Kode 247 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = ax^2 + bx -2 $ mencapai titik maksimum di titik minimum $ g(x) = 4x^3 - 3x + 3 $. Nilai $ a + b = .... $
A). $ -16 \, $ B). $ -8 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum/maksimum suatu fungsi $ f(x) $ dicapai pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Cek turunan kedua :
$ f^{\prime \prime } (x) > 0 \rightarrow \, $ jenisnya minimum,
$ f^{\prime \prime } (x) = 0 \rightarrow \, $ jenisnya titik belok,
$ f^{\prime \prime } (x) < 0 \rightarrow \, $ jenisnya maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik minimum fungsi $ g(x) = 4x^3 - 3x + 3 $ :
$ g(x) = 4x^3 - 3x + 3 \rightarrow g^\prime (x) = 12x^2 - 3 \, $ dan $ g^{\prime \prime } (x) = 24x $
$\begin{align} g^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat min/mix)} \\ 12x^2 - 3 & = 0 \\ 12x^2 & = 3 \\ x^2 & = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \\ x & = \pm \sqrt{ \frac{1}{4} } \\ x & = \pm \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Cek turunan kedua : $ g^{\prime \prime } (x) = 24x $
$\begin{align} x = \frac{1}{2} \rightarrow g^{\prime \prime } ( \frac{1}{2} ) & = 24 . \frac{1}{2} = 12 > 0 \, \, \text{(minimum)} \\ x = -\frac{1}{2} \rightarrow g^{\prime \prime } ( -\frac{1}{2} ) & = 24 . (-\frac{1}{2}) = -12 < 0 \, \, \text{(maksimum)} \end{align} $
artinya fungsi $ g(x) $ minimum pada saat $ x = \frac{1}{2} $ .
$ g(\frac{1}{2}) = 4.( \frac{1}{2})^3 - 3.( \frac{1}{2}) + 3 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 3 = 2 $
Sehingga titik minimum fungsi $ g(x) $ adalah $ ( \frac{1}{2} , 2) $.
*). Pada soal diketahui bahwa $ f(x) $ memiliki titik maksimum di titik minimum fungsi $ g(x) $ , artinya titik maksimum $ f(x) $ sama dengan titik minimum fungsi $ g(x) $ yaitu $ ( \frac{1}{2}, 2) $, sehingga dapat disimpulkan bahwa $ f(x) $ maksimum pada saat $ x = \frac{1}{2} $ yang artinya juga memenuhi $ f^\prime ( \frac{1}{2} ) = 0 $ sesuai syarat nilai maksimum/minimum menggunakan turunan.
*). Menentukan nilai $ a + b $ dengan $ f^\prime ( \frac{1}{2}) = 0 $
$ f(x) = ax^2 + bx - 2 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $
$\begin{align} f^\prime ( \frac{1}{2}) & = 0 \\ 2a . \frac{1}{2} + b & = 0 \\ a + b & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 0 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Pada pembahasan di atas, nilai $ a + b $ langsung kita temukan nilainya tanpa mencari nilai $ a $ dan $ b $ masing-masing.
*). Jika nilai $ a + b $ tidak langsung kita temukan nilainya dari bentuk $ f^\prime ( \frac{1}{2}) = 0 $ , maka kita susun dua persamaan yaitu dari i). menggunakan bentuk $ f^\prime ( \frac{1}{2}) = 0 $ ,
ii). substitusi titik maksimumnya $ ( \frac{1}{2}, 2) $ ke fungsi $ f(x) $.
*). Dari kedua persamaan tersebut kita lakukan eliminasi dan substitusi untuk menemukan nilai $ a $ dan $ b $.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar