Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{2} $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{2} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Rumus Cepat Limit Trigonometri :
$ \tan px - \sin px = \frac{1}{2}(px)^3 $
sehingga :
$ \tan x - \sin x = \frac{1}{2} x^3 $
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $
*). Rumus Cepat Limit Trigonometri :
$ \tan px - \sin px = \frac{1}{2}(px)^3 $
sehingga :
$ \tan x - \sin x = \frac{1}{2} x^3 $
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} . \frac{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \tan x) -(1 + \sin x)}{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x }{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \tan 0} + \sqrt{1 + \sin 0}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 +0}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{4}. \, \heartsuit $
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} . \frac{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \tan x) -(1 + \sin x)}{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x }{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \tan 0} + \sqrt{1 + \sin 0}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 +0}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{4}. \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.