Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1, x_2 $ adalah akar-akar dari persamaan
$ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $. Nilai $ a $ sehingga $ x_1 + x_1x_2 +x_2 $
maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah ...
A). $ -3 \, $ B). $ -\sqrt{3} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 3 $
A). $ -3 \, $ B). $ -\sqrt{3} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 3 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat dan Turunan
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $,
berlaku : $ x_1 + x_ 2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*. Fungsi $ f(x) $ maksimum untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ dan nilai $ x $ yang ada pada batas intervalnya.
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $,
berlaku : $ x_1 + x_ 2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*. Fungsi $ f(x) $ maksimum untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ dan nilai $ x $ yang ada pada batas intervalnya.
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $
artinya $ a = 1, b = 5a, $ dan $ c = a^3 - 4a + 1 $
Sehingga bentuk $ x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 $ menjadi :
$\begin{align} x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 & = (x_1 + x_2 ) + x_1.x_2 \\ & = \frac{-b}{a} + \frac{c}{a} \\ & = \frac{-5a}{1} + \frac{a^3 - 4a + 1 }{1} \\ & = a^3 - 9a + 1 \end{align} $
Kita misalkan bentuk $ x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 = f(a) $ ,
artinya kita peroleh $ f(a) = a^3 - 9a + 1 $ .
Turunannya : $ f^\prime (a) = 3a^2 - 9 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dari $ f^\prime (a) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ 3a^2 - 9 & = 0 \\ 3a^2 & = 9 \\ a^2 & = 3 \\ a & = \pm \sqrt{3} \end{align} $
*). Artinya kita memperoleh nilai $ a = \sqrt{3} $ atau $ a = -\sqrt{3} $ yang menyebabkan nilai $ f(a) $ maksimum/minimum. Selain itu juga nilai $ a $ ada pada interval $[-3,3]$, sehingga batas-batas interval ini juga bisa menyebabkan nilai $ f(a) $ maksimum/minimum yaitu $ a = -3 $ atau $ a = 3 $.
*). Kita substitusi semua nilai $ a $ ke fungsi $ f(a) = a^3 - 9a + 1 $ :
$\begin{align} \, \, \, \, a & = \sqrt{3} \rightarrow f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) + 1 = -3\sqrt{3} + 1 \\ a & = -\sqrt{3} \rightarrow f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) + 1 = 6\sqrt{3} + 1 \\ a & = -3 \rightarrow f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 1 = 1 \\ a & = 3 \rightarrow f(3) = (3)^3 - 9(3) + 1 = 1 \end{align} $
Artinya nilai maksimum dari $ f(a) $ adalah $ 6\sqrt{3} + 1 $ yang dicapai pada saat $ a = -\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ a = -\sqrt{3} \, $ yang menyebabkan nilainya maksimu . $ \, \heartsuit $
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $
artinya $ a = 1, b = 5a, $ dan $ c = a^3 - 4a + 1 $
Sehingga bentuk $ x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 $ menjadi :
$\begin{align} x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 & = (x_1 + x_2 ) + x_1.x_2 \\ & = \frac{-b}{a} + \frac{c}{a} \\ & = \frac{-5a}{1} + \frac{a^3 - 4a + 1 }{1} \\ & = a^3 - 9a + 1 \end{align} $
Kita misalkan bentuk $ x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 = f(a) $ ,
artinya kita peroleh $ f(a) = a^3 - 9a + 1 $ .
Turunannya : $ f^\prime (a) = 3a^2 - 9 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dari $ f^\prime (a) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ 3a^2 - 9 & = 0 \\ 3a^2 & = 9 \\ a^2 & = 3 \\ a & = \pm \sqrt{3} \end{align} $
*). Artinya kita memperoleh nilai $ a = \sqrt{3} $ atau $ a = -\sqrt{3} $ yang menyebabkan nilai $ f(a) $ maksimum/minimum. Selain itu juga nilai $ a $ ada pada interval $[-3,3]$, sehingga batas-batas interval ini juga bisa menyebabkan nilai $ f(a) $ maksimum/minimum yaitu $ a = -3 $ atau $ a = 3 $.
*). Kita substitusi semua nilai $ a $ ke fungsi $ f(a) = a^3 - 9a + 1 $ :
$\begin{align} \, \, \, \, a & = \sqrt{3} \rightarrow f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) + 1 = -3\sqrt{3} + 1 \\ a & = -\sqrt{3} \rightarrow f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) + 1 = 6\sqrt{3} + 1 \\ a & = -3 \rightarrow f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 1 = 1 \\ a & = 3 \rightarrow f(3) = (3)^3 - 9(3) + 1 = 1 \end{align} $
Artinya nilai maksimum dari $ f(a) $ adalah $ 6\sqrt{3} + 1 $ yang dicapai pada saat $ a = -\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ a = -\sqrt{3} \, $ yang menyebabkan nilainya maksimu . $ \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.