Kode 251 Pembahasan Garis Singgung SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis $ l $ adalah garis singgung sekutu parabola $ y = x^2 - 4x + 7 $ dan $ y = p - 3(x+2)^2 $. Jika garis $ l $ menyinggung parabola $ y = x^2 - 4x + 7 $ di $ x = 5 $, maka $ p = .... $
A). $ -35 \, $ B). $ -33 \, $ C). $ -26 \, $ D). $ -21 \, $ E). $ -10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung persekutuan adalah satu garis singgung yang menyinggung beberapa kurva sekaligus, berikut contohnya :
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ adalah
$ y - y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $ .

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Ilustrasi gambar garis singgung persekutuan :
 

*). Pada Kurva 1 : $ y = x^2 - 4x + 7 $
-). Garis singgung meyinggung kurva 1 di $ x = 5 $,
$ y = 5^2 - 4 . 5 + 7 = 12 $,
Artinya titik singgung pada kurva 1 : $ (x_1,y_1) = (5,-12) $.
-). Gradien garis singgung pada kurva 1 :
$ y = x^2 - 4x + 7 \rightarrow y^\prime = 2x - 4 $.
$ m = f^\prime (5) = 2.5 - 4 10 - 4 = 6 $.
-). Persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 12 & = 6 (x - 5) \\ y - 12 & = 6x - 30 \\ y & = 6x - 18 \end{align} $

*). Pada kurva 2 : $ y = p - 3(x+2)^2 $
-). Gradien garis singgungnya sama yaitu $ m = 6 $, sehingga :
$ y = p - 3(x+2)^2 \rightarrow y^\prime = -6(x+2) = -6x - 12 $
$\begin{align} m & = f^\prime (x) \\ 6 & = -6x - 12 \\ 6x & = -18 \\ x & = -3 \end{align} $
-). Artinya titik singgung pada kurva 2 yaitu di $ x = -3 $, kita substitusikan ke persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} x = -3 \rightarrow y & = 6x - 18 \\ y & = 6.(-3) - 18 \\ & = -36 \end{align} $
sehingga titik $ B(-3, -36 ) $ .
*). Karena titik B juga dilalui (sebagai titik singgung) oleh kurva 2, maka bisa kita substitusikan :
$\begin{align} (x,y) = (-3, -36 ) \rightarrow y & = p - 3(x+2)^2 \\ -36 & = p - 3(-3+2)^2 \\ -36 & = p - 3(-1)^2 \\ -36 & = p - 3 \\ p & = -33 \end{align} $
Jadi, Nilai $ p = -33 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar