Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2010


Nomor 1
Jika $ 2^x = 2 - \sqrt{3} , \, $ maka $ {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log a = 1 \, $ dan $ {}^a \log b^n = n . \, {}^a \log b $
*). Sifat Eksponen :
$ \, (a^m)^n = (a^n)^m = a^{m.n} \, $ dan $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
$\clubsuit \, $ Memodifikasi bentuk $ \, 2^x = 2 - \sqrt{3} \, $ dengan merasionalkan sehingga sama dengan basis pada logaritmanya.
$\begin{align} 2^x & = 2 - \sqrt{3} \\ 2^x & = 2 - \sqrt{3} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{4 - 3}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \\ & = (2 + \sqrt{3})^{-1} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^2)^x \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^x)^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log [(2 + \sqrt{3})^{-1}]^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3})^{-2} \\ & = -2 . \, {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3}) \\ & = -2 . \, 1 \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = -2 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^{x+y} \log 2 = a \, $ dan $ \, {}^{x-y} \log 8 = b , \, $ dengan $ 0 < y < x, \, $ maka $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^n = b \rightarrow a = b^\frac{1}{n} \, $ dan $ a^m . a^n = a^{m+n} $
*). Definisi dan sifat Logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow a^c = b $
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi yang diketahui
Persamaan Pertama :
$\begin{align} {}^{x+y} \log 2 & = a \rightarrow (x+y)^a = 2 \rightarrow x + y = 2^\frac{1}{a} \\ {}^{x-y} \log 8 & = b \rightarrow (x-y)^b = 8 \rightarrow x - y = 8^\frac{1}{b} \\ \rightarrow x - y & = (2^3)^\frac{1}{b} \rightarrow x - y = 2^\frac{3}{b} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $ (x^2 - y^2) $
$\begin{align} x^2 - y^2 & = (x+y)(x-y) \\ & = 2^\frac{1}{a} \times 2^\frac{3}{b} \\ & = 2^{ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} } \\ & = 2^\frac{3a + b}{ab} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^4 \log (x^2 - y^2) & = {}^4 \log 2^\frac{3a + b}{ab} \\ & = {{}^2}^2 \log 2^\frac{3a + b}{ab} \\ & = \frac{\frac{3a + b}{ab}}{2} \times {}^2 \log 2 \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \times 1 \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = \frac{3a + b}{2ab} . \, \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$ {}^a \log (b.c)) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi yang diketahui
Persamaan Pertama :
$\begin{align} {}^{x+y} \log 2 & = a \rightarrow {}^2 \log (x+y) = \frac{1}{a} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} {}^{x-y} \log 8 & = b \rightarrow {}^8 \log (x-y) = \frac{1}{b} \\ \rightarrow {{}^2}^3 \log (x-y) & = \frac{1}{b} \rightarrow \frac{1}{3} {}^2 \log (x-y) = \frac{1}{b} \\ \rightarrow {}^2 \log (x-y) & = \frac{3}{b} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^4 \log (x^2 - y^2) & = {{}^2}^2 \log (x+y)(x-y) \\ & = \frac{1}{2} {}^2 \log (x+y)(x-y) \\ & = \frac{1}{2} [{}^2 \log (x+y) + {}^2 \log (x-y) ] \\ & = \frac{1}{2} [ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} ] \\ & = \frac{1}{2} [ \frac{3a + b}{ab} ] \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = \frac{3a + b}{2ab} . \, \heartsuit $

Nomor 3
Jika akar-akar persamaan $ \frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \, $ berlawanan dan $ a \neq b \, $ maka nilai $ m \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar pada persamaan kuadrat (PK),
Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar berlawanan dengan syarat $ b = 0 $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadratnya dengan kali silang
$\begin{align} & \frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \\ & (x^2 + ax).(m-2) = (m+2).(bx - 2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax = (m+2)bx - 2(m+2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax - (m+2)bx + 2(m+2) = 0 \\ & (m-2)x^2 + [(m-2)a - (m+2)b]x + 2(m+2) = 0 \end{align}$
artinya $ a = m - 2 , \, b = [(m-2)a - (m+2)b] \, \, \, \, $ dan $ c = 2(m+2) $
$\clubsuit \, $ Syarat akar-akar berlawanan : $ b = 0 $
$\begin{align} b & = 0 \\ [(m-2)a - (m+2)b] & = 0 \\ ma - 2a - mb - 2b & = 0 \\ m(a - b) - 2(a+b) & = 0 \\ m(a - b) & = 2(a+b) \\ m & = \frac{2(a+b)}{(a - b)} \end{align}$
Jadi, kita peroleh $ m = \frac{2(a+b)}{(a - b)} . \, \heartsuit $
Nomor 4
Grafik fungsi kuadrat $ y = f(x) \, $ mempunyai titik puncak $(-1,8) $ dan memotong sumbu X di $(x_1,0) $ dan $ (x_2,0) $ . Jika $ x_1.x_2 = -3 \, $ , maka grafik tersebut memotong sumbu Y di ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar pada fungsi kuadrat (FK)
*). Fungsi kuadrat diketahui titik puncak $(x_p,y_p) $ :
FK : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
*). Fungsi $ y = ax^2 + bx + c \, $ memotong sumbu X di $(x_1,0) \, $ dan $ (x_2 , 0 ) \, $ , maka $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ .
$\spadesuit \, $ FK dengan titik puncak $(x_p,y_p) = (-1,8) $
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 8 \\ y & = a(x+1)^2 + 8 \\ y & = a(x^2 + 2x + 1) + 8 \\ y & = ax^2 + 2ax + a + 8 \\ y & = ax^2 + 2ax + (a + 8) \end{align}$
$\spadesuit \, $ FK $ \, \, y = ax^2 + 2ax + (a + 8) \, $ memotong sumbu X ,
maka $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{a+8}{a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} x_1.x_2 & = -3 \\ \frac{a+8}{a} & = -3 \\ a + 8 & = -3a \\ 4a & = -8 \\ a & = -2 \end{align}$
Sehingga FK nya menjadi :
$ y = ax^2 + 2ax + (a + 8) \rightarrow y = -2x^2 + 2.(-2)x + (-2 + 8) $
$ y = -2x^2 - 4x + 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = -2x^2 - 4x + 6 \\ y & = -2.0^2 - 4.0 + 6 \\ y & = 0 - 0 + 6 \\ y & = 6 \end{align}$
Jadi, titik potong sumbu Y adalah $ \, (0,6) . \, \heartsuit $
Nomor 5
Salah satu nilai $ x \, $ yang memenuhi sistem persamaan $ xy+y^2 = 0 \, $ dan $ x-2y = 3 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Memodifikasi Persamaan pertama :
$ x-2y = 3 \rightarrow y = \frac{x-3}{2} \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{align} xy+y^2 & = 0 \\ x . (\frac{x-3}{2} ) + (\frac{x-3}{2} )^2 & = 0 \\ \frac{x^2-3x}{2} + \frac{x^2 - 6x + 9}{4} & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2(x^2-3x) + (x^2 - 6x + 9) & = 0 \\ 2x^2- 6x + (x^2 - 6x + 9) & = 0 \\ 3x^2 - 12x + 9 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 - 4x + 3 & = 0 \\ (x - 1)(x - 3) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align}$
Jadi, salah satu nilai $ x \, $ adalah 1. $ \, \heartsuit$

Tidak ada komentar:

Posting Komentar