Pembahasan Lingkaran UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 = 0 $ mempunyai kekhususan sebagai berikut ....
A). menyinggung $ y = 0 $
B). menyinggung $ x = 0 $
C). berpusat di O(0,0)
D). titik pusatnya terletak pada $ x - y = 0 $
E). berjari-jari 3

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat $ = (a,b) = \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
*). Syarat Dua kurva bersinggungan : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 = 0 $
$ A = -6 , B = -6 $ dan $ C = 6 $
-). Titik pusat $ (a,b) $ :
$ (a,b) = \left( -\frac{-6}{2}, -\frac{-6}{2} \right) = \left( 3,3 \right) $
-). Jari-jari $ ( r) $ :
$ r = \sqrt{3^2 + 3^2 - 6 } = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
(Opsion C dan E salah).
*). Apakah bersinggungan dengan garis $ y = 0 $ atau $ x = 0 $.
-). Cek dengan garis $ y = 0 $ dengan substitusi $ y = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 & = 0 \\ x^2 + 0^2 - 6x - 6.0 + 6 & = 0 \\ x^2 - 6x + 6 & = 0 \end{align} $
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4.1.6 = 36 - 24 = 12 $
Karena nilai $ D = 12 \neq 0 $ , maka lingkaran tidak menyinggung $ y = 0 $.
-). Cek dengan garis $ x = 0 $ dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 & = 0 \\ 0^2 + y^2 - 6.0 - 6y + 6 & = 0 \\ y^2 - 6y + 6 & = 0 \end{align} $
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4.1.6 = 36 - 24 = 12 $
Karena nilai $ D = 12 \neq 0 $ , maka lingkaran tidak menyinggung $ x = 0 $.
(Opsion A dan B salah).
*). Apakah titik pusat (3,3) terletak pada $ x - y = 0 $? Mari kita cek dengan substitusi titik pusat ke persamaan garis tersebut :
$ \begin{align} x - y & = 0 \\ 3 - 3 & = 0 \\ 0 & = 0 \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Karena titik pusat $ (3,3) $ memenuhi persamaan garis $ x - y = 0 $ maka opsion D Benar.
Jadi, titik pusatnya terletak pada $ x - y = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar