Tampilkan postingan dengan label matipa kode 247 tahun 2016. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa kode 247 tahun 2016. Tampilkan semua postingan

Kode 247 Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1, x_2 $ adalah akar-akar dari persamaan $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $. Nilai $ a $ sehingga $ x_1 + x_1x_2 +x_2 $ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah ...
A). $ -3 \, $ B). $ -\sqrt{3} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat dan Turunan
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $,
berlaku : $ x_1 + x_ 2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*. Fungsi $ f(x) $ maksimum untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ dan nilai $ x $ yang ada pada batas intervalnya.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $
artinya $ a = 1, b = 5a, $ dan $ c = a^3 - 4a + 1 $
Sehingga bentuk $ x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 $ menjadi :
$\begin{align} x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 & = (x_1 + x_2 ) + x_1.x_2 \\ & = \frac{-b}{a} + \frac{c}{a} \\ & = \frac{-5a}{1} + \frac{a^3 - 4a + 1 }{1} \\ & = a^3 - 9a + 1 \end{align} $
Kita misalkan bentuk $ x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 = f(a) $ ,
artinya kita peroleh $ f(a) = a^3 - 9a + 1 $ .
Turunannya : $ f^\prime (a) = 3a^2 - 9 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dari $ f^\prime (a) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ 3a^2 - 9 & = 0 \\ 3a^2 & = 9 \\ a^2 & = 3 \\ a & = \pm \sqrt{3} \end{align} $
*). Artinya kita memperoleh nilai $ a = \sqrt{3} $ atau $ a = -\sqrt{3} $ yang menyebabkan nilai $ f(a) $ maksimum/minimum. Selain itu juga nilai $ a $ ada pada interval $[-3,3]$, sehingga batas-batas interval ini juga bisa menyebabkan nilai $ f(a) $ maksimum/minimum yaitu $ a = -3 $ atau $ a = 3 $.
*). Kita substitusi semua nilai $ a $ ke fungsi $ f(a) = a^3 - 9a + 1 $ :
$\begin{align} \, \, \, \, a & = \sqrt{3} \rightarrow f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) + 1 = -3\sqrt{3} + 1 \\ a & = -\sqrt{3} \rightarrow f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) + 1 = 6\sqrt{3} + 1 \\ a & = -3 \rightarrow f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 1 = 1 \\ a & = 3 \rightarrow f(3) = (3)^3 - 9(3) + 1 = 1 \end{align} $
Artinya nilai maksimum dari $ f(a) $ adalah $ 6\sqrt{3} + 1 $ yang dicapai pada saat $ a = -\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ a = -\sqrt{3} \, $ yang menyebabkan nilainya maksimu . $ \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x) = f(x+a) $ , $ f(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ 0 < x < a $ , dan $ g(x) = g(x+2a) $ , $ g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ -a < x \leq a $ , dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $. Nilai dari $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ adalah ....
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4b \, $ D). $ 5b \, $ E). $ 6b $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat-sifat Integral tertentu :
i). $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $
ii). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x+k) dx $
iii). $ \int \limits_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
iv). Jika $ g(x) $ adalah fungsi ganjil, maka $ \int \limits_{-a}^a g(x) dx = 0 $
*). Suatu fungsi $ g(x) $ disebut fungsi ganjil jika $ g(-x) = - g(x) $.
Pada soal ini diketahui $ g(x) = x^5 + 2016x^3 $ , sehingga
$ \begin{align} g(-x) & = (-x)^5 + 2016(-x)^3 \\ & = -(x)^5 -2016(x)^3 \\ & = -[x^5 +2016x^3 ] \\ & = -g(x) \end{align} $
Artinya fungsi $ g(x) = x^5 + 2016x^3 $ adalah fungsi ganjil sehingga $ \int \limits_{-a}^a g(x) dx = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan nilai $ \int \limits_a^{3a} f(x) dx $
dengan $ f(x+a) = f(x) $ dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $
$\begin{align} \int \limits_a^{3a} f(x) dx & = \int \limits_{a - a}^{3a-a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{(sifat (ii))} \\ & = \int \limits_{0}^{2a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{[ganti } f(x+a) = f(x) \, ] \\ & = \int \limits_{0}^{2a} f(x) dx \, \, \, \, \, \text{[sifat (i)]} \\ & = \int \limits_0^a f(x) dx + \int \limits_a^{2a} f(x) dx \\ & = b + \int \limits_a^{2a} f(x) dx \, \, \, \, \, \text{(sifat (ii))} \\ & = b + \int \limits_{a - a}^{2a - a} f(x+a) dx \\ & = b + \int \limits_{0}^{a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{[ganti } f(x+a) = f(x) \, ] \\ & = b + \int \limits_{0}^{a} f(x ) dx = b + b = 2b \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \int \limits_0^{3a} f(x) dx $:
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} f(x) dx & = \int \limits_0^a f(x) dx + \int \limits_a^{3a} f(x) dx \\ & = b + 2b = 3b \end{align} $
*). Karena pada interval $ 0 < x < a $ fungsi $ f(x) = g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ (sama) ,
maka $ \int \limits_0^a g(x) dx = \int \limits_0^a f(x) dx = b $ .
*). Menentukan nilai $ \int \limits_0^{3a} g(x) dx $
dengan $ \int \limits_0^a g(x) dx = b $ dan $ g(x + 2a) = g(x) $
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} g(x) dx & = \int \limits_0^a g(x) dx + \int \limits_a^{3a} g(x) dx \\ & = b + \int \limits_{a-2a}^{3a-2a} g(x+2a) dx \\ & = b + \int \limits_{-a}^{a} g(x+2a) dx \\ & = b + \int \limits_{-a}^{a} g(x) dx = b + 0 = b \end{align} $
*). Menentkan nilai $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ :
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx & = \int \limits_0^{3a} f(x) dx + \int \limits_0^{3a} g(x) dx \\ & = 3b + b \\ & = 4b \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx = 4b . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = ax^2 + bx -2 $ mencapai titik maksimum di titik minimum $ g(x) = 4x^3 - 3x + 3 $. Nilai $ a + b = .... $
A). $ -16 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum/maksimum suatu fungsi $ f(x) $ dicapai pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Cek turunan kedua :
$ f^{\prime \prime } (x) > 0 \rightarrow \, $ jenisnya minimum,
$ f^{\prime \prime } (x) = 0 \rightarrow \, $ jenisnya titik belok,
$ f^{\prime \prime } (x) < 0 \rightarrow \, $ jenisnya maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik minimum fungsi $ g(x) = 4x^3 - 3x + 3 $ :
$ g(x) = 4x^3 - 3x + 3 \rightarrow g^\prime (x) = 12x^2 - 3 \, $ dan $ g^{\prime \prime } (x) = 24x $
$\begin{align} g^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat min/mix)} \\ 12x^2 - 3 & = 0 \\ 12x^2 & = 3 \\ x^2 & = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \\ x & = \pm \sqrt{ \frac{1}{4} } \\ x & = \pm \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Cek turunan kedua : $ g^{\prime \prime } (x) = 24x $
$\begin{align} x = \frac{1}{2} \rightarrow g^{\prime \prime } ( \frac{1}{2} ) & = 24 . \frac{1}{2} = 12 > 0 \, \, \text{(minimum)} \\ x = -\frac{1}{2} \rightarrow g^{\prime \prime } ( -\frac{1}{2} ) & = 24 . (-\frac{1}{2}) = -12 < 0 \, \, \text{(maksimum)} \end{align} $
artinya fungsi $ g(x) $ minimum pada saat $ x = \frac{1}{2} $ .
$ g(\frac{1}{2}) = 4.( \frac{1}{2})^3 - 3.( \frac{1}{2}) + 3 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 3 = 2 $
Sehingga titik minimum fungsi $ g(x) $ adalah $ ( \frac{1}{2} , 2) $.
*). Pada soal diketahui bahwa $ f(x) $ memiliki titik maksimum di titik minimum fungsi $ g(x) $ , artinya titik maksimum $ f(x) $ sama dengan titik minimum fungsi $ g(x) $ yaitu $ ( \frac{1}{2}, 2) $, sehingga dapat disimpulkan bahwa $ f(x) $ maksimum pada saat $ x = \frac{1}{2} $ yang artinya juga memenuhi $ f^\prime ( \frac{1}{2} ) = 0 $ sesuai syarat nilai maksimum/minimum menggunakan turunan.
*). Menentukan nilai $ a + b $ dengan $ f^\prime ( \frac{1}{2}) = 0 $
$ f(x) = ax^2 + bx - 2 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $
$\begin{align} f^\prime ( \frac{1}{2}) & = 0 \\ 2a . \frac{1}{2} + b & = 0 \\ a + b & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 0 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Pada pembahasan di atas, nilai $ a + b $ langsung kita temukan nilainya tanpa mencari nilai $ a $ dan $ b $ masing-masing.
*). Jika nilai $ a + b $ tidak langsung kita temukan nilainya dari bentuk $ f^\prime ( \frac{1}{2}) = 0 $ , maka kita susun dua persamaan yaitu dari i). menggunakan bentuk $ f^\prime ( \frac{1}{2}) = 0 $ ,
ii). substitusi titik maksimumnya $ ( \frac{1}{2}, 2) $ ke fungsi $ f(x) $.
*). Dari kedua persamaan tersebut kita lakukan eliminasi dan substitusi untuk menemukan nilai $ a $ dan $ b $.



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1 + u_2}{u_3+u_4} = \frac{1}{9} $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_1+u_4} = ..... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ \frac{10}{7} \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $
*). Sifat eksponen :
$ a^2 = b \rightarrow a = \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai rasio ($r$) :
$\begin{align} \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a+ar}{ar^2+ar^3} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a(1+r)}{ar^2( 1 +r)} & = \frac{1}{9} \\ \frac{1}{r^2} & = \frac{1}{9} \\ r^2 & = 9 \\ r & = 3 \end{align} $
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align} \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_1+u_4} & = \frac{a + ar+ar^2+ar^3}{a+ar^3} \\ & = \frac{a (1 + r+r^2+r^3)}{a(1+r^3)} \\ & = \frac{1 + r+r^2+r^3}{1+r^3} \\ & = \frac{1 + 3+3^2+3^3}{1+3^3} \\ & = \frac{1 + 3+9+27}{1+27} \\ & = \frac{40}{28} \\ & = \frac{10}{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_1+u_4} = \frac{10}{7} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 : Kode 247 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Rumus Cepat Limit Trigonometri :
$ \tan px - \sin px = \frac{1}{2}(px)^3 $
sehingga :
$ \tan x - \sin x = \frac{1}{2} x^3 $
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} . \frac{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \tan x) -(1 + \sin x)}{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x }{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \tan 0} + \sqrt{1 + \sin 0}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 +0}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{4}. \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus trigonometri :
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ dan $ \cos px = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} p x $
Sehingga :
$ \begin{align} 1 - \cos x & = 1 - (1 -2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) \\ & = 2 \sin \frac{1}{2}x \sin \frac{1}{2} x \\ \tan x - \sin x & = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x \\ & = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos x} \\ & = \frac{\sin x - \sin x \cos x }{\cos x} \\ & = \frac{\sin x ( 1 - \cos x ) }{\cos x} \\ & = \frac{\sin x . 2 \sin \frac{1}{2}x . \sin \frac{1}{2} x }{\cos x} \end{align} $
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} . \frac{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \tan x) -(1 + \sin x)}{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x }{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x . 2 \sin \frac{1}{2}x . \sin \frac{1}{2} x }{\cos x}}{x^3. (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x . 2 \sin \frac{1}{2}x . \sin \frac{1}{2} x }{x^3. \cos x (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} . \frac{\sin \frac{1}{2}x}{x} . \frac{\sin \frac{1}{2}x}{x} . \frac{2 }{ \cos x (\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x})} \\ & = 1 . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{2 }{ \cos 0 . (\sqrt{1 + \tan 0} + \sqrt{1 + \sin 0})} \\ & = \frac{1}{4} . \frac{2 }{ 1 . (\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0})} \\ & = \frac{1}{4} . \frac{2 }{ 2} \\ & = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{4}. \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui sisa pembagian $ xf(x) $ oleh $ (x^2 + 4x - 12 $ adalah $ ax + b $, sisa pembagian $ (x-1)g(x)$ oleh $ (x^2+x-6)$ adalah $ x + 3$, dan sisa pembagian $ f(x) g(x) $ oleh $(x^2 - 8x + 12) $ adalah $ 7x - 13 $ , maka $ 4a^2 + 4ab + b^2 = .... $
A). $ \frac{4}{25} \, $ B). $ \frac{6}{25}\, $ C). $ \frac{8}{25} \, $ D). $ \frac{10}{25} \, $ E). $ \frac{11}{25} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ xf(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 4x - 12 $ dengan sisa $ s(x) = ax+b $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ xf(x) = (x^2 + 4x - 12).h_1(x) + ax+b $
$ xf(x) = (x-2)(x+6).h_1(x) + ax+b $
Substitusi salah satu akar pembaginya yaitu $ (x-2)(x+6)=0 \rightarrow x = 2 \vee x = -6 $
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow xf(x) & = (x-2)(x+6).h_1(x) + (ax+b) \\ 2f(2) & = (2-2)(2+6).h_1(2) + a.2+b \\ 2f(2) & = 2a+b \, \, \, \, \, \, ....(i) \end{align} $
*). $ (x-1)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + x - 6 $ dengan sisa $ s(x) = x + 3 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ (x-1)g(x) = (x^2 + x - 6).h_2(x) + (x + 3) $
$ (x-1)g(x) = (x-2)(x+3).h_2(x) + x + 3 $
Substitusi salah satu akar pembaginya yaitu $ (x-2)(x+3)=0 \rightarrow x = 2 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow (x-1)g(x) & = (x-2)(x+3).h_2(x) + x + 3 \\ (2-1)g(2) & = (2-2)(2+3).h_2(2) + 2 + 3 \\ g(2) & = 5 \, \, \, \, \, \, ....(ii) \end{align} $
*). $ f(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 8x + 12 $ dengan sisa $ s(x) = 7x - 13 $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ f(x)g(x) = (x^2 - 8x + 12).h_3(x) + (7x - 13) $
$ f(x)g(x) = (x-2)(x-6).h_3(x) + (7x - 13) $
Substitusi salah satu akar pembaginya yaitu $ (x-2)(x-6)=0 \rightarrow x = 2 \vee x = 6 $
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow f(x)g(x) & = (x-2)(x-6).h_3(x) + (7x - 13) \\ f(2)g(2) & = (2-2)(2-6).h_3(2) + (7.2 - 13) \\ f(2). g(2) & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(dari pers(ii))} \\ f(2). 5 & = 1 \\ f(2) & = \frac{1}{5} \end{align} $
*). Dari pers(i) dan nilai $ f(2) = \frac{1}{5} $
$\begin{align} 2a + b & = 2f(2) \\ 2a + b & = 2. \frac{1}{5} \\ 2a + b & = \frac{2}{5} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (2a + b)^2 & = \left( \frac{2}{5} \right)^2 \\ 4a^2 + 4ab + b^2 & = \frac{4}{25} \end{align} $
Jadi, nilai $ 4a^2 + 4ab + b^2 = \frac{4}{25} . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Pada kubus ABCD.EFGH, titik M terletak pada diagonal BE dengan perbandingan $ EM:MB = 1:3 $ dan N adalah titik tengah rusuk CD. Jika R terletak pada rusuk AB dimana RM sejajar AE, maka $ \sin \angle MNR \, $ adalah .....
A). $ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{17}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{17}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 
Misalkan panjang rusuk kubus adalah 4.
*). Panjang RN pada segitiga RPN :
$ RN = \sqrt{RP^2 + PN^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17} $
*). Panjang MN pada segitiga MNR :
$ MN = \sqrt{MR^2+RN^2} = \sqrt{3^2 + \sqrt{17}^2} = \sqrt{26} $
*). Menentukan nilai $ \sin \angle MNR $ :
$\begin{align} \sin \angle MNR & = \frac{MR}{MN} \\ & = \frac{3}{\sqrt{26}} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \angle MNR = \frac{3}{\sqrt{26}} . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk nilai trigonometri pada kubus, panjang rusuknya bebas kita misalkan dengan suatu angka tertentu karena akan terbentuk perbandingan sehingga tetap bisa disederhanakan. Pilih panjang rusuk yang bisa dihitung dengan mudah saja.



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika titik ($s,t$) dirotasi sejauh 270$^\circ$ berlawanan arah jarum jama terhadap titik pusat, kemudian dicerminkan terhadap $ y = t $ diperoleh titik ($-2, 3-t$), maka $ s + 3t = .... $
A). $5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Pencerminan garis horizontal
Titik $A(x,y)$ dicerminakan terhadap garis $ y = b $ akan menghasilkan bayangan $a^\prime (x^\prime , y^\prime ) $, yaitu :
$ (x^\prime , y^\prime ) = (x, 2b - y )$
atau bisa ditulis : $ A(x,y) \rightarrow A^\prime (x, 2b - y )$
artinya $ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ 2b - y \end{matrix} \right) $
*). Matriks Rotasi :
MT = $ \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui titik awalnya ($s,t$). Transformasi pertama adalah rotasi sejauh $ \theta = 270^\circ $ , dilanjutkan transformasi kedua yaitu pencerminan terhadap garis $ y = t $.
*). Transformasi pertama : Rotasi sebesar $ \theta = 270^\circ $
$ T_1 = \left( \begin{matrix} \cos 270^\circ & - \sin 270^\circ \\ \sin 270^\circ & \cos 270^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} s \\ t \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} t \\ -s \end{matrix} \right) $
*). Transformasi kedua : pencerminan terhadap garis $ y = t $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ 2b - y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} t \\ 2t - (-s) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} t \\ 2t + s \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Bayangan akhir $(t, 2t+s)$ sama dengan $(-2,3-t)$ , sehingga :
$ t = -2 $
$ 2t + s = 3-t \rightarrow 2.(-2) + s = 3 - (-2) \rightarrow s = 9 $
Nilai $ s + 3t = 9 + 3.(-2) = 9 - 6 = 3 $.
Jadi, kita peroleh $ s + 3t = 3 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 : Kode 247 Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2\cos x + \sin x \geq 1 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
B). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
C). $ \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
D). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
E). $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow 2\cos x + \sin x & \geq 1 \\ 2\cos 0 + \sin 0 & \geq 1 \\ 2.1 + 0 & \geq 1 \\ 2 & \geq 1 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=0$ BENAR, opsi yang salah adalah A, C, dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=90^\circ = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2\cos x + \sin x & \geq 1 \\ 2\cos 90^\circ + \sin 90^\circ & \geq 1 \\ 2.0 + 1 & \geq 1 \\ 1 & \geq 1 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= 90^\circ $ BENAR, opsi yang salah adalah B.
Sehingga jawaban yang tersisa adalah opsi D, artinya itulah jawaban yang benar.
Jadi, HP $ = \{ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2\cos x + \sin x \geq 1 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
B). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
C). $ \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
D). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
E). $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Identitas Trigonometri
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
i). Mencari akar-akarnya dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi persamaan,
ii). Buat garis bilangan dan tanda daerahnya ( + atau $ - $ ),
iii). Arsir daerah yang diinginkan,
jika $ > 0 $ , maka daerah positif, dan
jika $ < 0 $ , maka daerah negatif.
iv). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar dengan pengkuadratan :
$\begin{align} 2\cos x + \sin x & \geq 1 \\ 2\cos x + \sin x & = 1 \\ 2\cos x & = 1 - \sin x \\ (2\cos x)^2 & = (1 - \sin x )^2 \\ 4\cos ^2 x & = 1 - 2 \sin x + \sin ^2 x \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 4(1 - \sin ^2 x ) & = 1 - 2 \sin x + \sin ^2 x \\ 5 \sin ^2 x - 2\sin x - 3 & = 0 \\ (5\sin x + 3)(\sin x - 1 ) & = 0 \\ \sin x = -\frac{3}{5} \vee \sin x & = 1 \end{align} $
*). Karena $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ \sin x $ positif, sehingga $ \sin x = 1 $ yang memenuhi.
$ \sin x = 1 \rightarrow x = \{ ... , -270^\circ , 90^\circ , 450^\circ , ... \} $
*). Garis bilangan untuk $ 2\cos x + \sin x \geq 1 $ :
 
karena nilai $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \pi $ ,
maka solusinya adalah $ 0 \leq x \leq 90^\circ $ atau $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
Jadi, HP $ = \{ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Aturan Sinus SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahi $\Delta ABC$ dan $ \alpha , \, \beta , \, \gamma $ adalah sudut di A, B, dan C. Jika diketahui $ \sin \beta = \frac{1}{3} $ dan $ \sin \gamma = \frac{1}{2}$ , maka $ \frac{BC}{AC} \, $ adalah ....
A). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) \, $
B). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \, $
C). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) \, $
D). $(\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) \, $
E). $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Identitas Trigonometri
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin ^2 A } $
*). Nilai $ \sin (180^\circ - x ) = \sin x $
*). Aturan sinus pada segitiga ABC :
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
*). Rumus Jumlah Sudut Trigonometri
$ \sin (A + B ) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 
*). Menentukan nilai $ \cos \beta \, $ dan $ \cos \gamma $ :
$\begin{align} \sin \beta = \frac{1}{3} \rightarrow \cos \beta & = \sqrt{ 1 - \sin ^2 \beta } \\ & = \sqrt{ 1 - (\frac{1}{3})^2 } \\ & = \sqrt{ 1 - \frac{1}{9} } \\ & = \sqrt{ \frac{8}{9} } \\ & = \frac{2\sqrt{ 2}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{2} \\ \sin \gamma = \frac{1}{2} \rightarrow \cos \gamma & = \sqrt{ 1 - \sin ^2 \gamma } \\ & = \sqrt{ 1 - (\frac{1}{2})^2 } \\ & = \sqrt{ 1 - \frac{1}{4} } \\ & = \sqrt{ \frac{3}{9} } \\ & = \frac{\sqrt{ 3}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ :
$\begin{align} \alpha + \beta + \gamma & = 180^\circ \, \, \, \, \text{(jumlah sudut segitiga)} \\ \alpha & = 180^\circ - ( \beta + \gamma ) \\ \sin \alpha & = \sin [180^\circ - ( \beta + \gamma )] \\ \sin \alpha & = \sin ( \beta + \gamma ) \\ & = \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma \\ & = \frac{1}{3} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{2}{3}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{6}\sqrt{3} + \frac{1}{3}\sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \frac{BC}{AC} $ dengan aturan sinus :
$\begin{align} \frac{BC}{\sin A } & = \frac{AC}{\sin B } \\ \frac{BC}{\sin \alpha } & = \frac{AC}{\sin \beta } \\ \frac{BC}{AC } & = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta } \\ & = \frac{\frac{1}{6}\sqrt{3} + \frac{1}{3}\sqrt{2}}{ \frac{1}{3} } \\ & = 3 ( \frac{1}{6}\sqrt{3} + \frac{1}{3}\sqrt{2} ) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 2 \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{BC}{AC } = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 2 \sqrt{2} ) . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 247 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ L_1 $ lingkaran yang mempunyai radius 6 dan pusat di (0,0) dan $ L_2 $ lingkaran yang mempunyai radius 3 dan pusat di sumbu-X positif. Jika persamaan garis singgung dalam kedua lingkaran adalah $ 4y - 3x + 30 = 0 $ , maka persamaan $ L_2 $ adalah ....
A). $ ( x - 13)^2 + y^2 = 9 \, $
B). $ ( x - 15)^2 + y^2 = 9 \, $
C). $ ( x - 16)^2 + y^2 = 9 \, $
D). $ ( x - 17)^2 + y^2 = 9 \, $
E). $ ( x - 19)^2 + y^2 = 9 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Persamaan lingkaran yang berpusat di ($a,b$) dan jari-jair $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). jarak titik ($p,q$) ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.p + n.q + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| $
*). Nilai mutlak : $ |A|^2 = A^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gambar garis singgung $ 4y-3x+30= 0 $ :
-). Titik potong sumbu x, substitusi $ y = 0 $
$ 4y-3x+30= 0 \rightarrow 4. 0 -3x+30= 0 \rightarrow 3x = 30 \rightarrow x = 10 $
-). Titik potong sumbu y, substitusi $ x = 0 $
$ 4y-3x+30= 0 \rightarrow 4y -3.0+30= 0 \rightarrow 4y = -30 \rightarrow y = -7,5 $
*). ILustrasi gambar lingkaran dan garis singgung dalam :
 
Misalkan pusat lingkaran kedua (L2) adalah $(a,b) = (p,0) $ dengan $ p > 10 $.
*). Menentukan nilai $ p $ dengan jarak pusat lingkaran ($p.0$) ke garis $ 4y-3x+30=0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{mx + ny + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{4y - 3x + 30}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{4.0 - 3p + 30}{\sqrt{16 + 9}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{- 3p + 30}{5} \right| \\ 15 & = \left|- 3p + 30 \right| \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 5 & = \left|- p + 10 \right| \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 5^2 & = (- p + 10 )^2 \\ 25 & = p^2 - 20p + 100 \\ 0 & = p^2 - 20p + 75 \\ 0 & = (p-5)(p-15) \\ p & = 5 \vee p = 15 \end{align} $
Yang memenuhi adalah $ p = 15 $ karena $ p > 10 $, sehingga pusat lingkaran kedua (L2) adalah ($a,b) = (15,0$) dengan jari-jari $ r = 3 $.
*). Menentukan persamaan lingkaran kedua (L2) :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-15)^2 + (y-0)^2 & = 3^2 \\ (x-15)^2 + y^2 & = 9 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkaran L2 adalah $ (x-15)^2 + y^2 = 9 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 247 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Misalkan $ L_1 $ lingkaran yang mempunyai radius 6 dan pusat di (0,0) dan $ L_2 $ lingkaran yang mempunyai radius 3 dan pusat di sumbu-X positif. Jika persamaan garis singgung dalam kedua lingkaran adalah $ 4y - 3x + 30 = 0 $ , maka persamaan $ L_2 $ adalah ....
A). $ ( x - 13)^2 + y^2 = 9 \, $
B). $ ( x - 15)^2 + y^2 = 9 \, $
C). $ ( x - 16)^2 + y^2 = 9 \, $
D). $ ( x - 17)^2 + y^2 = 9 \, $
E). $ ( x - 19)^2 + y^2 = 9 \, $
Nomor 2
Diketahi $\Delta ABC$ dan $ \alpha , \, \beta , \, \gamma $ adalah sudut di A, B, dan C. Jika diketahui $ \sin \beta = \frac{1}{3} $ dan $ \sin \gamma = \frac{1}{2}$ , maka $ \frac{BC}{AC} \, $ adalah ....
A). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) \, $
B). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \, $
C). $\frac{1}{2} (\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) \, $
D). $(\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) \, $
E). $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) $
Nomor 3
Nilai $ x $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2\cos x + \sin x \geq 1 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
B). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
C). $ \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
D). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
E). $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi $
Nomor 4
Jika titik ($s,t$) dirotasi sejauh 270$^\circ$ berlawanan arah jarum jama terhadap titik pusat, kemudian dicerminkan terhadap $ y = t $ diperoleh titik ($-2, 3-t$), maka $ s + 3t = .... $
A). $5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 \, $
Nomor 5
Pada kubus ABCD.EFGH, titik M terletak pada diagonal BE dengan perbandingan $ EM:MB = 1:3 $ dan N adalah titik tengah rusuk CD. Jika R terletak pada rusuk AB dimana RM sejajar AE, maka $ \sin \angle MNR \, $ adalah .....
A). $ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{17}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{17}} \, $
Nomor 6
Jika diketahui sisa pembagian $ xf(x) $ oleh $ (x^2 + 4x - 12 $ adalah $ ax + b $, sisa pembagian $ (x-1)g(x)$ oleh $ (x^2+x-6)$ adalah $ x + 3$, dan sisa pembagian $ f(x) g(x) $ oleh $(x^2 - 8x + 12) $ adalah $ 7x - 13 $ , maka $ 4a^2 + 4ab + b^2 = .... $
A). $ \frac{4}{25} \, $ B). $ \frac{6}{25}\, $ C). $ \frac{8}{25} \, $ D). $ \frac{10}{25} \, $ E). $ \frac{11}{25} $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^3} = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{2} $
Nomor 9
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1 + u_2}{u_3+u_4} = \frac{1}{9} $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_1+u_4} = ..... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ \frac{10}{7} \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 $
Nomor 10
Diketahui $ f(x) = ax^2 + bx -2 $ mencapai titik maksimum di titik minimum $ g(x) = 4x^3 - 3x + 3 $. Nilai $ a + b = .... $
A). $ -16 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 16 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x) = f(x+a) $ , $ f(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ 0 < x < a $ , dan $ g(x) = g(x+2a $ , $ g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ -a < x \leq a $ , dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $. Nilai dari $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ adalah ....
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4a \, $ D). $ 5a \, $ E). $ 6a $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Diketahui $ x_1, x_2 $ adalah akar-akar dari persamaan $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $. Nilai $ a $ sehingga $ x_1 + x_1x_2 +x_2 $ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah ...
A). $ -3 \, $ B). $ -\sqrt{3} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 3 $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)