 500. Pernyataan berikut ini yang benar adalah ....
A). $ a_4 - a_2 = 3 $
B). Bilangan terkecil adalah 97
C). Bilangan terbesar adalah 102
D). $ a_1 + a_5 = 198 $
E). $ a_5 - a_1 = 5 $
$ \spadesuit \, $ Barisan artimetika : $ u_n = a + (n-1)b \, \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$ \spadesuit \, $ Analisa soal :
Bilangan $ a_1,a_2,a_3,a_4, \, $ dan $ a_5 \, $ berurutan sehingga barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama $ a \, $ dan beda $ b = 1 $.
$ \spadesuit \, $ Jumlah lima bilangan $(s_5)$ = 500 :
$\begin{align} s_5 & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1).1) & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + 4) & = 500 \\ 2a + 4 & = 500 \times \frac{2}{5} \\ 2a + 4 & = 200 \\ 2a & = 196 \\ a & = 98 \end{align}$
$ \spadesuit \, $ Menentukan besar suku masing-masing
$\begin{align} a_1 & = u_1 = a = 98 \\ a_2 & = u_2 = a + b = 98 + 1 = 99 \\ a_3 & = u_3 = a + 2b = 98 + 2.1 = 100 \\ a_4 & = u_4 = a + 3b = 98 + 3.1 = 101 \\ a_5 & = u_5 = a + 4b = 98 + 4.1 = 102 \end{align}$
Sehingga yang benar adalah nilai bilangan terbesarnya 102.
Jadi, yang benar opsi C. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x = 1 \, $ maka $ {}^x \log y \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} \, $ dan $ {}^a \log b^n = n \, {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ {}^y \log x $
$ \begin{align} 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x & = 1 \\ 3 . 3 \, {}^y \log x - 2 . 2 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ 9 \, {}^y \log x - 4 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ (9 - 4 + 1) \, {}^y \log x & = 1 \\ 6 \, {}^y \log x & = 1 \\ {}^y \log x & = \frac{1}{6} \end{align} $
Sehingga nilai $ {}^x \log y = \frac{1}{{}^y \log x} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 $
Jadi, nilai $ {}^x \log y = 6. \, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ \Delta ABC \, $ siku-siku di C dan $ \cos (A+C) = \frac{x}{2}, \, $ maka nilai $ \sin A + \cos B = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Trigonometri : $ \cos (90^\circ + A ) = -\sin A $
$\spadesuit \, $ Diketahui $ \cos (A + C ) = \frac{x}{2} \, $ dan $ \angle C = 90^\circ $
$\begin{align} \cos (A + C ) & = \frac{x}{2} \\ \cos (A + 90^\circ ) & = \frac{x}{2} \\ -\sin A & = \frac{x}{2} \\ \sin A & = - \frac{x}{2} \end{align}$
Karena jumlah semua sudut segitga $ 180^\circ \, $ dan $ \angle C = 90^\circ , \, $ maka sudut A pasti ada di kuadran I sehingga nilainya positif. Agar nilai $ \sin A = - \frac{x}{2} \, $ positif, maka haruslah nilai $ x \, $ negatif.
$\spadesuit \, $ Membuat segitiga ABC nya
Nilai $ \sin A = - \frac{x}{2} \, $ dengan $ x < 0 $.
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_5
Sehingga nilai $ \cos B = \frac{samping}{miring} = \frac{x}{2} \, $
*). Karena nilai $ x < 0 \, $ dan nilai $ \cos B \, $ dikuadran positif, maka kita beri tanda negatif agar nilainya positif. Artinya nilai $ \cos B = - \frac{x}{2} \, $ dengan $ x < 0 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya :
$\begin{align} \sin A + \cos B & = - \frac{x}{2} + (- \frac{x}{2}) = -x \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin A + \cos B = -x . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar